2.2 盲均衡的概念及均衡准则

2.2.1 盲均衡的概念

图2.1给出了盲均衡的原理框图［33］。

图2.1中，h（n）为离散时间传输信道（包括发射滤波器、传输媒介和接收滤波器等）的冲激响应，其依据所用调制方式的不同，可以是实值，也可以是复值；w（n）为均衡器的冲激响应，均衡器一般采用有限长横向滤波器，其长度为L；x（n）为系统的发送序列；y（n）为经过信道传输后的接收序列，同时也是均衡器的输入序列；n（n）为信道上迭加的噪声；为经过均衡后的恢复序列。

由图2.1可知

y（n）=h（n）*x（n）+n（n）=（i）x（n-i）+n（n） （2.149）

这里，*表示卷积运算。要想从y（n）中获得x（n），就需要对y（n）进行解卷积运算，或等价辨识传输信道h（n）的逆信道h-1（n）。当y（n）和x（n）已知时，解决这个问题并不困难，自适应均衡器的训练就属于此种情况。但当x（n）也未知时，即3个参数中只有y（n）一个是已知的，求解就相当困难。这类问题的数学模型称为盲解卷积（Blind Deconvolution），盲均衡（Blind Equalization）是盲解卷积问题在通信领域的应用。

在实际应用中，如何从唯一已知的接收序列y（n）中求得h（n）或x（n），其解将存在不确定因素。因为可能有许多不同的两个量相卷积而得到同一个观察序列，求解这类问题是一个国际性的盲处理难题［34］。

2.2.2 盲均衡的均衡准则

根据目前的研究进展，盲均衡的均衡准则主要有置零准则、峰度准则和归一化准则3个［35］。

1．置零准则

在图2.1中，盲均衡器的输出序列为

=w（n）*y（n） （2.150）

盲均衡器的目的是将作为x（n）的最佳估值。因此，要求

=x（n-D）ejø （2.151）

式（2.151）中，D为一整数延迟；ø为一常数相移。

为了满足式（2.151），在不考虑信道噪声迭加的前提下，要求

w（n）*h（n）=δ（n-D）ejø （2.152）

式（2.152）中，δ（n）为Kronecker函数。

对上式取Fourier变换，则有

由以上分析可知，在盲均衡器设计过程中，其均衡器传输函数和信道传输函数的关系应满足式（2.154）。

若令s（n）=［s0，s1，…，sL-1］T为传输信道与盲均衡器的组合系统的响应函数，则有

s（n）=h（n）*w（n） （2.155）

即

根据上式可知，当组合系统的响应函数为有限维向量时（长度为L），该向量是只有一个非零元素（其模为1）的向量。即

式（2.157）中，非零元素前零的个数为D-1，且D≤L。

式（2.157）称为盲均衡器的“置零准则”。

2．峰度准则

峰度准则也称为SW定理，是由SHALVI O和WEINSTEIN E［36］于1990年创立的。

设x（n）为独立同分布，根据式（2.156）可得

另外，对式（2.156）两边取平方得

对上式取数学期望，得

再利用式（2.156）得

式（2.161）中

将式（2.162）代入式（2.161），得

将式（2.158）、式（2.160）代入式（2.163），得

在上式中，将发送序列和恢复序列的数学期望分别列于等号两边，得

定义

分别为输出序列和输入序列x（n）的峰度（Kurtosis）。

根据峰度的不同，可以将信号分为高斯信号（Gaussian）（峰度为零）、亚高斯信号（Sub-Gaussian）（峰度为负）和超高斯信号（Super-Gaussian）（峰度为正）3种。

将式（2.166）和式（2.167）代入式（2.165）得

根据上述分析，得到如下SW定理：

若E［｜｜2］=E［｜x（n）｜2］，则

（1）｜K［］｜≤｜K［x（n）］｜；

（2）｜K［］｜=｜K［x（n）］｜，当且仅当向量s（n）满足式（2.157）时成立。

该定理给出了盲均衡器的均衡准则是在要求和x（n）具有相同方差的约束条件下，使恢复序列的峰度最大化。即在E［｜｜2］=E［｜x（n）｜2］的约束条件下，使｜K［］｜最大化。

SW定理提供了信道盲均衡的一种充要条件，并将信道均衡问题归结为带约束条件的最大化问题。

3．归一化准则

归一化准则又称为Gadzow定理，是GADZOW J A［37］于1996年扩展了SW定理，形成的又一个盲均衡准则。

设发送序列x（n）为非高斯、独立同分布的平稳过程，其N阶累积量记作cNx，盲均衡器的输出序列的N阶累积量记作。

根据BBR公式（2.115）可知

（2.169）

定义发送序列x（n）和输出序列的（M，N）阶归一化累积量（Normalized Cumulant）分别为

这里，假定。

根据式（2.169）和式（2.170）可得

由式（2.171）可得到Gadzow定理为：假定信道的输入序列x（n）为非高斯、独立同分布的平稳过程，那么它的输出序列也是非高斯、独立同分布的平稳过程，并且输入、输出的归一化累积量有如下关系：

（1）如果N为偶数，且M>N，则有

（M，N）≤kx（M，N） （2.172）

（2）如果N为偶数，且M<N，则有

（M，N）≥kx（M，N） （2.173）

上两式中等号成立的充要条件是s（n）只有一个非零元素，即满足式（2.157）。

Gadzow定理提供了信道盲均衡的又一个充要条件，并将信道均衡问题归结为无约束的极大化问题。

在这3个准则中，置零准则仅有理论意义，是其他准则的基础，但无实用价值；峰度准则是带有约束条件的均衡准则，要求系统输入、输出功率相等，即要求系统增益为1，这不符合实际情况。因为在实际通信系统中，只要求系统为无失真系统，而对增益无特殊要求，因此该准则具有一定的实用价值，但存在局限性；归一化准则为无约束条件的均衡准则，是一个单纯的极值化准则，且因累积量阶数可以任意选取，使得均衡准则不是一个而是一簇，具有广泛的应用价值［12］。