2.1.3 隶属函数的确定方法
从定义2.1可知，隶属函数是对F概念的定量描述。我们遇到的F概念不胜枚举，然而准确地反映F概念的F集合的隶属函数，却无法找到统一的模式。如何正确地确定隶属函数，是运用F集合理论解决实际问题的基础，本部分给出研究描述模糊现象和确定隶属函数的一般方法。
2.1.3.1F统计法
在很多情况下，隶属函数可以通过F统计试验的方法来确定，此处利用确定F集“青年人”的隶属函数为例子来说明。
以人的年龄作为论域U，调查n个人选，请他们认真考虑“青年人”的含义后，提出自己认为的“青年人”最合适的年龄区间，如表2.2所示（统计129人后给出的结果）。
表2.2 关于青年人年龄区间的调查结果
为了确定某个年龄（如u0=27）隶属于“青年人”这一F集合A的程度，尝试进行如下试验，计算出27岁被n个人给出的年龄区间的覆盖次数m，则称m/n为27岁对于“青年人”的隶属频率。表2.3给出了部分抽样调查结果。
表2.3 27岁对青年人的隶属频率
容易发现，随着n的个数增加，27岁隶属于“青年人”这一集合的频率逐步稳定在0.78附近，因而可取
A（27）=0.78
接着，考虑“青年人”的隶属函数。将论域U进行分组处理，每组以中值为代表分别计算各组的隶属频率，即可确定出14～37岁各年龄隶属于F集A的隶属度，其隶属度函数曲线如图2.3所示。
图2.3 青年人的隶属函数
注意：从图2.3获得具体隶属函数表达式的方法可以利用数值分析中的插值或拟合的方法，亦可利用下面将要讲述的F分布法。
统计试验方法可以比较客观地反映论域中元素相对于F概念的隶属程度，也具有一定的理论基础，因而是一种常用的确定隶属函数的方法。但需要指出的是，F统计与概率统计是有本质区别的：一般说来，概率统计可以理解为“变动的点”是否落在“不动的圈内”，而F统计则可理解为“变动的圈”是否能够覆盖住“不动的点”。
2.1.3.2 F分布法
人们对于客观事物的描述分析，主要可以分为偏大型、中间型和偏小型，比如描述人的体型可以说“胖”、“适中”和“瘦”，描述温度可以说“冷”、“适中”和“热”，而这些都是以实数R作为论域的情形。通常，人们把实数集R上F集的隶属函数称为F分布。当所讨论的客观模糊现象的隶属函数与某种已知的F分布相类似时，即可选择这个F分布作为所求的隶属函数，然后再通过先验知识或数据实验确定符合实际的F分布中的各未知参数，从而得到具体的F集的隶属函数。
本书给出几种常见的F分布及其图形，以供读者参考选择。
（1）矩形分布与半矩形分布
（2）矩形分布与半矩形分布
（3）抛物型分布
（4）正态分布
（5）柯西分布
（6）岭形分布
本书给出了六种F分布，在实际应用中请根据讨论对象所具有的特点加以选择。或者可以根据统计资料描述出大致曲线，结合F统计方法选择最接近的一个，再根据实际情况确定出较符合实际的参数即可。
注意：数学软件MATLAB包含模糊数学工具箱，其中提供了丰富的F分布函数，可供读者直接利用。
2.1.3.3 三分法
三分法是用随机分界点的思想来处理模糊性的统计试验模型。下面通过建立“矮个子”、“中等个子”、“高个子”三个F集的隶属函数来给出三分法的具体步骤。
设论域U=（0，3），单位为米，A1，A2，A3∈F（U）为相应的三个F集，因为每次模糊试验可以确定U的一个划分，而每次划分恰好可以确定一对数（ξ，η），其中ξ表示矮个子与中等个子的分界点，η表示中等个子与高个子的分界点。反之，如果能够给出数对（ξ，η），则把论域U划分为矮个子、中等个子和高个子三个部分。即（ξ，η）确定了映射e，有
e（ξ，η）：U→{A1，A2，A3}
因为矮个子、中等个子和高个子的区间是随机区间，则ξ和η是具有正态分布的随机变量，即
从而有
概率P{u≤ξ}是随机变量ξ落在区间[u，b）的可能性的大小。若u增大，则区间[u，b）变小，落在区间[u，b）的可能性也随之变小。概率P{u≤ξ}的这一特性与矮个子F集A1相同，从而有
类似的，有
这里的Pξ（u），
表示随机变量ξ和η的概率密度，而
A2（u）=1-A1（u）-A3（u） （2.19）
这其中
