2.2　SBM模型概述

CCR作为数据包络分析的一般模型，是建立在规模报酬不变的假设情况下，其单投入单产出的有效生产边界如图2-1所示。更一般地说，这是假设可能的生产集合具有以下性质：如果（x，y）是一个可行点，则（tx，ty）也是可行的。这个假设可以被修改，以便用于不同的假设的可能的生产集合。事实上，自从DEA的研究开始后，对CCR模型的各种扩展就被提出。

我们希望引入一种模型来增强加法模型，使效率评价的目标函数值不受不同的投入和产出的单位影响。也就是说，当距离以公里或英里计算时，得出的是同样的效率值。同时希望xio，xij被替代，yro，yrj被替代时，ki，cr是主观指定的常数，指标值同样不变。这个属性，被称为“维自由”（Graves，Thrall，1966）及“单位不变”。在这一节我们介绍加法模型的单一的标量称为SBM（基于松弛变量模型），是由Tone（1997，2001）提出，它具有以下性质：

①这个指标不受对每个投入和产出的计量单位的影响。（单位不变）

②这个指标随每个投入和产出松弛变量单调递减。（单调）

2.2.1　SBM定义

为了测算一个DMU（x0，y0）的效率，形成以下的分式规划（λ*，s-*，s+*），如式（2-12）所示：

subject    to　xo=Xλ+s-　　　　　　　

yo=Yλ-s+

λ≥0，s-≥0，s+≥0　　 （2-12）

在此模型中，假设X>0，如果xio=0，则删除目标函数中的，如果yio≤0，那么将其更换一个非常小的正数，使起到惩罚的作用。

很容易验证目标函数值ρ满足P1，因为式（2-12）的目标函数的每一项，分子和分母使用同样的单位。也很容易证实，无论是在增加s-*或s+*，其他保持不变，将减少目标函数值，事实上，还是严格单调递减。

更进一步，有式（2-13）：

0≤ρ≤1　　 （2-13）

为了证明这个关系成立，首先有≤xio，∀i都成立，所以有0≤/xio≤1，i=1，2，…，m ，同时/xio=1，当且仅当此投入为0时成立。接着有，式（2-14）：

（2-14）

相同的关系对于产出不适用，因为由非零松弛变量显示的产出缺量可能超过了相应的产出数量，但是，我们有式（2-15）：

（2-15）

因此，这些代表了平均投入和产出的比例低效率的上限，其中，ρ=1仅当所有投入和产出的松弛变量为零。

2.2.2　SBM作为投入和产出低效表示的诠释

ρ可以转变为式（2-16）：

（2-16）

比率（xio-）/xio评价投入i相对减少率，因此，第一项对应为平均投入比例减少率或投入混合低效率。同样，（yro+）/yro评价产出r相对增加率，［∑（yro+）/yro］/s为平均产出比例增加率，第二项是它的倒数，衡量了产出混合低效率。因此，SBM被解释为平均投入和产出的混合比例低效率。

此外，我们有定理：如果DMUA优于DMUB，即是xA≤xB，yA≥yB，所以有≥。

2.2.3　SBM模型的测算

SBM模型通过引入一个正变量t可转化为下面的形式，如式（2-17）所示：

xo=Xλ+s-

yo=Yλ-s+

λ≥0，s-≥0，s+≥0，t>0.　　 （2-17）

S-=ts-，S+=ts+，and Λ=tλ

进而，有式（2-18）：

txo=XΛ+S-

tyo=YΛ-S+

Λ≥0，S-≥0，S+≥0，t>0　　 （2-18）

请注意，选择t>0表示转换是可逆的。

所以，SBM的最优解定义为式（2-19）：

ρ*=τ*，λ*=Λ*/t*，s-*=S-*/t*，s+*=S+*/t*　　 （2-19）

通过最优解可以判断DMU是否是SBM有效的为：DMU（xo，yo）是SBM有效的当且仅当ρ*=1。

等价于s-*=0，s+*=0即最佳的解决方案没有投入过多或产出不足的问题。

对于一个DMU（xo，yo）是SBM有效的，有式（2-20）：

xo=Xλ*+s-*

yo=Yλ*-s+*　　 （2-20）

DMU（xo，yo）可以通过删去过多的投入和增加不足的产出而变为有效，通过式（2-21）（SBM投射）：

⇐xo-s-*

⇐yo+s+*　　 （2-21）

对于加法模型同样适用，见式（2-22）和式（2-23）。

基于λ*定义（xo，yo）的参考集为：大于0的指标的集合称为（xo，yo）的参考集。

如果有多个最优解，参考集不是唯一的，可根据需要选择任何一个。参考集Ro记为式（2-22）：

Ro={j|>0}（j∈{1，…，n}）　　 （2-22）

用Ro表示为式（2-23）：

（2-23）

这意味着是有效边界上的点，表示为参考集Ro的组合，每个成员也是有效的。

2.2.4　SBM和CCR模型的比较

CCR以弱有效的形式表示，如式（2-24）：

（CCR）　θ

subject to　　θxo=Xμ+t-　　　　　

yo=Yμ-t+

μ≥0，t-≥0，t+≥0　　 （2-24）

CCR的最优解表示为：（θ*，μ*，t-*，t+*）

由式（2-24）得式（2-25）：

xo=Xμ*+t-*+（1-θ*）xo

yo=Yμ*-t+*　　 （2-25）

令：

λ=μ*

s-=t-*+（1-θ*）xo

s+=t+*　　 （2-26）

（λ*，s-*，s+*）对于SBM是可行的，再根据式（2-26），最优值表示为式（2-27）：

（2-27）

明显小于θ*，因此有：SBM的ρ*不超过CCR的θ*。

这个定理反映了一个事实，SBM反映了所有的非有效，而θ*只是“纯技术性”的低效率。相反，对于SBM的最优解（ρ*，λ*，s-*，s+*），将式（2-12）的约束转换为如式（2-28）：

θxo=Xλ*+（θ-1）xo+s-*

yo=Yλ*-s+*　　 （2-28）

并增加约束，为式（2-29）：

（θ-1）xo+s-*≥0　　 （2-29）

CCR的可行解为：（θ*，λ*，t-=（θ-1）xo+s-*，t+=s+*） 。

CCR有效和SBM有效的关系如下：DMU（xo，yo）是CCR有效的，当且仅当它是SBM有效的。

证明：假设DMU（xo，yo）是CCR有效的，那么有θ*<1或者θ*=1，（t-*，t+*）≠（0，0），有ρ<1是SBM的可行解，因此DMU（xo，yo）是SBM有效的。

另一方面，假设DMU（xo，yo）是SBM有效的，根据Ali和Seiford（1990）的加法模型有，（s-*，s+*）≠（0，0）。

根据式（2-27）和式（2-28），［θ*，λ*，t-=（θ-1）xo+s-*，t+=s+*］是CCR的可行解，假设（θ-1）xo+s-*≥0，有两种情况：

情况1：θ*=1，（t-*=s-*，t+*=s+*），那么CCR的最优解是CCR有效的。

情况2：θ<1，那么DMU（xo，yo）是CCR有效的最优解。

由此可知，CCR低效率等价于SBM低效率。由于高效率和低效率的定义是相互排斥的，因此定理得证。

2.2.5　SBM的对偶规划

原问题的对偶形式如式（2-30）：

（DP） ξ　　　　　

subject to　　ξ+vxo-uyo=1　　　　　

-vX+uY≤0

（2-30）

ε∈R，v∈Rm，u∈Rs

消去ε，有

（DP'）　max　uyo-vxo　　　　　

subject to　　-vX+uY≤0　　　　　

（2-31）

对偶变量v∈Rm，u∈Rs可以理解为虚拟成本，分别为投入和产出的价格。对偶规划的目的是找到DMU（xo，yo）最佳的虚拟成本，使任何DMU（xo，yo）的虚拟利润uyj-uxj不超过0，并且使DMU（xo，yo）的利润uyo-uxo为最大值0，因此DMUs是SBM有效的，有ε=1。

2.2.6　导向SBM模型

以投入（产出）为导向的SBM模型可以定义为SBM模型忽略目标函数的分母（分子）。因此，得到效率值和如式（2-32）、式（2-33）：

subject to　　xo=Xλ+s-　　　　

yo≤Yλ

λ≥0，s-≥0　　 （2-32）

［Output-oriented SBM Model］

subject to　　xo≥Xλ

yo=Yλ-s+

λ≥0，s+≥0　　 （2-33）

从而有式（2-34）：

≥ρ*　and　≥ρ*　　 （2-34）

以投入为导向的SBM模型实质上相当于所谓的“Russell投入的技术效率衡量”。

2.2.7　加权SBM模型

可以根据投入和产出的相对重要性，分配权重如式（2-35）：

（2-35）

权重应该反映决策者的意图。如果所有的产出都是同样的单位，如美元，那么如式（2-36）所示：

（2-36）

使用SBM中的最优松弛变量（s-*，s+*），将ρ*分解如式（2-37）：

（2-37）

这种分解是根据各个DMUo的投入产出信息，评估低效率的缘由和程度。

2.2.8　SBM模型的拓展

Färe和Grosskopf（1996）引入内部链接要素并提出动态DEA模型。Nemoto和Goto（1999，2003）将拟固定投入要素看作两期间的动态要素，即拟固定要素既是本期的投入要素，也是上期的产出要素，提出了动态DEA模型并将其运用在实证中。Geymueller（2009）构建了不考虑价格因素的动态DEA模型，并基于实证结果与静态模型对比得出静态分析会导致误判的结论。Amirteimoori（2006）运用动态DEA模型评估经营业绩从而计算单期绩效和总绩效以得到最优产出。Färe等（2009）对动态DEA模型进行了修正，从而得出前期相对于当期的真实效应。Tone和Tsutsui（2010）将动态要素引入SBM（Slacks-based Measure）模型（Tone，2001），重新定义了动态要素（例如存款、固定资产投入），并将其分解为优动态、劣动态、可分动态和不可分动态四种情况。虽然动态DEA模型已经在很大程度上得到了重视和发展，然而，目前这些研究仅限于DEA层面的单期数据，将动态要素引入到多期指数分析中的研究尚且不多。

在DEA领域，学者们已经引入具有跨期作用的动态要素并提出动态DEA 模型。Tone和Tsutsui（2010）将Färe和Grosskopf（1996）提出的动态要素引入SBM（Slacks-based Measure）模型（Tone，2001）中。虽然动态DEA 模型已经在很大程度上得到了重视和发展，但将动态要素引入到跨期指数分析中的研究尚且不多。雷明等（2012）在分析能源效率时，将固定资产投入作为动态要素引入Malmquist 指数中，提出了环境约束下的能效动态Malmquist 模型，并定义了动态进步指数。本书参考该文献的处理方法，将动态要素引入全局Malmquist-Luenberger 指数中，并对其分解。与该文献相比，本书提出全局视角下的动态指数具有可传递性、形式简化、避免线性规划无可行解等优势。Malmquist-Luenberger 生产率指数的计算和分解基于方向性距离函数。在最新的研究中，Fukuyama 和Weber（2009）基于Tone（2001）处理松弛变量的方法，将松弛变量引入到方向性距离函数中，提出方向性松弛的效率损失测定法（DSBI），并将其拓展为含有非期望产出的SBM 模型（Fukuyama，Weber，2010），这种模型结合了方向性距离函数和SBM 模型的优点，在技术上克服了径向和导向选择产生的偏差。因此，我们将动态要素引入到DSBM模型中，以计算方向性距离函数值，从而计算动态全局Malmquist-Luenberger指数及其分解部分。