四、习题

答案

1-1　有A、B两车在同一直线轨道上同向行驶，A车以速度v1匀速运动，B车在后，当B车与A车距离为d时，B以速度v2开始做匀减速运动，加速度为-a，且v2＞v1，问：两车不会相撞的最小距离d为多少？

（A）0

（B）

（C）

（D）

1-2　人造卫星绕地球作圆周运动，由于受到空气的摩擦阻力，人造卫星的速度和轨道半径将如何变化？

（A）速度减小，半径增大；

（B）速度减小，半径减小；

（C）速度增大，半径增大；

（D）速度增大，半径减小。

1-3　如图1-10所示，一倾角为θ的斜面放置在光滑桌面上，斜面上放一木块，两者间的摩擦系数为μ（μ＜tanθ），为使木块对斜面静止，木块的加速度a必须满足：

（A）

（B）

（C）

（D）

1-4　已知质点的运动学方程为r=2ti+（4-t2）j，在t＞0的时间内运动情况是

（A）位置矢量可能和加速度垂直，速度不可能和加速度垂直；

（B）位置矢量不可能和加速度垂直，速度可能和加速度垂直；

（C）位置矢量和速度都可能与加速度垂直；

（D）位置矢量和速度都不可能与加速度垂直。

1-5　如图1-11所示，一根跨越一固定的水平光滑细杆的轻绳，两端各系一个小球，球a置放于地，球b被拉到与细杆同一水平的位置，在绳刚被拉直时放手，使球b从静止状态向下摆动。设两球质量相等，则球a刚要离开地面时，跨越细杆的两段绳之间的夹角为

（A）

（B）

（C）45°

（D）

1-6　用铁锤将一铁钉击入木板，设铁钉受到的阻力与其进入木板内的深度成正比，铁锤两次击钉的速度相同，第一次将钉击入木板内1cm，则第二次能将钉继续击入的深度（不是指总的深度）为

（A）1cm

（B）0.5cm

（C）

（D）

1-7　如图1-12所示，保持初速度大小v0不变，抛射角取θ1=30°时，测得水平射程为S1。抛射角改为θ2=60°时，水平射程为S2=　　　　S1；不同抛射角对应的诸多水平射程中最大者Smax=　　　　S1。

1-8　在一个竖直平面内有三个质点A、B、C，某时刻它们恰好位于每边长为2m的正方形三个顶点上，方位如图1-13所示。设此时C无初速地自由下落，B以1m·s-1的速度竖直向下运动，A则以初速度vA开始自由运动。不计空气阻力，如果A恰好在C落地时刻同时击中B、C，则C初始离地高度为长为　　　　　m，vA的大小为　　　　　m·s-1。

1-9　沿x轴运动的质点，速度v=αx，α＞0，t=0时刻，质点位于x0＞0处，而后的运动过程中，质点加速度与所到位置x之间的函数关系为a=　　　　，加速度与时刻t之间的函数关系为a=　　　　。

1-10　在地面上的同一地点分别以v1和v2的初速先后向上抛出两个小球，第二个小球抛出后经过Δt时间与第一个小球在空中相遇。改变两球抛出的时间间隔，便可改变Δt的值。若v1＞v2，则Δt的最大值为　　　　　；若v1＜v2，则Δt的最大值为　　　　　。

1-11　金属丝绕着铅垂轴弯成等距螺旋线，螺距h=2cm，旋转圆半径R=3cm。在金属丝上穿一小珠，小珠由无速度开始下滑，不计摩擦。小珠在第一圈螺旋末端处的水平方向速度大小为　　　　　　m·s-1，总的加速度大小为　　　　　　m·s-2。

1-12　如图1-14所示ABC为等边三角形，连接AB边、AC边的中点B1、C1，再连接AB1、AC1的中点B2，C2，…如此继续下去，构成无限内接等边三角形系列。设所有线段的质量线密度相同，BC边的质量为m，长度为a，那么等边三角形系列的总质量为　　　　　　m，系统质心与BC边的距离为　　　　　　a。

1-13　质量分别为m1和m2的两物块与劲度系数为k的轻弹簧构成系统如图1-15所示，物块与地面光滑接触，右侧水平外力使弹簧压缩量为l，物体静止。将右侧外力撤去后，系统质心C可获得的最大加速度为　　　　　　　　　　　，可获得的最大速度值为　　　　　　　。

1-14　在每边长为l的正方形光滑台球桌面ABCD上，有两个静止的小球P和Q，其中P到AB边和AD边的距离同为l/4，Q到CD边和AD边的距离也同为l/4，如图1-16所示。令P对准BC边的S点以速度v运动，相继与BC边及CD边弹性碰撞后，恰好能打中Q。则S点与C点距离为　　　　　　，P从开始运动直到与Q相碰，其间经过的时间为　　　　。

1-15　质量可忽略的圆台形薄壁容器内，盛满均匀液体。容器按如图1-17（a）所示方式平放在水平地面上时，因液体重力而使容器底面所受压强记为p1，地面给容器底板向上的支持力记为N1；容器按图1-17（b）所示方式放置时，相应的力学参数记为p2、N2。那么，必定有p1　　　　p2，N1　　　　N2。（分别选填“小于”“等于”或“大于”。）

1-16　如图1-18所示，长为l、质量为M的匀质重梯子上端A靠在光滑的竖直墙上，下端B落在水平地面上，梯子与地面的夹角为60°。一个质量也为M的胖子从B端缓慢爬梯，到达梯子的中点时，梯子尚未滑动，稍过中点，梯子即会滑动，据此可知梯子与地面间的摩擦因数μ=　　　　　。令质量为2M/3的瘦子替换胖子从B端缓慢爬梯，为使梯子不会滑动，他可到达的最高位置与B端相距　　　　　　。

1-17　在光滑水平面上有一内壁光滑的固定圆环，三个质量分别为m1、m2、m3的小球沿着环的内壁作圆周运动，初始时刻各球的位置和运动方向如图1-19所示，各自速度大小分别为v10、v20、v30，而后，小球间发生的碰撞为非弹性碰撞，那么三个小球最终都会停止运动的条件是　　　　，从初始状态到最终全都停止运动的过程中，系统的动能、动量和相对圆环中心的角动量三个物理量中不守恒的量是　　　　。

1-18　设小船在无阻力的水面上静止漂浮，小船质量为M，长为L，有一质量为m的人以相对船为a的加速度在船板上步行，则船相对水面的加速度为　　　　　。

1-19　如图1-20所示，上端绳a、下端绳b的长度分别为l1和l2，m2已知。打击m1使之有水平速度v0，而绳索仍保持竖直，该瞬时下端绳中的张力为　　　　。

1-20　质量为M的男子，站在磅秤上作双手上抛小球游戏，球有三个，每个质量均为m。抛球过程中，男子用左手接住从空中落下的一个球，再传递给右手，右手接过小球，并将小球向上抛出。假设每只手中至多只留有一个小球，左手接球点高度与右手抛球点高度相同，每个小球离开右手后的升高量均为H，每个小球的运动周期都相同，空气阻力忽略不计，那么，系统运动周期的可取范围为　　　　　　，磅秤的平均读数为　　　　　　。

1-21　如图1-21所示，一个质量为m的小球从一个半径为r，质量为M的光滑半圆柱顶点下滑，半圆柱底面和水平面光滑接触，写出小球在下滑过程中未离开圆柱面这段时间内相对地面xOy坐标系的运动轨迹方程　　　　　　，如果半圆柱固定，小球离开半圆柱面时相对y轴的偏转角θ=　　　　　　。

1-22　光滑水平面上有4个相同匀质光滑小球，其中球2、3、4静止与如图1-22所示位置，球1具有如图1-22所示方向的初速度v0，设小球间发生的都是弹性碰撞，最后这4个球中停下来的是　　　　，运动的球中速度最小值为　　　　　。

1-23　如图1-23所示，质量为M的滑块静止置于光滑的水平地面上，质量为m的小球从静止开始沿滑块的圆弧面下滑，圆弧半径为R，当小球滑至最低点A时，小球的运动轨迹（相对于地）在该点的曲率半径为　　　　　　。

1-24　如图1-24所示，一质量为M，长为L的小船静浮在水面上，船的两头各站甲、乙两人，甲的质量为M，乙的质量为m（M＞m）。现两人同时以相同的相对船的速率v0向位于船正中，但固定在水中的木桩走去，忽略船与水之间的阻力作用，则　　　　先走到木桩处，所需的时间为　　　　　　。

1-25　如图1-25所示，车厢在水平轨道上以恒定的速度u向右行驶，车厢内有一摆线长为l，小球质量为m的单摆，开始时摆线与竖直方向夹角为φ0，摆球在图示位置相对车厢静止，而后自由摆下，那么摆球第一次到达最低位置时相对地面的速率为　　　　　，相对于地面，在这一下摆过程中摆线对小球所做总功为　　　　　　。

1-26　如图1-26所示，长为L，线密度为λ的柔软细绳，原先两端A、B合并在一起，悬挂在支点A上，现让B端脱离支点自由下落，当B端下落x时，支点上所受力T为　　　　。

1-27　如图1-27所示，劲度系数为k的轻弹簧一端固定，另一端与桌面上质量为m的小球B相连，推动小球，将弹簧压缩一段距离L后放开，假定小球所受的滑动摩擦力大小为F且恒定不变，滑动摩擦系数与静摩擦系数可视为相等，欲使小球在放开后就开始运动，而且一旦停止下来就一直保持静止状态，则L必须满足的条件是　　　　　　　。

1-28　设想地球、月球半径以及两球中心间距都缩小为原值的十分之一，但质量不变。那么，地面处原周期为1s的小角度单摆，现周期为　　　　　　s；将月球绕地球运动的原周期仍然记为月，月球绕地球运动的现周期便为　　　　　　　　月。

1-29　某颗恒星S（处理成一个点）外围半径R处为尘埃组成的球壳所包围，该星所发射的光首先被尘埃球壳所吸收，然后由尘埃发射光。当该恒星突然经历一次新星爆炸发出很强的光脉冲后，在远处地球上的观察者将先看到由图1-28中A处辐射的光，然后才看到由P处辐射的光，总的效果是一个以为A为中心、半径r不断增大的光环。将真空光速记为c，光环从出现到半径达到最大，其间历时　　　　　　，过程中光环半径r随时间t增大的速率与r之间的函数关系为=　　　　　　　　。

1-30　气态星球S的半径为R，密度设为常量ρ，过S中心点的某坐标O-xy如图1-29所示。在x0=R/2，y0=0处有一飞行器P，它具有朝y轴方向的初速度v0，P在而后运动过程中受到的气体阻力可忽略。当v0=　　　　　时，P恰好不会运动到S的表面外，此种情况下，P的运动轨道方程为　　　　　　　　。

1-31　如图1-30所示，底部开有小孔的瓶内盛水高度为H，静止直立时，小孔流速v1=　　　　。若改为用右手拇指堵住底部小孔，其余四指捏住瓶底，使其仍处于静止直立状态，而后右手将瓶子竖直向上抛出，略去空气阻力，此时小孔流速v2=　　　　。

1-32　在水平地面上的一个桶内盛有高为h1+h2的水，桶的侧面有一小孔，孔与水面相距为h1，水从小孔流出时的速度为v1=　　　　，对应的水平射程为S1，如图1-31所示。如果小孔的位置改取在水面下方h2处，对应的水平射程记为S2，则S2-S1=　　　　　。

1-33　如图1-32所示，静止的立方体形水平放置的箱内装有一半容积的水，将箱底左下角的小孔P打开时，水以v0速率向外流出。今使水箱水平朝右以a=g的加速度运动，待箱中的水达到稳定状态时打开小孔P，水将以v=　　　　　　的速率相对水箱向外流出。设外界和水箱内气体压强几乎始终相同。

1-34　如图1-33所示，一艘船以速率u驶向码头P，另一艘船以速率v自码头离去，试证当两船的距离最短时，两船与码头的距离之比为（v+ucosα）∶（u+vcosα）。设航路均为直线，α为两直线的夹角。

1-35　如图1-34所示，质量为M的刚性均匀正方形框架，在某边的中点开一个小缺口，缺口对质量分布的影响可以忽略。将框架静止地放在以纸平面为代表的光滑水平面上后，令质量为m的刚性小球在此水平面上从缺口处以速度v进入框内，图中标志v方向的角φ=45°，设小球与框架发生的碰撞均为无摩擦力的完全弹性碰撞，试证：

（1）小球必将通过缺口离开框架；

（2）若框架每边长为a，则小球从进入框架到离开框架，相对水平面的位移为。

1-36　质量为M的长平板以速度V在光滑平面上作直线运动，现将一速度为零、质量为m的木块放在长平板上，平板与木块间的滑动摩擦系数为μ，求：木块在长平板上滑行多远才能与板取得共同速度？

1-37　车厢内的滑轮装置如图1-35所示，平台C与车厢一起运动，滑轮固定不转动，只是为轻绳提供光滑的接触。物块A与水平桌面间的摩擦系数μ=0.25，A的质量mA=20kg，物块B的质量mB=30kg。今使车厢沿水平方向朝左匀加速运动，加速度a0=2m·s-2，假定稳定后绳将倾斜不晃，试求绳子张力T。

1-38　人在岸上用轻绳拉小船，如图1-36所示。岸高h，船的质量为m，绳与水面夹角为ϕ时，人左行速度和加速度分别为v和a。（1）不计水的阻力，假设船未离开水面，试求人施与绳端拉力提供的功率；（2）若a=0，v=v0（常量），ϕ从较小锐角开始，达到何值时，船有离开水面的趋势，即此时水面对船的竖直方向支持力为零？

1-39　两个质量相同的小球A和B，用长为2a的无弹性且不可伸长的轻绳联结。开始时A和B位于同一竖直线上，B在A的下方，相距为a，如图1-37所示，今给A一个水平速度v0，同时静止释放B，不计空气阻力，且设绳一旦伸直便不再回缩，问：经过多长时间，A和B恰好第一次位于同一水平线上？

1-40　如图1-38所示，水平轻绳跨过在质量为m1的水平物块的一个小圆柱棒后，斜向下连接质量为m2的小物块，设系统处处无摩擦，将系统从静止状态自由释放后，假设两物块的运动方向恒如图所示，即绳与水平桌面的夹角α始终不变，试求α、a1、a2。

1-41　如图1-39所示，一质量为M的铁道平板车，沿一水平直线轨道运动（忽略摩擦），开始时，车静止不动，有N个人立于车上，每个人的质量均为m。（1）当N个人一起跑向车的一端，所有人沿铁轨同方向同时跳下，在他们正要跳车时，所有人相对于车的速度均为vr，问N个人跳车之后，车的速度是多少？（2）若N个人以相对于车为vr的速度，沿铁轨同方向一个接一个跳离车，求N个人全部跳下车后，车的速度是多少。

1-42　如图1-40所示，将一条边AB1长度等于3L，另一条边AB2长度等于4L的长方形闭合成光滑细管道AB1CB2，按如图1-42所示方式悬挂在竖直平面内，上端点A和下端点C均被固定，对角线AC处于竖直方位。t=0时刻，将静止在A端两侧的小球1、2同时释放。假设管道在B1、B2处有极小圆弧段，可确保小球无碰撞地拐弯，且拐弯时间可略。（1）试求球1沿AB1C通道到达C端的时刻T1和球2沿AB2C通道到达C端的时刻T2（不考虑球1、2是否会碰撞）；（2）将（1）问所得T1和T2中小者记为T0，假设管道匀质，球1、2质量同为m，将固定端C所受水平外力记为F，试在0≤t≤T0（略去小球在B1或B2拐弯处的无穷小时段）时间范围内，确定F的方向（朝右还是朝左）和大小。

1-43　一内部连有弹簧的架子静置于光滑的水平桌面上，架子的质量为M，弹簧的劲度系数为k。现有一质量为m的小球以v0的速度射入架子内，并开始压缩弹簧，如图1-41所示。设小球与架子内壁间无摩擦，试求：（1）弹簧的最大压缩量l；（2）从弹簧开始被压缩到弹簧达最大压缩所需的时间t；（3）从弹簧开始被压缩到弹簧达最大压缩期间架子的位移xM。

1-44　长L的均匀软绳静止对称地挂在光滑固定的细钉上，如图1-42（a）所示。因扰动，软绳朝右侧滑下，某时刻左侧绳段长度记为x，如图1-42（b）所示。（1）x（x＜L/2）达何值时，细钉为软绳提供的向上支持力N恰好为零？（2）N恰好为零时，突然将细钉撤去，再经过多长时间t，软绳恰好处于伸直状态？

1-45　将劲度系数为k、自由长度为L、质量为m的均匀柱形弹性体竖直朝下，上端固定，下端用手托起。（1）设开始时弹性体处于静止的平衡状态，其长度恰为L，试求此时手的向上托力F0；（2）而后将手缓慢向下移动，最终与弹性体下端分离，试求期间手的托力所做的功W。

1-46　如图1-43（a）所示，半径为4d的圆环固定在水平桌面上，内侧四个对称位置上静止放着质量同为m的小木块1、2、3、4，小木块与环内壁间没有摩擦，小木块与桌面间的摩擦因数同为μ。对木块1施加方向始终沿着圆环切线方向，大小不变的推力F。木块1被推倒后，相继与木块2、3、4发生完全非弹性碰撞，最后恰好一起停在木块1的初始位置，全过程中木块1绕行圆环一周。（1）将四个木块构成系统的质心记为C，木块1、2、3、4和C的初始位置，已在图1-43（b）所示的xOy坐标平面上给出。通过分析，请在此坐标平面上准确画出从木块1开始运动到最后停下的全过程中质心C的运动轨迹；（2）试求推力F；（3）以环心为参考点，试求全过程中系统曾经有过的角动量最大值Lmax以及系统质心C曾经有过的角动量最大值LCmax。

1-47　静止于太空惯性系S的飞船，主体（不包含燃料）质量为M0，携带的燃料质量为MR，某时刻发动机点火使飞船开始沿直线方向朝前加速运动。已知单位时间燃烧的燃料质量为m0，燃料全部生成物的喷射速度（生成物相对飞船的朝后速度）为常量u，在一直到燃料烧尽的全过程中，试求：（1）飞船加速度的最小值amin和最大值amax；（2）飞船末速度ve；（3）初始时刻飞船发动机提供的功率（单位时间燃料在燃烧过程中释放的内能，也就是单位时间内系统动能的增量）Pi和全过程时间内的平均功率；（4）发射效率（飞船最终获得的动能占发动机释放的全部燃料内能之比）η；（5）α=MR/M0为何值（给出1位有效数字）时，η取极大值。

1-48　将现在太阳的质量记为M0，地球圆轨道半径记为R0，角速度记为ω0，太阳经过一年的辐射，质量损耗记为ΔM（ΔM≪M0），地球的轨道仍近似为圆，试求一年后地球轨道半径R和角速度ω，答案中不可包含题文未给出的物理量。

1-49　如图1-44所示，航天飞机P沿A≠B的椭圆轨道绕地球航行。已知P在图中D处（远地点）速度，其中MS为地球质量。（1）试求P在图中E处和F处的速度vE和vF；（2）将P的质量记为M，试求P的轨道能量E（定义为动能和引力势能之和）；（3）设图中的椭圆轨道偏心率，再设P的主体携带一个太空探测器。当P航行到图中D处时，P的主体朝后发射探测器，结果使P的主体进入圆轨道航行，而探测器相对地球恰好好沿抛物线轨道远去。已知抛物线轨道能量为零，试求P的主体质量m1与探测器质量m1的比值γ。

1-50　一个质量为m的卫星围绕着质量为M，半径为R的大星体作半径为2R的圆周运动，从远处飞来一个质量为2m、速度为的流星，恰好沿着卫星的运动方向追上卫星并和卫星发生激烈的碰撞，结成一个新星体，作用时间非常短暂，假定碰撞前后位置的变化可以不计，新星的速度仍沿原来方向。（1）用计算表明新星体的运动轨道类型，算出轨道的偏心率e；（2）如果小流星沿着卫星速度的反方向发生上述碰撞，算出此时新星体的轨道偏心率e，给出新星体能否与大星体M碰撞的判断。