第2章 弹性力学基本方程与变分原理
2.1 弹性力学基本方程
弹性力学的基本方程可分为3大类，即应力平衡方程、几何变形方程和材料的物理方程。我们先从弹性力学的二维问题入手推导3类基本方程，然后将其推广到三维问题。
2.1.1 应力平衡方程
作用在等厚度t的平面单元体上的应力和单位体积上的体力如图2-1所示。
图2-1 作用在平面单元体上的力
这里逗号表示偏微分，例如σx，x=?σx/?x。下面推导单元体的平衡方程：
简化得：
同理由ΣY=0得： 
故平面应力单元体的平衡方程为：
（2-1）
对于三维的情况，应力单元体的平衡方程为：
（2-2）
平衡方程的矩阵形式：
（2-3）
A是微分算子，
是体积力向量， 
2.1.2 几何变形方程（应变-位移关系）
图2-2给出了一个平面问题的一般应变场，由位形o12转变为位形o'1'2'。位移u、v是坐标的函数，增量u，xdx与u或v相比是无穷小量。由定义：
图2.2 平面问题中的变形表达
同理：εy=v，y
按工程上的定义，工程剪应变为直角的改变量。在小变形条件下，β1≈tanβ1，β2≈tanβ2，
故得平面问题的应变-位移关系：
（2-4）
可推广得到空间问题的应变-位移关系：
（2-5）
写成矩阵形式：
ε=Lu （2-6）
其中， L=AT
2.1.3 物理方程（应力-应变关系）
由广义胡克定律，有二维平面应力情况下的物理方程：
（2-7）
其逆形式为：
（2-8）
式中，E为弹性模量，G为剪切弹性模量，ν为泊松比，且有以下关系：
（2-9）
将以上二维平面问题的物理方程写成矩阵形式，有：
ε=cσ （2-10）
或：
σ=Dε （2-11）
这里：c=D-1
c称为材料的柔度矩阵，D称为材料的刚度矩阵。可将二维平面问题的物理方程推广到三维情况，有：
（2-12）
其逆形式为：σ=Dε，定义拉梅常数：
，则：
（2-13）
用张量形式可表示为：
Dijkl=2Gδikδjl+λδijδkl （2-14）
或：
（2-15）
特殊情况讨论如下。
①平面应力 一个很薄的物体在其边界上受平面内的外载荷，这样的问题被称为平面应力问题；如图2-3（a）所示的圆环，它与中心杆件有紧配合而受内压，它为一个平面应力问题，其应力σz，τxz和τyz取为零，这时，由胡克定律可得：
图2-3 二维问题
它的逆形式为
它也常写为σ=Dε。
②平面应变 如果一个具有等截面的很长物体沿长度方向均受横向外载，如图2-3（b）所示，从中截取受有外载荷的一小段，这就可以按平面应变问题进行处理；这时εz，γzy，γyz为零，而σz不为零，其应力-应变关系可以直接推导为：
（2-16）
这里D为（3×3）矩阵，它建立3个应力分量和3个应变分量之间的联系。
对于各向异性物体，若采用适当的取向主轴，也可以使用合适的D矩阵来描述材料。
2.1.4 边界条件
弹性体的全部边界用S表示。一部分边界已知外力
，称为力边界条件，用Sσ表示；一部分边界已知位移
，称为位移边界条件，用Su表示，如图2-4所示。
图2-4 弹性体上的力边界及位移边界
有：S=Sσ+Su
（1）力边界条件
由力学平衡方程，有力边界条件（弹性体的内力和外力平衡）：
（2-17）
设边界外法线方向余弦为nx、ny、nz，则边界上弹性体内力可表示为：
（2-18）
弹性体上的力边界条件可用矩阵形式表示为：
（2-19）
其中：T=nσ，
（2）位移边界条件
弹性体上的位移边界条件可表示为：
（2-20）
用矩阵形式表示为：
（2-21）
弹性力学方程记作一般形式：
平衡方程：
（在V内）
几何方程：ε=Lu （在V内）
物理方程：σ=Dε （在V内）
边界条件：
