2.怎样数无穷大

我们在前一节中讨论了数字，其中有许多相当大。尽管一些庞然大物大得让人无法相信，就像达希尔向国王讨要的小麦颗粒的数，但这些数仍然是有限的，而且，只要有足够的时间，人们可以把它们的每一位数全写下来。

但确实有一些真正无穷大的数，无论我们花多长时间去写，可能写下的任何数都小于这类大数。比如，“所有整数的数目”显然是无穷大的，而“一条线上所有几何点的数目”也同样如此。那么，除了说这些数是无穷大的之外，我们是否能够就它们的性质说点什么呢？比如说，我们是不是能够比较两个不同的无穷大，看看它们中哪一个“更大”？

如果我们问：“所有数的数目和一条直线上所有点的数目，它们两个哪个更大？”这种问题有没有意义？这类问题乍一看十分古怪，但由一位著名数学家最先认真地加以考虑，他就是康托尔（Georg Cantor），他是“无穷大算术”货真价实的创造者。

如果我们想要谈论哪些无穷大比较大，哪些无穷大比较小，我们就会面临一个问题，与霍屯督人在检查自己的珍宝箱时遇到的问题类似，这位非洲当地人想知道，他的玻璃珠子多还是铜币多。也就是说，我们都需要比较一些我们既无法命名又无法写下来的数字。但是，想必我们都记得，霍屯督人无法数出超过3的数字。那么，他是不是会知难而退，因为他没法数就不去比较珠子和硬币呢？事实并非如此。如果他足够聪明，他就可以通过一个一个地对比珠子和硬币得到答案。他可以把一个珠子放在一枚硬币旁边，另一个珠子放在另一枚硬币旁边，就这样一一对应，不断地摆在一起……如果他的珠子全摆完了，而硬币还有剩余，他就知道他的硬币比珠子多；如果硬币先没有了但还有珠子，他就知道他的珠子比硬币多。而如果两种东西同时摆完，他就知道二者一样多。

为了比较两个无穷大，康托尔建议使用完全相同的方法：如果我们可以将两个无穷大集合中的物体配对，让一个无穷大集合中的每一个物体与另一个无穷大集合中的每一个物体结成“对子”，最后每个集合中都没有物体剩余，则这两个无穷大相等。反之，如果做不到这样的安排，而是在其中一个集合中剩下了一些未曾配对的物体，我们则说，这个集合中的物体的无穷大较大，或者我们可以说，这个无穷大比另外那个集合中的物体的无穷大更强。

这样做显然是最合理的规则，事实上也是唯一可行的规则，可以让我们用来比较无穷大量，但我们必须做好准备，在我们开始应用这个规则时，我们会大吃一惊。让我们以一切偶数的无穷大和一切奇数的无穷大为例。当然，直觉告诉你，偶数的数目应该和奇数一样多，因为在这些数之间可以有一一对应的关系：

在这个表中，一个偶数对应一个奇数，反之亦然；因此，一切偶数的无穷大等于一切奇数的无穷大。这似乎确实既简单又自然！

但是，且慢。在下面的无穷大中哪个大些：包括偶数和奇数的所有整数数目的无穷大，还是只包括偶数数目的无穷大？你当然会说，所有整数数目的无穷大更大，因为在其中包括所有偶数加上所有奇数。但这只不过是你的想象，而为了得到准确的答案，我们必须使用上述无穷大比较法则。而如果你用了这个法则，你会很吃惊地发现，你的直觉是错误的。事实上，在下面的表格中，我们把所有整数列在上边，所有偶数列在下边，它们之间存在着一一对应关系：

根据我们比较无穷大的法则，我们必须承认，偶数的无穷大正好等于所有整数的无穷大。听起来这当然有些自相矛盾，因为偶数只是所有整数的一部分，但我们必须记住，我们现在的操作对象是无穷大数字，我们必须做好会遇到不同性质的准备。

实际上，在无穷大的世界中，部分可以等于全体！对这一点最好的说明，很可能是关于著名德国数学家希尔伯特（David Hilbert）的一个故事。据说，在他有关无穷大数字的讲课中，他用以下的话语讲述了无穷大数字的这个貌似矛盾的性质：

让我们想象一家有有限多个房间的旅馆，并假定所有的房间都住满了。结果来了一位新客人，想要一个房间。“对不起，”旅店老板说，“所有的房间都住满了。”现在让我们想象一个有无限多个房间的旅馆，而且所有的房间都住满了。后来也有一位新客人来到了这家旅馆，想要一个房间。

“当然没问题！”旅馆老板说道。他把原来住在房间N1的客人送进了房间N2，房间N2的客人送进了房间N3，房间N3的客人送进了房间N4，以此类推……由于这种变动，房间N1空出来了，新客人住了进去。

现在让我们想象一个有无限多个房间的旅馆，所有的房间都住满了，接着来了数目无限的新客人，要求住店。

“没问题，绅士们，”旅馆老板说，“请稍候。”

他把房间N1的客人送到了房间N2，房间N2的客人送进了房间N4，房间N3的客人送进了房间N6，以此类推。

现在所有奇数号房间都空出来了，无穷多个客人可以轻松愉快地住进去了。

好吧，希尔伯特描述的这种情况很不容易想象，在战争期间的华盛顿就更难了，但这个例子当然直指问题的核心，即在跟无穷大打交道的时候，我们会碰到一些与我们习惯的普通数学问题不同的性质。

遵照康托尔有关比较两个无穷大的规则，我们现在也可以证明，所有像3/7和735/8这类普通算术分数的数目与全体整数的数目相等。实际上，我们可以按照下面的规则安排所有普通分数：首先写下分子与分母之和为2的分数，这样的分数只有一个，就是1/1；然后是和为3的分数：1/2和1/2；下面是和为4的分数：3/1，2/2，3/1。以此类推，我们可以得到数目无限多的分数，包括我们可以想到的每一个分数（图5）。现在在这一序列的上面写下整数序列，我们可以在分数的无穷大和整数的无穷大之间得到一一对应关系。因此这两个无穷大的数目相等！

“好吧，这一切都天衣无缝，”你可能会说，“但这是不是就意味着所有的无穷大全都相等？如果确实如此，还有什么必要比较它们呢？”

不，情况并非如此，而且我们可以轻而易举地找到一些无穷大，它们大于全体整数或者全体分数数目的无穷大。

事实上，如果我们检查本章早些时候提出的一个问题，即比较一条线上所有点的数目和整数的数目的那个问题，我们就可以发现，这两个无穷大是不同的：一条线上的点的数目远远大于全体整数或者分数的数目。为了证明这个论点，让我们尝试以一条长度为1英寸的线段两端之间的点的数目为例，比较它与整个整数序列中的数的数目大小。

这个线段上的每个点的特征由它与线段的一个端点之间的距离表达，而这个距离可以写成一个无限小数的形式，如0.7350624780056…或者0.38250375632…。于是我们就必须比较全体整数的数目和所有可能的无限小数的数目。上面给出的这些无限小数和普通算术分数如3/7或者8/277之间的差别何在呢？

你一定还记得你在算术课中学到的一项内容，即每一个普通分数都可以转化成一个无限循环小数。也就是2/3=0.66666…=，3/7=0.428571|428571|428571|4…=0.2857。如上所证，全体普通算术分数的数目与全体整数的数目相等，所以，全体循环小数的数目必定也与全体整数的数目相等。但线段上的点并不一定是由循环小数代表的，而且在大多数情况下，我们可以得到一种无限小数，其中出现的各位数字没有任何周期性的重复。而且我们可以很容易地证明，在这种情况下无法做出任何对应安排。

假定有人声称他找到了这样一种对应安排，表达如下：

N

1 0.38602563078…

2 0.57350762050…

3 0.99356753207…

4 0.25763200456…

5 0.00005320562…

6 0.99035638567…

7 0.55522730567…

8 0.05277365642…

· …………

· …………

· …………

· …………

· …………

当然，因为实际上不可能写出无穷多个数字，让它们中每一个都有无穷多位小数，所以上面那人的断言必然意味着，这个表格的作者掌握了某种普遍规则（类似于我们用来安排普通分数的那种规则），根据这种规则，他构建了这份表格，而这种规则保证，任何一个小数迟早都会出现在这个表格中。

好的，我们现在可以毫不费力地证明，任何这类断言都是站不住脚的，因为我们总是可以写出一个不会出现在这个无限大表格之内的无限小数。我们怎样才能做到这一点呢？非常简单。只要写下一个小数，让它的第一位数与表中N1的不同，第二位与表中N2的不同，等等，就可以了。你写下的这个数看上去就像下面的这个数：

无论你沿着表格向下找多远，这个数字都不会出现在表格中。事实上，如果表格的作者告诉你，这个数字是这份表格里的第137个（或者任何其他数字）数字，你都可以立即回答：“不，它们不是同一个数字，因为你的这个小数的第137位与我心中的这个小数的第137位不同。”

因此，我们无法在一条线段上的点与整数之间建立一一对应关系，这就意味着，与全体整数或者全体分数相比，一条线段上的点的无穷大更大或者说更强。

我们刚刚讨论的是一条“1英寸长”的线段上的点的情况，但我们现在可以很容易地证明，根据我们的“无穷大算术”中的规则，对于任何长度的线段，这一讨论同样有效。事实上，无论线段的长度是一英寸、一英尺或者一英里，在它上面的点的数目都是一样多的。为了证明这一点，只要看图6即可，其中讨论了两条长度不同的线段AB和AC上的点的数目。为了在这两条线段上建立点与点之间的一一对应关系，我们可以过AB上每一点，画一条平行于BC的直线，这条直线与AB与AC相交的一对点就是一一对应的点，例如D与D'，E与E'，F与F'等。在AB上的每一个点都对应于在AC上的一个点，反之亦然。于是，根据我们的有关规则，可知这两个无穷大相等。

我们将在下面讲述另一个说法，其中包含的无穷大分析更加令人吃惊：在一个平面中的所有点的数目，等于在一条线段上所有点的数目。为了证明这一点，让我们考虑一条一英尺长的线段AB上的点，以及在一个正方形CDEF之内的点（图7）。

假定线段上某个点的位置可以通过某个数字给出，不妨称其为0.75120386…。我们可以根据这个数字确定两个不同的数字，分别由这个数字的偶数位和奇数位组成，于是我们得到了

0.7108…和0.5236…

分别在我们的正方形的水平方向和垂直方向量出这两段距离，由此确定的点的坐标为（0.7108…，0.5236…），我们把这个点叫作我们线段上原始点的“偶点”。反之，如果我们在正方形中有一个点，它的位置可以由两个数字描述，比如0.4835…和0.9907…，我们就可以按照同样的方法，把这两个数字组合成一个数字为0.49893057…，确定在线段上的对应“偶点”。

很显然，这样一个过程在两套点之间建立了一一对应关系。在线段上的每个点将在正方形内有自己的偶点，在正方形中的每个点将在线段上有自己的偶点，没有任何一个点漏掉。于是，按照康托尔的理论，在正方形内的所有的点的无穷大与在一条线段上点的无穷大相等。

同样，我们也可以证明，在一个立方体内所有点的无穷大与正方形或者线段上的所有点的无穷大相等。要做到这一点，我们只要把原来的小数分成三个部分，并用由此得到的三个新的小数来定义它在立方体中的“偶点”。而且，与两条不同长度的线段的情况相同，在一个正方形或者一个立方体内的点的数目将是一样的，无论它们有多大。

但是，尽管在几何形体内的全体几何点的数目多于全体整数和分数的数目，但它并不是数学家知道的最大数字。事实上，人们发现，所有可能的曲线类型，包括那些人们最不常见到的形状的曲线，它们的总数大于全体几何点的集合，因此必须把它视为无穷大中的第三个等级。

按照“无穷大算术”创始人康托尔的方法，可以用右下角带有一个小数字的希伯来字母ℵ（阿列夫）表示无穷大数字，这个小数字表示无穷大的等级。于是，数字（包括那些无穷大数字）的序列就是这样排列的：

1，2，3，4，5，…ℵ0，ℵ1，ℵ2，ℵ3…

而且我们可以说，“在一条线段上有ℵ1个点”，或者“存在着ℵ2条不同的曲线”，就像我们说“世界分为七大洲”，或者“一副牌有54张纸牌”一样。

作为对我们关于无穷大数字的讨论总结，我们指出，这些数字不费吹灰之力就可以超过任何我们可以想到的可以应用的数字。我们知道，ℵ0代表全体整数的数目，ℵ1代表全体几何点的数目，而ℵ2代表全体曲线的数目，但迄今为止，还没有任何人有本事，想出任何确定的事物的无穷集合，其中成员的数目需要用ℵ3表示。似乎前三个无穷大数字已经足够使用，可以让我们数出我们想得到的任何事物的集合成员数了。于是，我们现在所处的位置便与霍屯督人完全相反，因为我们的这位老朋友有许多儿子，但他只能数到3。