PART TWO
第二部分 线性代数
第一章 行列式
考试内容与要求
考试内容
行列式的概念和基本性质，行列式按行（列）展开定理．
考试要求
1．了解行列式的概念，掌握行列式的性质．
2．会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式．
题型1.1 利用行列式和矩阵的运算性质计算行列式
1.（04,4分）设矩阵
，矩阵B满足ABA*= 2BA*+ E，其中A*为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，则| B|=______.
【答案】 应填
【分析】 用公式A*A=| A| E进行化简．
【详解】 等式两边同时右乘A，得
ABA*A= 2BA*A+ A，
而| A|= 3，于是有3AB= 6B+ A，即（3A-6E）B= A，
在两边取行列式，有|3A-6E|| B|=| A|= 3，
而| 3A-6E|= 27，故所求行列式为| B|= 
.
【评注】 注意：本题没有必要先由（3A-6E）B= A求出B，再计算其行列式，而是可直接利用方阵相乘的行列式公式：若A, B为n阶方阵，则| AB|=| A|| B|.
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2.（05,4分）设α1, α2, α3均为三维列向量，记矩阵
A=（α1, α2, α3）, B=（α1+α2+α3, α1+ 2α2+ 4α3, α1+ 3α2+ 9α3）.
如果| A|= 1，那么| B|=_______.
【答案】 应填2.
【分析】 将B写成用A右乘另一矩阵的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可．
【详解1】 由题设，有
【详解2】 用行列式性质对列向量组化简得
|β| =|α1+α2+α3, α1+ 2α2+ 4α3, α1+ 3α2+ 9α3|=|α1+α2+α3, α2+ 3α3, α2+ 5α3|=|α1+α2+α3, α2+ 3α3,2α3|= 2|α1, α2, α3|= 2.
【评注1】 本题相当于矩阵B的列向量组可由矩阵A的列向量组线性表示，关键是将其转化为用矩阵乘积形式表示．一般地，若
【评注2】 作为做题技巧，可令
，则
，于是| B|= 2.
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3.（06,4分）设矩阵
, E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BA = B+ 2E，则| B| =______.
【答案】 应填2.
【详解】 由BA= B+ 2E得，B（A- E）= 2E，两边取行列式，有
| B|·| A- E|= 4，
而
，于是| B|= 2.
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4.（13,4分）设A=（aij）是三阶非零矩阵，| A| 为A的行列式，Aij 为a ij 的代数余子式．若aij+ Aij= 0（i, j = 1,2,3），则| A|=________.
【答案】 应填-1.
【分析】 根据已知条件易联想到利用重要公式AA*=| A| E.
【详解】 由aij+ Aij= 0有，Aij= - aij（i, j = 1,2,3），得A*= - AT，于是
AA*= - AAT=| A| E，
两边取行列式得-|A| 2=| A| 3，解得| A|= -1或| A|= 0.
当| A|= 0时，由AAT =| A| E= 0，有A= 0，与已知矛盾，所以| A|= -1.
【评注】 也可以如下证明| A|≠0：由A为非零矩阵，不妨设a11≠0．于是，根据行列式的按行展开定理得
| A|= a11A11+ a12A12+ a13A13= -
＜0.
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5.（14,4分）行列式
（A）（ad- bc）2.
（B）-（ad- bc）2.
（C）a2d2- b2c2.
（D）b2c2- a2d2.
【 】
【答案】 应选（B）.
【分析】 本题考查行列式的计算方法，直接按行展开即可．
选（B）.
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6.（15,4分）n阶行列式
= .
【答案】 应填2n+ 1-2.
【详解】 按第一行展开得
故应填2n+ 1-2.
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7.（16,4分）行列式
= .
【答案】 应填λ4+λ3+ 2λ2+ 3λ+ 4.
【分析】 本题考查行列式的展开式．
【详解】 将行列式按第4列展开得
小结
矩阵运算与行列式计算的一个重要关系式是：若A, B为n阶矩阵，则有| AB|=| A|| B|．将题设条件尽量转化为矩阵等式，再用上述公式求行列式是常用的方法．
题型1.2 利用秩、特征值和相似矩阵等计算行列式
（99,3分）设A是m× n矩阵，B是n× m矩阵，则
（A）当m＞n时，必有行列式| AB|≠0.
（B）当m＞n时，必有行列式| AB|= 0.
（C）当n＞m时，必有行列式| AB|≠0.
（D）当n＞m时，必有行列式| AB|= 0.
【 】
【答案】 应选（B）.
【分析】 四个选项在于区分行列式是否为零，而行列式是否为零又是矩阵是否可逆的充要条件，问题转化为矩阵是否可逆，而矩阵是否可逆又与矩阵是否满秩相联系，最终只要判断AB是否满秩即可．
【详解】 因为AB为m阶方阵，且
r（AB）≤min{r（A）, r（B）}≤min{m, n}
当m＞n时，由上式可知，r（AB）≤n＜m，即AB不是满秩的，故有行列式|AB|= 0.因此正确选项为（B）.
【评注】 本题未知矩阵AB的具体元素，因此直接应用行列式的有关计算方法进行求解是困难的．对于此类抽象矩阵行列式的计算往往可考虑转换为利用：（1）矩阵的秩（判断行列式是否为零）;（2）行（列）向量组的线性相关性；（3）方程组解的判定；（4）特征值和相似矩阵的性质等进行计算．
小结
1．行列式的计算是线性代数这门课程的基础，一方面直接利用行列式的相关知识计算行列式是基本要求，另一方面考生更应注意行列式与后续相关知识的有机联系，可以说行列式与矩阵运算、矩阵的秩、向量组的线性相关性、方程组解的判定、特征值与相似矩阵以及二次型等均可有机地联系起来．
2．设A为n阶矩阵，则
因此，行列式的问题可转换为相关后续知识来进行讨论．
3．设λ1, λ2, …, λn为n阶矩阵A的特征值，则行列式|A|= λ1λ2·…·λn．一般地，设A的多项式为f（A）= a0Am+ a1Am-1+ …+ am-1A+ amE，则行列式
| f（A）|= f（λ1）f（λ2）·…·f（λn）.
其中f（λ）= a0λm+ a1λm-1+ …+ am-1λ+ am.
4．若A与B为相似矩阵，则|A|=| B|, | f（A）|=| f（B）|．可以利用上述公式，将A的行列式计算问题转化为其相似矩阵B的计算问题．
本章总结
本章历年试题按题型分值分布情况如表2—1—1所示．
表2—1—1
从表中可以看出，表面上这部分内容在线性代数中所占比重不高，但由于行列式计算是线性代数的基础问题，在后续相关知识讨论中经常会用到，因此行列式的基本计算方法是必须熟练掌握的．本章命题的重点是将行列式的计算问题与矩阵运算结合起来进行考查，因此在复习过程中应特别注意行列式计算与矩阵运算之间的联系与区别．
自测练习题
一、填空题
2.n阶行列式
= .
3．五阶行列式
= .
4．设n阶矩阵
则| A|=__________.
5．设α=（1,0, -1）T，矩阵A= ααT, n为正整数，则| a E- A n|= _________.
6．设行列式
，则第4行各元素余子式之和的值为______.
7．设A为m阶方阵，B为n阶方阵，且
，则|C|=______.
8．设A, B均为n阶矩阵，| A|= 2, | B|= -3，则| 2A*B-1|=_________.
9．若4阶矩阵A与B相似，矩阵A的特征值为
，则行列式|B-1- E|=______.
10．已知4阶矩阵A相似于B, A的特征值为2,3,4,5, E为4阶单位矩阵，则|B- E|= _________.
11．设3阶矩阵A, B满足A2B- A- B= E，其中E为3阶单位矩阵，若
，则| B|=______.
二、选择题
1．记行列式
为f（x），则方程f（x）= 0的根的个数为
（A）1.
（B）2.
（C）3.
（D）4.
【 】
2．若α1, α2, α3, β1, β2都是4维列向量，且4阶行列式|α1, α2, α3, β1|= m, |α1, α2, β2, α3|=n，则4阶行列式|α3, α2, α1, β1+β2| 等于
（A）m+ n.
（B）-（m+ n）.
（C）n- m.
（D）m- n.
【 】
三、计算证明题
1．设A为10×10矩阵
计算行列式| A-λE|，其中E为10阶单位矩阵，λ为常数．
2．设A为3阶方阵，A*是A的伴随矩阵，A的行列式|A|= 
，求行列式|（3A）-1-2A*| 的值．
3．已知实矩阵A=（a ij）3× 3 满足条件：
（1）aij = Aij（i, j = 1,2,3），其中Aij 是a ij 的代数余子式；（2）a11 ≠0.
计算行列式| A|.
自测练习题答案或提示
一、填空题
1. -3; 2.an+（-1）n+ 1bn; 3.1-a+a2-a3+a4-a5; 4.（-1）n-1（n-1）；5.a2（a-2 n）; 6.-28; 7.（-1）mnab; 8.- 
; 9.24; 10.24; 11..
二、选择题
1.（B）2.（C）
三、计算证明题
1.λ10-1010.
2.- 
.
3.1.