第三节　放射性核素的衰变规律

上一节是单独的不稳定的核在微观上的变化形式。本节说明当大量不稳定的核在一起时，它们的数量在宏观上的变化。

一、放射性活度的定义和单位

1.放射性核素的活度（radioactivity）

指一定范围内的某种放射性核素在单位时间内发生核素衰变的次数。常用dps（decay per second）或 dpm（decay perminute）表示。

2.活度的单位

SI制——贝克勒尔（Bq），每秒一次衰变（1dps）=1Bq；

常用——居里（Ci），3.7×1010 dps=1Ci；

1Ci=3.7×1010 MBq；

1Bq≈0.27×10-10Ci；

在实用中 Ci太大，因此常用毫居里（mCi），微居里（μCi）等。

1mCi=10-3 Ci=3.7×107 Bq；

1μCi=10-6 Ci=10-3mCi=3.7×104 Bq；

同样，Bq 太小，因此常用 kBq、MBq、GBq 等；

1kBq=103 Bq；1MBq=106 Bq；1GBq=109 Bq。

3.比放射性（放射性比度）

单位质量的物质内的放射性活度（如0.5Ci/g）。

4.放射性浓度

单位体积的溶液内的放射性活度（如0.5Ci/ml）。

二、指数规律

实验和理论计算均表明，单独存放的放射性核素的数量及放射性活度的变化服从指数衰变规律。单独存放是指只考虑某种核素的衰变，例如，131 I和99m Tc同时存在于患者体内，我们只考虑131 I或99m Tc的数量或活度的改变。

如用N表示某一时刻放射性核素的数量，用A表示某一时刻放射性核素的活度，则指数规律可表示为：

其中N0为t=0时的放射性核素数量，A0为t=0时的放射性核素活度，λ为衰变常数。

用图描绘放射性核素数量和活度的变化，直线坐标下，衰变曲线是指数曲线；在半对数坐标下是直线，如图1-9所示（设λ=0.1/s）。

三、衰变常数、半衰期、平均寿命

（一）衰变常数λ

放射性活度是指放射性核素单位时间内衰变的次数，即放射性核素数量N随时间的减少率，也就是负的变化率，而变化率可用导数表示，即：

λ称为衰变常数（decay constant），它表示单位时间内衰变的核的数目占总的放射性核数目的百分比。不同的核素有不同衰变常数。

例如，设λ=0.02/s=2%/s，表示单位时间（1秒）内有2%的核衰变，如此时N=10 000，则 A=0.02/s×10 000=200/s，表明在 N=10 000的一段时间内，放射性核数目平均每秒减少200个，即平均每秒有200次衰变发生。

根据衰变常数的意义，如果某种核素有一种以上的衰变形式（如18 F，有97%β+衰变，3%EC），它们的衰变常数分别为 λ1、λ2、λ3…、λn，则其总的衰变常数 λ=λ1+λ2+λ3…+λn。

（二）半衰期

从 N=N0 e-λt和 A=A0 e-λt可以看出，当即放射性核素的数量和活度都减少了一半。放射性核素的数量和活度减少到原来的一半所需要的时间称为放射性核素的半衰期（图1-10），用T1/2表示。半衰期与衰变常数的关系为：

如果以半衰期来表示，则指数规律可表示为：

如99m Tc的T1/2=6.02小时，则其λ=0.693/6.02≈0.115/小时。

（三）平均寿命τ

从99m Tc的衰变曲线中可以看到，在一定数量的放射性核中，有的立即就衰变了，有的在一长段时间内不衰变。例如：

有50%的核在6小时之内没衰变，其寿命大于6小时；

有25%的核在12小时之内没衰变，其寿命大于12小时；

有12.5%的核在18小时之内没衰变，其寿命大于18小时，等等。

因此，可以用平均寿命来说明一种核素的衰变特点。平均寿命

以上公式说明核素的平均寿命比其半衰期长一些。如99m Tc的T1/2=6.02小时，τ=8.67小时。

四、衰变规律的应用

（一）衰变公式总结

放射性核素的数量变化：N=N0 e-λt；

放射性核素的活度变化：A=A0 e-λt；

放射性核素的活度与数量的关系：A=λN；

放射性核素半衰期与衰变常数的关系：T1/2=0.693/λ；

放射性核素平均寿命与衰变常数的关系：τ=1/λ；

放射性核素半衰期与平均寿命的关系：T1/2=0.693τ。

（二）说明

N0和A0是指t=0时的放射性核素的数量和活度；

t是相对于t=0的时间，对t=0之后的时间，t取正值；t=0之前的时间，t取负值。

计算e-λt可使用各种方法，如特定核素的衰变表，通用衰变表，计算器等，还可利用ex的下列特性：

例如，下午3时测得一个99m Tc样品的活度为3mCi，求当日上午8时样品的活度。则

也可用半衰期来表示指数规律形式：

再以有效半衰期作为衰变规律应用的另一个例子，当放射性核素通过某种途径进入人体后，体内的放射性的减少受两种因素影响，一种是核素本身衰变，设其衰变常数为λ，半衰期为T1/2；另一种是生物代谢，设其衰变常数为λb，生物半衰期为Tb。根据衰变常数的意义可知，在两种因素的共同作用下的衰变常数为：

λe=λ+λb；或表示为

可得

Te称为有效半衰期，它是指放射性核素在放射性衰变和生物代谢的共同作用下数量减少到原来的一半所需要的时间。

五、混合核素的衰变规律

指数衰变规律适用于单独存放的放射性核素，当两种以上衰变彼此无关的核素存放在一起时，其衰变是各核素的衰变之和。即

图1-11为一个含有两种衰变彼此无关的核素的样品的活度变化曲线。可以看出，总的衰变曲线最终将接近半衰期长的核素的衰变曲线。在半对数坐标图上，将总活度曲线的直线部分外推至0时刻，可以得到半衰期长的核素的衰变曲线，将其从总的活度曲线中减去，可以得到短半衰期的核素的衰变曲线。如果样品中有多于两种的核素，可用这种曲线剥离方法得到次长半衰期的核素的衰变曲线。如此反复，直到获得所有核素的衰变曲线。曲线剥离方法用于获得混合样品中不同核素的相对数量和它们的半衰期，在放射性样品制备中检测和定量样品中长半衰期核素的存在（或污染）特别有效。

六、递次衰变

如果核素衰变后生成的子核也是放射性核素，由于子核在衰变的同时又在不断生成，因此其衰变规律与单独存放和混合存放时的衰变情况都不相同。

母核的衰变仍然是指数形式的，即

（下标p表示母核，parent）

子核衰变的一般公式为：

（下标d表示子核，daughter）

其适用条件为：

λd≠λp，即子核的衰变常数与母核的衰变常数不同。

由于子核衰变情况的复杂性，只考虑Ad（0）=0，即初始时刻子核的活度为0时的几种特定衰变情况。

（一）长期平衡

长期平衡（secular equilibrium）出现在母核的半衰期比子核的半衰期长得多的情况下，即 λp＜＜λd，此时，可以认为上述子核衰变的一般公式中 λp=0，e-λp t=1。 于是

它与单独存放的核素的衰变成一种“互补”的关系（图1-12），从0不断上升，接近母核的活度。当时间足够长（＞5T1/2p）时，Ad≈Ap，称为长期平衡。

（二）暂时平衡

若 λp＜λd，但不满足 λp＜＜λd，这种情况下会出现暂时平衡（transient equilibrium），如图1-13所示（设Tp=10Td）。子核和母核的活度变化有以下特点：

1.母核活度按指数规律变化。

2.子核活度在开始阶段逐渐增加。

3.一定时间以后子核活度超过母核活度。

4.子核活度有一个最大值，出现时间为

5.子核活度到达最大值后，就开始按母核的规律衰变（即指数规律），两条曲线平行，此时称为子核与母核暂时平衡。子核活度与母核活度的数量关系为：

（三）无平衡

若母核的半衰期比子核的半衰期短（λp＞λd），它们之间就不能达到平衡。子核和母核的活度变化如图1-14所示（设T1/2p=0.1T1/2d）。其特点是：

1.母核按指数规律衰变。

2.子核活度逐渐增大到最大值，到达最大值的时间是

3.母核活度基本衰减到0后，子核活度按自己的指数规律衰变。