三、计算题

1一个人是某种商品的净销售者，当这种商品的价格下降，他从销售者变成了购买者，则他的境况是否可能会变好？请画图解释。

答：这是可能的。消费者所出售的商品的价格下降，而消费者继续充当供给者，那么这个消费者的福利就一定会下降；如果消费者转而成为这种商品的购买者，消费者的情况可能变好，也可能会变坏。

如图9-1所示。商品1的价格下降使得预算线绕禀赋点转动。如果消费者仍然是一个供给者，那么他的新消费束就一定位于新预算线的浅色部分，即禀赋点的左边。而新预算线的这个部分落在初始的预算集内：在价格变动以前，消费者可以毫无限制地选择这些消费束。因此，根据显示偏好原理，如果消费者仍然是一个供给者，那么他的境况一定会变坏。如果消费者选择成为这种商品的购买者，那么他的新消费束就应该位于新预算线的黑色部分即禀赋点的右边，境况有可能变好，也有可能变坏。

图9-1　商品价格下降

2一个商品的净销售者是否会因为这种商品价格的上升而境况变坏？请画图解释自己的答案。

答：不会。如果一个人是一种商品的净销售者并且商品价格上升，他依然支付得起他原来的消费束，因此他的境况不可能变坏。如图9-2所示。消费者的初始选择在禀赋点的左边，当价格上升，预算线绕禀赋点转动，消费者仍然是这种商品的净销售者，即最优选择在禀赋点的左边，新预算线的虚线段上。消费者依然能支付初始选择的最优点。因此净销售者不会因为商品价格的上升而境况变坏。

图9-2　净销售者因价格变化导致的最优选择的变化

3某消费者的禀赋为3单位的商品x和5单位的商品y。商品x的价格为100元/单位，商品y的价格为200元/单位。目前他的收入为700元。

（1）画出他的预算线，标出禀赋点。

（2）计算他把全部收入用来购买x可获得的x的数量和他把全部收入用来购买y可获得y的数量。

（3）写出他的预算方程。

解：（1）预算线如图9-3所示。

图9-3　预算线方程

（2）全部收入为2000，商品x的价格为100元/单位，商品y的价格为200元/单位则全部收入用来购买x可获得的x的数量为20和全部收入用来购买y可获得y的数量为10。

（3）预算方程为：100x＋200y＝2000，0≤x≤20，0≤x≤10。

4某消费者的效用函数为u（G，R）＝G－（20－R）（20－R）。其中G表示消费水平，R是每天闲暇的时间。

（1）如果他每天非劳动收入为25元，并且他工作的工资为零，则他会工作多少时间？

（2）画出他的无差异曲线，闲暇为横轴，收入为纵轴。如果他的非劳动收入为25元/天，并且他可能在10元/小时的工资下工作他愿意工作的时间，则他会工作多少个小时？

解：（1）消费水平为：G＝25，则效用函数为：u（G，R）＝25－（20－R）（20－R），根据效用最大化的一阶条件可得：R＝20。因此他每天工作4个小时。

（2）由u（G，R）＝G－（20－R）（20－R）得G＝（20－R）²＋u，故无差异曲线如图9-4所示。

图9-4　u（G，R）＝G－（20－R）（20－R）的无差异曲线

消费水平为：G＝25＋10（24－R）＝265－10R。

代入效用函数可得：u（G，R）＝265－10R－（20－R）（20－R），根据效用最大化的一阶条件可得：R＝15。因此他每天工作9个小时。

5某记者正在考虑两个工作。其中一个是杂志的编辑，另外一个是销售自己作品的自由作家。如果她为杂志工作，她每天的工作时间为10个小时，工资为130元/天。如果她选择自由写作，她可以自主选择工作时间，并且估计自己可以挣到10元/小时。现在她的效用函数为：u＝R³C，其中R是闲暇的时间，C表示消费水平。

（1）如果她选择自由写作，则她会工作多少小时？

（2）计算她每份工作的效用，并且确定她应该选择哪份工作。

解：（1）当她选择自由写作，消费水平为：C＝10（24－R）。代入效用函数可得：u＝R³C＝10（24－R）R³。效用最大化的一阶条件为：10R²（72－4R）＝0，解得R＝18，工作时间为6个小时。

（2）自由写作的最大效用为u＝R³C＝60×18³＝349920，为杂志工作的效用为u＝R³C＝130×14³＝356720。所以，她应该选择杂志的编辑工作。

6某消费者的工资率为10元/小时。他除了劳动外没有其他的收入来源。他的效用函数为u（C，R）＝CR²。其中C是他消费水平，R是他每天工作之外的时间。

（1）写出他的预算方程。

（2）该消费者每天会工作几个小时？

（3）他每天在消费上花费多少？

解：（1）消费者消费水平满足：C＝（24－R）×10＝240－10R，因此，预算方程为：C＋10R＝240。

（2）将预算方程代入效用函数可得：u（C，R）＝CR²＝（240－10R）R²。根据效用最大化的一阶条件可得：R＝16。消费者每天工作8小时。

（3）C＝240－10R＝80（元）。

7李某认为闲暇和消费是完全互补的，且愿意每一小时闲暇的同时消费5元的商品。他没有其他的收入来源，但可以在15元/小时的工资水平下选择他愿意的工作时间。

（1）他每天会选择休闲多少小时？

（2）画出他的预算线，标出他选择的商品和闲暇的消费。

（3）如果工资上涨，他会工作得更多还是更少？

解：（1）李某的效用函数为：u＝min{C，5R}。因此闲暇与商品的关系为：C＝5R。

又因为C＝（24－R）×15。联立可得：R＝18。

（2）预算线如图9-5所示。商品和闲暇的最优选择为（90，18）。

图9-5　预算线

（3）如果工资上涨，意味着收入增加，闲暇与收入呈正比，因此闲暇更多，工作更少。

8某消费者消费商品y的数量恒为消费商品x数量的4倍（即y＝4x）。市场上商品x的价格是商品y价格的3倍。该消费者初始拥有20单位商品x和45单位商品y，他可以在现行价格进行市场交易。求该消费者对商品x的总需求量。

解：消费者的预算约束方程为：20P_x＋45P_y＝xP_x＋yP_y。

因为y＝4x，且P_x＝3P_y，代入预算方程可得：20P_x＋15P_x＝xP_x＋4xP_x/3，解得：x＝15。

即该消费对商品x的总需求量为15单位。

9某消费者对闲暇—消费的效用函数为u（R，C）＝RC²。该消费者收入来源仅为工资收入。如果每月收入在500元以下不用交所得税，但是对于超过500元的收入，必须支付60%的税收。该消费者的工资为10元/小时，其每周共有100小时可以选择去工作或者休闲。则她每周会工作多少小时？

解：显然，效用函数中R是闲暇，C是消费。

消费者预算约束为：

该预算线是弯折的，拐点处R＝50。

假设消费者每周工作时间在50小时以下，闲暇时间R在50小时以上，则效用函数为：

u（R，C）＝R[10（100－R）]²＝100R（100－R）²

最大化效用函数，即（100－R）（100－3R）＝0，解得：R＝100（舍去）或R＝100/3＜50（舍去）。

假设每周工作时间在50小时以上，闲暇时间R在50小时以下，则效用函数为：

u（R，C）＝R[500＋4（50－R）]²＝R（700－4R）²

最大化效用函数，即（700－4R）（700－12R）＝0，解得：R＝175＞50（舍去）或R＝175/3＞50（舍去）。

综上所述，最优点位于拐点处，即每周工作50小时。