1 探秘数学

1.1 文明古国的数学

数学诞生在四大文明古国，早在古埃及、古巴比伦、古印度及中国古代，已经有了许多数学知识。古希腊数学注重空间形式的研究，以及演绎论证思维模式的创立，这使得使数学的发展趋向严谨化，其影响远远超出了数学领域。

1.1.1 中国古代

1．十进制、算筹与珠算

我国古代数学以计算为主，取得了十分辉煌的成就，其中十进位制记数法、算筹与珠算在数学发展史中起着举足轻重的作用。

十进位制记数法曾被马克思称为人类“最妙的发明之一”（见图1-1）。从有文字记载开始，我国的记数法就遵循十进制（见图1-2）。

古代的算筹是一根根长短和粗细相近的小棍子，一般长13～14cm，径粗0.2～0.3cm，多用竹子制成，也有用木头、兽骨、象牙（见图1-3）、金属（见图1-4）等材料制成的，大约270多根为一束，放在一个袋子里，系在腰部随身携带，需要记数和计算时，就把它们取出来。

南北朝时期的《孙子算经》中记载了算筹记数的口诀：“凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当。”

其后的《夏侯阳算经》又补充：“……满六以上，五在上方，六不积算，五不单张。”

算筹数字分纵横两式，纵式表示个位数、百位数等，横式表示十位数、千位数等（见图1-5）。

最初算筹中没有“零”的符号，先是用空位表示，后来为了避免运算过程中出错，就借用古书缺字符号“□”，而“□”的书写很自然地演化为“○”，这一记号在宋元算书的演算中被广泛使用。

算筹，是世界上最早使用十进位制的记数法，在我国古代用了近2000多年，但由于使用不便、速度和效率不高等不足和社会发展对大量计算的需要，后被其他方法取代。沈括（见图1-6）介绍了各种因乘法，最早出现“九归”，并指出算书应遵循“见简即用，见繁即变，不胶一法”的原则。记数的许多歌诀与后来的珠算常用口诀一致。

据史料分析，穿珠算盘在北宋时期已出现，张择瑞的《清明上河图》（见图1-7）中有一个不很清楚的算盘，王振鹏的《乾坤一担图》（见图1-8）中已明确绘有穿珠算盘。

到了元朝时期，珠算盘（见图1-9）与珠算术（见图1-10）已完成，并开始普及。

2.《九章算术》与勾股定理

1953年，在由著名科学家组成的访问团搭乘的飞机上，科学家们从春秋战国时期的百家争鸣、七强并起、五雄争霸、秦国统一，一直谈到自秦汉以来科学技术、历法、算经的发展。华罗庚从钱三强和赵九章身上找到灵感，给出了经典的科学知识联对：（钱）三强韩赵魏，（赵）九章勾股弦。

《九章算术》（见图1-11）约成书于西汉时期，它上承秦汉以前的数学成就，下启唐宋数学的创造之源，对中国及世界的古代数学发展有着极其重要的影响。

《九章算术》包括246个应用问题，对每个问题都分别给出了答案和解题方法，各章的名称和主要内容如下：

第一章“方田”：平面几何图形面积的计算方法及分数问题；

第二章“栗米”：以谷物粮食交换为例的各种比例问题；

第三章“衰分”：比例分配问题；

第四章“少广”：由面积、体积反求其一边长和径长问题；

第五章“商功”：与土石工程有关的体积计算及分配方案问题；

第六章“均输”：合理摊派赋税及用衰分术解决赋役的合理负担问题；

第七章“盈不足”：由两次假设求解复杂算术问题的特殊算法；

第八章“方程”：一次线性方程组问题；

第九章“勾股”：利用勾股定理求解的各种问题。

勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形，并且以直角边中直立者为股，另一直角边为勾，斜边为弦，所以称这个定理为“勾股定理”，也有人称“商高定理”。

勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。公元3世纪，三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，记录于《九章算术》中，“勾股各自乘，并而开方除之，即弦”，赵爽创制了一幅“勾股圆方图”（见图1-12），用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明。

3．刘徽、祖冲之与圆周率

3世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽（见图1-13）首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法。所谓割圆术（见图1-14、1-15），就是不断倍增圆内接正六边形的边数求出圆周率的方法。

南北朝时期的数学家祖冲之（见图1-18）在刘徽得到的π=3.1416的基础上继续使用割圆术，在地上画了一个直径为一丈的大圆，将圆割成六等分（见图1-19），然后再依次内接一个12边形、24边形、48边形……他按勾股定理用算筹摆出乘方、开方等式，一一求出多边形的边长和周长，计算到正24576边形时，得到了圆周率π值的范围：3.1415926＜π＜3.1415927。

祖冲之还给出了圆周率π的分数近似值：约率，密率，他得出的圆周率精确值在当时世界上已遥遥领先，直到1000年后，才有阿拉伯数学家阿尔·卡西的计算超过了他。为纪念祖冲之的工作，“密率”又称为“祖率”。令人叫绝的是《蓝色多瑙河》起始的三个音符1、3、5与“祖率”的分子、分母不谋而合，每当圆号吹起时，我们的脑海里浮现的是“祖率”跳动在波光粼粼的多瑙河上。

【拓展与实践】

◆知识拓展：中国古代数学

◆动手实践

1．百鸡问题：今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。今百钱买鸡百只。问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？

2．李白买酒：李白街上走，提壶去买酒。遇店加一倍，见花喝一斗。三遇店和花，喝光壶中酒。试问酒壶中，原有多少酒？

3．迄今为止，对于勾股定理的证法有很多种，请查阅相关数学资料，给出其中一种证法。

1.1.2 古巴比伦

古巴比伦（见图1-18）位于亚洲西部的两河流域（底格里斯河与幼发拉底河），版图上接近于今天的伊拉克。

1．楔形数字与六十进位制

两河流域有优质黏土，聪明的巴比伦人独创性地把它制成泥版，当做书写材料。把芦苇杆削尖做笔，在黏土泥版上刻画下楔形的印痕。泥版晒干或烧烤后这种楔形文字便能长期保存。现出土的50万块文字泥版中，大约有300多块上印有清晰的楔形数字（见图1-19）。

公元前2400年左右，古巴比伦人就已经完善了数学计算体系，采用六十进位制（见图1-20）。例如，六十进位制的数“2,34”写成十进位制便是154，运算方法是2×60+34=154。

2．天文学

古巴比伦人很早就开始使用年、月、日的天文历法，他们的年历是从春分开始的，一年12个月，每月30天。一星期7天，这7天是以太阳、月亮、金星、木星、水星、火星、土星来命名的，每个星球的神主管一天，如太阳神主管星期日。圆周分为360度，每度60分，时间1小时等于60分，1分等于60秒，这些记法及现在的星期制，都是在古巴比伦时代创立的（见图1-21）。

【拓展与实践】

◆知识拓展：古巴比伦数学

◆动手实践

1．把六十进位制的数字“3,47”转换成十进位制的数字。

2．大英博物馆中的一块编号为BM13901的泥版上是大约公元前1900年，古巴比伦汉莫拉比时代的数学泥版，上面载有形似二次方程的求解问题：正方形面积与边长之和为0.75，试求边长。

1.1.3 古埃及

古埃及是世界四大文明古国之一，受宗教影响极大，举世闻名的金字塔就是古埃及人对永恒的一种崇拜产物。尼罗河是埃及人生命的源泉，他们靠耕种河水泛滥后淤土覆盖的田地谋生。而每次洪水退后，都要重新丈量居民的耕地面积，这种需要带动了古埃及数学的发展。

1．纸草书

尼罗河三角洲中生长着一种纸莎草，经过处理就可形成薄而平滑的书写表面。纸草书就是用纸莎草书写并装订起来的书籍。今天了解的关于古埃及人的数学知识，其主要依据是纸草文献《莱茵德纸草书》和《莫斯科纸草书》。

《莱茵德纸草书》（见图1-22、1-23）是由名为阿默斯的书记官用僧侣文在纸草上抄写的一部数学著作。共分为两部分，前部分是分数表，后部分是85个问题，问题除涉及素数、合数和完全数，还包括算术、几何、调和平均数以及简单筛法等概念。

1893年，俄罗斯贵族戈列尼雪夫在埃及购得《莫斯科纸草书》（见图1-24），现藏在莫斯科普希金精细艺术博物馆。据考究，这部草书成书于公元前1890年，也是用僧侣文写成（见图1-25），共包含了25个问题。

2．几何学与度量衡

古埃及几何学产生于尼罗河泛滥后对土地的重新丈量。上述的两册纸草书中也含有大量的几何性质的问题，多与土地面积和谷堆体积的计算有关。由于计算的需要，古埃及人使用绳子丈量土地，并由职业结绳者在测量用的绳子上打出等间隔的绳结（见图1-26）。

在古埃及，主要的长度单位有：腕尺，它是自肘到中指尖的长度；掌尺，等于七分之一腕尺；指尺，等于四分之一掌尺（见图1-27）。

古埃及的重量单位承袭了苏美尔时期的塔连特、西克勒制（见图1-28）。

3．金字塔中的数学

金字塔（见图1-29）在埃及和美洲等地均有分布，包括古埃及的上埃及、中埃及和下埃及，在今苏丹和埃及境内。现在的尼罗河下游，散布着约80座金字塔遗迹，大小不一，其中最高大的是胡夫金字塔（见图1-30），高146.5米，正方形底长约230米，共用230万块、平均每块2.5吨的石块砌成，占地52000平方米。

胡夫金字塔是数学界的一大奇迹。外观来看，金字塔的形状为正四棱锥，高为146.5米，底面周长为921.5米，底面正方形的周长与高度之比为2π。为了保持底面周长与塔的高度的2π关系，若倾斜角为52°，则塔内部所有甬道角度都是26°。从内部结构看（见图1-31、1-32），塔中的国王室，不论垂直还是水平都是在正中央的位置上。从垂直看，它恰好处于塔的高度的一半，从水平切面来看，王殿地面面积也恰好是整个水平切面面积的一半。王殿地面长11.4米、宽5.7米，按当时的长度单位换算为200腕尺，而其墙壁高度为5.8米即11.18腕尺。胡夫金字塔的建造除了包含着许多数学上的原理外，还包括很多天文地理知识，这个了不起的奇迹，至今仍有许多未解之谜。

【拓展与实践】

◆知识拓展：古埃及数学

◆动手实践

1．请用所学的方法，求出这个四边形的面积（假设灰色方块的面积为1平方厘米，见图）

2．《莱茵德纸草书》中的第79个问题是：一共有7个房子，每个房子里面有7只猫，每只猫吃了7只老鼠，每只老鼠吃了7穗麦穗，每穗麦穗生产出7公顷的谷物，问这其中一共涉及了多少谷物？

1.1.4 古印度

地处印度河和恒河流域的古印度（见图1-33）与古巴比伦、古埃及和古中国一样也是人类文明的发祥地之一，印度文明最早可以上溯到公元前3500年左右居住在印度河流域的达罗荼人。那时印度人就建起了具有相当规模的城市与宫殿，并且有了书写、计算和度量的体系。

1．阿拉伯数字与十进位制

阿拉伯数字是古印度人发明的，在公元前4世纪开始被使用，公元8世纪，被阿拉伯人采用并改进，后经阿拉伯人传入欧洲。用符号“0”表示零或无，是印度的重要发明。“0”既表示“无”的概念，又表示位值记数中的空位，它是数的一个基本单位，可以与其他数一起运算。相比之下，早期的巴比伦楔形文书、宋元以前的中国筹算记数法，都是留出空位而没有符号，后来的巴比伦人与玛雅人虽然引进了“0”，但其也仅仅表示空位，而不是一个独立的数。“0”是位置计数法的精髓，有了它，位置制才是完备的。

古印度数字：

现在使用的阿拉伯数字：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

自哈拉巴文化时期起，古印度人用的就是十进位制。这种记数法的产生和完善经历了相当长的时期——从公元前4世纪到公元3世纪。现今的东阿富汗地区和旁遮普北部风行所谓的音节数字与当时的古印度音节数字（见图1-34）有关，这可能是一种十进位制系统，数字1,4,10,20和100用特殊记号表示，其他数字则由加性原则写出，数字从右往左书写，逐渐演变成印度婆罗门数字（见图1-35）和印度阿拉伯数字。

十进位制记数法的使用和印度阿拉伯数字的出现，不仅在数学史上，而且在人类科学史上都具有十分重要的意义。

2．计算板

在古印度，人们广泛使用计算板，梵文中“算术”一词就是由“计算”和“板”两个词复合而成。早期稍复杂的运算是在用贝壳做成的古算盘上进行，计算人员手拿一个装有几百个长形贝壳和12个圆形贝壳的口袋，在算盘各栏中用长形贝壳摆出数字1,2, …,9，用圆形贝壳来表示零。例如数字34077可摆成（见图1-36），现在正统的婆罗门博学者仍使用这种方法进行计算。

在使用算盘计算时，要熟记一些法则，即加法的进位和减法的错位。乘、除法则在加、减法的基础上进行。

古印度的加法也许是从左往右进行的，和今天从右往左不一样。例如345和488相加就可能是如图1-37这么写的。

古印度的乘法有几种，其中有一种是计算程序法（见图1-38），先画出网格图，并依对角线进行加法运算。（注意：由于此方法每一个网格被每一条对角线分成两个，在乘法运算中用不着搬动。）

现代初等算术运算方法的发展，起始于印度和中国，大约在10世纪或11世纪，它被阿拉伯人采用，后来传到西欧，并逐渐发展成现在的形式。

【拓展与实践】

◆知识拓展：古印度数学

◆动手实践

1．汉诺塔游戏：

（1）有三根杆子A、B、C, A杆上有若干圆片；

（2）每次移动一块圆片，小的只能叠在大的上面；

（3）把所有圆片从A杆全部移到B或C杆上。

（温馨提示：汉诺塔的破解方法就是按照移动规则向一个方向移动圆片。）

2．传说在印度舍罕王时代，宰相依达尔有着超人的智慧，尤其喜爱发明创造以及严密的数学推理。他发明了国际象棋，整个棋盘是由64个小方格组成的正方形。国王看到了十分开心，准备重赏他，问他要什么。依达尔说：“陛下，为臣别无他求，只请您在这张棋盘上的第一个小格内，赏给我一粒麦子，第二个小格内给两粒，第三格内给四粒，第四格内给八粒。总之，每一格内都比前一格增加一倍。陛下，您把摆满棋盘上的64格的麦粒赏给我，我就心满意足了！”同学们，摆满这个棋盘，得需要多少粒麦粒？

1.1.5 古希腊

古希腊位于欧洲南部，地理范围大致以希腊半岛为中心，包括爱琴海诸岛、小亚细亚西部沿海、爱奥尼亚群岛以及意大利南部和西西里岛。古希腊人是古典数学的奠基者，他们率先从哲学角度，提出了公理化体系和形式逻辑，使用逻辑证明、演绎法，强调量化和系统化，并且把数学应用到各个领域，使数学发展成为一门具有严密的系统、富有逻辑性的学科，开启了后世数学与科学的大门。

1．泰勒斯与几何学

尼罗河的定期泛滥冲毁了田亩疆界，每当河水退去，人们就要重新测定土地面积，几何知识由此产生。前面已经提到古埃及人最先懂得几何学，又把它传给了希腊人。但是古埃及、古巴比伦还有古印度都只是对事实持有一种认可的态度，他们的数学告诉我们的是“怎样做”，而不去想“为什么会这样”，因此几何学在埃及还只是零散的知识。

后期的希腊人却展示了一种完全不同的精神风貌，他们对万事都要挖掘根源、找出证据。正是这种寻求真理的精神使他们在数学证明上有了更大的发展，为世界文化做出了巨大的贡献。其中代表性人物有泰勒斯。

泰勒斯（见图1-39），约公元前624年出生于小亚细亚的米利都，是古希腊时期的思想家、科学家、哲学家，希腊最早的哲学学派——米利都学派的创始人，被称为“科学和哲学之祖”。

泰勒斯在数学方面的划时代贡献是引入了命题证明的思想，这在数学史上是一次不寻常的飞跃。他在数学上最著名的成就是测量金字塔的高度（见图1-40）及证明了这5个命题：（1）任何圆周都被其直径平分；（2）等腰三角形的两个底角相等；（3）两直线相交时，对顶角相等；（4）两边及所夹一角分别对应相等的三角形全等；（5）半圆上的圆周角是直角。

现在看来这些命题都很简单，证明也很容易，但是我们要知道，这对一个人来说是一小步，但对人类而言是一大步！几何学的发展历史正是由这些简单命题的证明所累积的，这些逐渐构成了早期几何学的大厦，演绎几何学从这里开始。

2．毕达哥拉斯学派与无理数的发现

毕达哥拉斯（见图1-41）出生于爱琴海中的萨摩斯岛，是古希腊数学家、哲学家。他曾经到埃及与巴比伦游学，回到希腊后建立了“毕达哥拉斯”学派。他们相信依靠数学可使灵魂升华，万物都包含数，万物皆是数。他们认为，所有的宇宙现象都依附于某种数值的相互关系，人们可以通过对“数”的性质的研究来寻求宇宙的永恒定律。当然，“万物是数”是荒谬的，但近代科学正是在探索自然界的数学规律中取得长足进步的。

毕达哥拉斯学派注重自然数与图形的关系，强调数是几何的基本元素，这种数形结合的观点可以看作是解析几何的最早研究。如把1,3,6,10, …称为三角形数（见图1-42）；把1,4,9,16, …称为正方形数（见图1-43）；把1,5,12,22, …称为五边形数（见图1-44）。

毕达哥拉斯学派的另一重大发现是“毕达哥拉斯定理”，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（我国称为“勾股定理”）。它是数学史上的一块里程碑，揭示了三角形边长的数量和形状的关系，被人们誉为数学大厦的“拱心石”。

但是，由毕达哥拉斯定理引发的关于无理数的发现，却使毕达哥拉斯学派陷入了困境。他们对数的研究还局限在有理数范畴内，认为任何量都可以表示成两个整数之比。学派成员希帕苏斯在深入研究直角三角形，用几何法表示2时产生困惑，找不到整数和分数可以表示2的值，“不可公度量”即无理数得以被发现。毕达哥拉斯学派对不可公度量望而生畏，为了严守这个秘密，他们把发现这个秘密的希帕苏斯扔进了大海。谁也不会想到无理数的背后会有这样一个悲惨的故事，无理数并不是“没有道理的数”，而是“不可比的数”！

3．欧几里得与《几何原本》

欧几里得（见图1-45）出生于雅典，古希腊时期的数学家、教育家，从事数学研究和教学，其传世之作《几何原本》是历史上非常成功的教科书，被后世称为“几何之父”。

欧几里得是一位出色的老师，他治学严谨、求实，对于那些有志于穷尽数学奥秘的学生，他总是循循善诱地予以启发，又特别鄙视在学习上不肯钻研、急功近利、投机取巧的人。国王托勒密一世曾问欧几里得：“学习几何有无捷径？”欧几里得回答说：“几何学无王者之路。”这句话后来被推广为“求知无坦途”，成为传诵千古的学习箴言。

从泰勒斯、毕达哥拉斯一直到亚里士多德，几乎每一位希腊的学者都为几何学的发展做出了积极贡献。到了欧几里得时代，希腊数学已到硕果飘香的金秋时节了。当欧几里得把当时所有数学书籍重新修订、查证后，他意识到，应当把这些零散的数学知识整理成一个严密的体系。《几何原本》（见图1-46）包括直线与圆的性质、比例论、相似形、数论、不可公度量的分类、立体几何及穷竭法等13卷。在数学中确立了演绎范式，这种范式要求一门学科中的每一个命题，必须是在它之前已经建立的一些命题的逻辑结论，而所有这些推理的出发点是一些基本定义和被认为是不证自明的基本原理——公设或公理，即演绎数学的公理化思想。

许多人都学过欧几里得几何学，爱因斯坦曾说：“如果欧几里得未曾激起你少年时代的热情，那么，你就不是一个天生的科学家。”美国总统林肯年轻时每天晚上都要学习《几何原本》，据说他证明了《几何原本》前6卷的全部命题，以此来提高自己的逻辑推理能力。

两千多年来，《几何原本》以各种文字印刷了1000多种版本。有千千万万的人通过对欧几里得几何的学习，受到了数学推理的训练，从而步入科学的殿堂。

欧几里得《几何原本》建立了人类历史上第一座宏伟的演绎推理大厦，成为人类理性思维的历史丰碑。

【拓展与实践】

◆知识拓展：古希腊数学

◆动手实践

1．阿波罗尼斯问题：用圆规和直尺作出与三个已知圆相切的圆。这是几何学中有名的作图问题，简称AP特殊情况，即一个著名问题：作出与两条已知直线（相交或平行）相切并过已知点的圆。

（1）若三个圆中的每个圆都在其他两个圆之外，则AP有多少解？

（2）若三个圆相切于一个公共点，则AP有多少解？

（3）若一个圆位于另一个圆内部，则AP有多少解？

2．阿基米德曾就一个“群牛问题”写信给当时的天文学家厄拉多塞尼。问题简述如下：

在西西里岛上，太阳神放牧了一群牛，其中，

白色公牛-黄色公牛=黑色公牛的（1/2+1/3），

黑色公牛-黄色公牛=杂色公牛的（1/4+1/5），

杂色公牛-黄色公牛=白色公牛的（1/6+1/7）

另外，白色母牛=全部黑色牛的（1/3+1/4），

黑色母牛=全部杂色牛的（1/4+1/5）

杂色母牛=全部黄色牛的（1/5+1/6），

黄色母牛=全部白色牛的（1/6+1/7）

请问：太阳神的牛群中总共有多少头牛？各色公牛与母牛各是多少头？