2.1.2 Koch曲线
Koch曲线由瑞典数学家Helge von Koch最先提出。首先画一个线段，然后把它平分成三段，去掉中间那一段并用两条等长的线段代替。这样，原来的一条线段就变成了四条小的线段。用相同的方法把每一条小的线段的中间1/3替换为等边三角形的两边，得到了16条更小的线段。然后继续对16条线段进行相同的操作，并无限地迭代下去。图2-6是Koch曲线前五次迭代的过程示意图。
图2-6 Koch曲线的形成和迭代
整个线条的长度每一次迭代都变成了原来的4/3。如果最初的线段长为1，那么第一次迭代后总长度变成了4/3，第二次迭代后总长增加到（4/3）2，第n次迭代后长度为（4/3）n。这样，无限迭代进行下去，n趋于无穷，则这条曲线将达到无限长。
如果把三条Koch曲线头尾相接组成一个封闭图形时，更有趣的事情发生了。图2-7展示了三条Koch曲线头尾相接组成的封闭图形。当n趋于无穷时，图2-7的这个雪花一样的图形有着无限长的边界，但是它的总面积却是有限的，不会超过初始三角形的外接圆。换句话说，无限长的曲线包围着有限的面积。这里可以做个简单的证明。三条曲线中每一条的第n次迭代前有4n-1个长为（1/3）n-1的线段，迭代后多出的面积为4n-1个边长为（1/3）n的等边三角形。把4n-1扩大到4n，再把所有边长为（1/3）n的等边三角形扩大为同样边长的正方形，总面积仍是有限的，因为无穷级数∑4n/9n显然是收敛的。这个神奇的雪花图形叫做Koch雪花。
图2-7 Koch雪花
同时，n趋于无穷时，Koch曲线则变成处处连续，但处处不可导的曲线，传统欧氏几何基础上建立的微积分完全不能描述此类复杂的图形特征，此类几何结构也曾被称之为“病态几何”。Mandelbrot突破传统数学的束缚，为这类不规则的几何结构建立了全新的数学理论体系——分形几何（Fractal）。Fractal这个词包含了英文的fractured（断裂，不规则的）和fractional（碎片、分数的）的双重含义。经过几十年的发展，分形几何学已迅速成为了一门新兴的重要数学分支。它的应用涉及了自然科学技术的许多领域，甚至于社会科学。实际上，它正起着打通学科领域之间的桥梁作用。