第8章　斯勒茨基方程

一、判断题

1黑白电视机是低档物品，因而在其他条件既定时，黑白电视机的降价并不能带来需求量的增加。（　　）

【答案】F

【解析】如果低档物品为一般低档物品，则收入效应的绝对值小于替代效应，总效应与价格反方向移动；如果低档物品为吉芬商品，则收入效应的绝对值大于替代效应，总效应与价格同方向移动。黑白电视机为一般低档物品，需求曲线仍为一条向右下方倾斜的曲线，降价将使需求量增加。

2如果商品x与商品y对某消费者为完全互补品，则商品x的价格下降引起y的需求变化全部归因于收入效应。（　　）

【答案】T

【解析】完全替代偏好下，价格变动中全部表现为替代效应，收入效应为零；完全互补偏好下，价格变动中全部表现为收入效应，替代效应为零。

3某消费者效用函数为u（x，y）＝xy，如果两种商品价格和消费者收入都发生变化，但他原来的最优消费束正好在新的预算线上，他不会改变原来的消费选择。（　　）

【答案】F

【解析】u（x，y）＝xy的无差异曲线如图8-1所示。在价格和收入发生变化之前，消费者的最优选择点为A点，在预算约束线发生变化之后，虽然A点仍然在预算线上，但是消费者的最优选择点转移到B点，因为B点所对应的效用要高于A点的效用。

图8-1　u（x，y）＝xy的最优选择

4补偿需求函数指的是价格变动中保持对原消费束购买力不变而对收入进行调整的需求函数。（　　）

【答案】F

【解析】补偿需求函数是指价格变动过程中收入进行调整并保持效用不变的需求函数。

5在相似偏好下，由于价格变动引起的需求变化全部来自于替代效应。（　　）

【答案】F

【解析】由于两种商品之间的交换比率的变化所引起的需求变化称作替代效应。在相似偏好下，既存在替代效应也存在收入效应。

6某消费者只消费两种商品x和y，商品x在某个收入范围内是低档商品，那么一定有另一个收入范围，商品x是正常商品。（　　）

【答案】T

【解析】一种商品是否是低档商品取决于收入水平。低档物品是指∆x/∆m＜0，收入趋近于0的时候，不存在低档商品，否则收入从零开始增加时x的消费量会是负值，x在一定的收入范围内属于正常商品。当收入达到某个临界点，x的需求量会随着收入的增加而减少，属于低档商品。

7在当前收入下，某消费者所消费的两种商品中有一种是吉芬商品。如果该吉芬商品的价格上升，则消费者对另一种商品的需求一定减少。（　　）

【答案】T

【解析】吉芬商品的价格上升，那么其需求量会增加，占消费者总支出的比例增加，在收入不变的情况下，另一种商品价格不变，需求量一定减少。

8当某种商品的价格上升时，负的收入效应的绝对值超过了负的替代效应的绝对值，则该商品一定是吉芬商品。（　　）

【答案】F

【解析】如果一种商品在价格变化时，收入效应与替代效应的符号相反，并且收入效应的绝对值大于替代效应的绝对值，那么该商品就是吉芬商品。在该题中，收入效应与替代效应符号一致，而且当价格上升时，收入效应和替代效应均为负，说明消费者一定减少了对该商品的消费，那么可以判断该商品为正常商品。

9希克斯替代效应衡量的是同一条预算线上的两点之间的移动。（　　）

【答案】F

【解析】希克斯分解保持的是效用水平不变，那么补偿预算线一定与初始的无差异曲线相切。因此希克斯替代效应衡量的是同一条无差异曲线上的两点之间的移动。斯勒茨基分解保持的是购买力不变，因此补偿预算线一定经过价格变化前的均衡点。因此斯勒茨基替代效应衡量的是同一条预算线上的两点之间的移动。

10产品x和产品y为完全替代品。当产品x的价格下降，则希克斯替代效应和斯勒茨基替代效应相同。（　　）

【答案】F

【解析】完全替代品的斯勒茨基替代效应为总效应，因为其收入效应为0。完全替代品的希克斯替代效应为0，只有收入效应。

11某个消费者具有如下效用函数：U（x，y）＝x＋2y1/2，商品x的价格是2，商品y的价格是1，这个消费者的收入为20。如果商品y的价格上升到2，那么对于商品y的需求的改变都是由替代效应导致的。（　　）

【答案】T

【解析】因为这个消费者的效用函数是拟线性偏好的效用函数，且y又是位于效用函数中的非线性部分的商品，所以商品y只有替代效应没有收入效应。

二、单项选择题

1某消费者消费两种商品x和y。如果商品x的价格上涨，替代效应和收入效应从相反的方向影响需求，则有（　　）。

A．商品x一定是吉芬商品

B．商品x一定是低档商品

C．违背了弱显示偏好

D．商品x一定是正常商品

【答案】B

【解析】低档商品的收入效应与价格同方向变动，替代效应与价格反方向变动。吉芬商品也是低档商品。正常商品的收入效应和替代效应与价格都呈反方向变动。

2某消费者消费两种商品x和y，他的效用函数为u（x，y）＝x2y4。给定商品y的价格和他的收入不变，商品x价格下降，则（　　）。

A．商品y的收入效应为0，因为他的收入保持不变

B．商品y的替代效应为0，因为商品y的价格没有变

C．替代效应减少了商品y的需求，因为收入效应为0，所以y的需求下降

D．价格变化引起的替代效应减少了y商品的需求，增加了x商品的需求

【答案】D

【解析】替代效应为负，因此由于替代效应，x的价格下降，必然使得x的需求量提高，在效用不变的情况下，y需求量必然会减少。

3某消费者的效用函数为u（x_A，x_B）＝x_Ax_B。x_A、x_B分别表示苹果和香蕉的消费数量。原来苹果的价格为1元/斤，香蕉的价格2元/斤。他的收入为每天40元。如果苹果的价格上升到5元/斤，而香蕉的价格保持不变，那么斯勒茨基替代效应将会使得他减少消费多少苹果？（　　）

A．4斤

B．13斤

C．8斤

D．16斤

【答案】C

【解析】由效用函数u（x_A，x_B）＝x_Ax_B可推导出需求函数为：

原最优选择点为x_A＝20，x_B＝10。设m′为价格变化后恰好能支付其原消费束的收入，则：

因此斯勒茨基替代效应为：

4某消费者对商品x的需求函数为x（p，m）＝0.04m－4.24p（p为商品x的价格）。现在他的收入m＝$322，商品x的价格p＝$2。如果商品x的价格上升至p′＝$3，用DI来表示价格变化所引起商品x消费量变动中的收入效应，DS表示价格变化所引起商品x消费量变动中的斯勒茨基替代效应，则DI和DS分别为多少？（　　）

A．DI＝0，DS＝－2

B．DI＝－0.18，DS＝－0.52

C．DI＝－0.52，DS＝－0.52

D．DI＝－0.18，DS＝－4.06

【答案】D

【解析】原收入为m＝$322，原价格p＝$2，可得：x（p，m）＝0.04m－4.24p＝4.4。现商品价格变为p′＝$3，设m′为恰好能支付得起原最优消费束的货币收入，则：m′＝m＋x（p′－p）＝326.4。所以：

DS＝x′（p′，m′）－x（p，m）＝（0.04m′－4.24p′）－（0.04m－4.24p）＝－4.064

DI＝x′（p′，m）－x′（p′，m′）＝（0.04m－4.24p′）－（0.04m′－4.24p′）＝－0.18

5关于价格上升引起的需求变化的收入效应和替代效应中，下列哪一项说法正确？（　　）

A．前者总是正的，后者总是负的

B．两者都可以是正的，也可以都是负的

C．虽然后者总是负的，前者可正可负

D．虽然前者总是负的，后者可正可负

【答案】C

【解析】低档商品的收入效应是正的，正常商品的收入效应是负的；而所有商品的替代效应都是负的，因为由替代效应引起的需求变动方向总是与价格变动的方向相反。

6某消费者的效用函数为u（x_A，x_B）＝min{x_A，2x_B}，x_A、x_B分别表示苹果和香蕉的消费数量。如果在他做出消费选择之后，苹果和香蕉的相对价格发生了变化。因为还没有食用，他能够在新的相对价格下通过市场交易重新选择，则（　　）。

A．价格变化使得消费者的状况变好

B．价格变化使得消费者的状况变差

C．消费者状况的改变取决于他原来所购买的苹果和香蕉的数量

D．消费者的状况不会受到价格变化的影响

【答案】D

【解析】由效用函数可知，苹果和香蕉为完全互补品，最优消费点必然在x_A＝2x_B上。当相对价格变化，消费者也不能通过交换改变商品本身的比例，否则将无法使效用最大化。因此消费者的状况不会受到价格变化的影响。

7下述哪一种说法是正确的？（　　）

A．斯勒茨基替代效应是指价格变化对需求量的影响效应

B．收入效应对应消费者收入发生变化时需求量的变化

C．斯勒茨基替代效应衡量了保持效用不变的前提下价格变化对需求量的影响

D．斯勒茨基替代效应衡量了保持对原消费束购买力不变的前提下价格变化对需求量的影响

【答案】D

【解析】替代效应是指因相对价格的变化所引起的需求量的变化。在斯勒茨基替代效应中，收入进行调整保持对原消费束的购买力不变，而在希克斯替代效应中，收入调整保持消费者效用水平不变。

8商品x和商品y对张华来说是完全替代品。它们原先的价格分别是10和9，张华的收入是720。如果商品x的价格下降到8，那么下列哪项是正确的？（　　）

A．收入效应使商品y的需求增加90

B．替代效应使商品y的需求增加80

C．替代效应使商品x的需求增加90

D．收入效应使商品x的需求增加80

【答案】C

【解析】价格变化前对商品x的需求为0，对商品y的需求为80；价格变化后对商品x的需求为90，对商品y的需求为0。则价格变化的总效用对商品x来说就是90，对商品y来说就是－80。又由于完全替代的偏好只有替代效应，没有收入效应。所以替代效应使商品x的需求增加90，使商品y的需求减少80。

9吉芬商品的出现是因为价格上涨时（　　）。

A．替代效应为正，且其绝对值大于收入效应的绝对值

B．收入效应为正，且其绝对值大于替代效应的绝对值

C．替代效应为负，且其绝对值大于收入效应的绝对值

D．收入效应为负，且其绝对值大于替代效应的绝对值

【答案】B

【解析】价格变动的效应可以分解为替代效应和收入效应。价格上涨时，替代效应始终为负，收入效应则可以为负，也可以为正，当收入效应为正且绝对值大于替代效应的绝对值时，商品需求量会随着价格的上涨而增加，这种商品就是吉芬商品。

10对于下列说法，错误的是（　　）。

A．完全互补的偏好只有替代效应，没有收入效应

B．当价格变化足够大，可以使得对于一种商品的需求由零变为正的情况时，完全替代的偏好只有替代效应，没有收入效应

C．拟线性偏好的效用函数中非线性部分的商品只有替代效应，没有收入效应

D．完全互补的偏好只有收入效应，没有替代效应

【答案】A

【解析】完全互补的情况下，商品的相对变化并不影响消费者消费两种商品的比例，因此不存在替代效应。

11吉芬商品与低档商品之间存在的联系是（　　）。

A．低档商品一定是吉芬商品

B．吉芬商品一定是低档商品

C．低档商品肯定是吉芬商品

D．吉芬商品肯定不是低档商品

【答案】B

【解析】吉芬商品是一种特殊的低档商品，因为吉芬商品的收入效应与价格呈同方向变化，符合低档商品的定义，特殊的地方在于其收入效应的绝对值大于替代效应的绝对值。

12一个学生每月从父母那里得到500元的生活费。假如他对大米的需求函数为x（p，m）＝20/p＋500/m，如果大米的价格从每千克4元涨到6元，为了保证他的生活水平不下降，他的生活费应从500元增加到（　　）元。

A．506

B．508

C．510

D．512

【答案】D

【解析】在价格变化前对大米的需求量为：x′＝20/p＋500/m＝20/4＋500/500＝6，若大米的价格上升到6元，为使这个学生能够购买得起原来的需求束，对其进行斯拉茨基补偿的量为：∆m＝∆p_xx′＝2×6＝12。所以其生活费应增加至m′＝m＋∆m＝500＋12＝512。

13当一种商品的价格上升时，需求的变化量与替代效应的关系为（　　）。

A．前者比后者大

B．前者比后者小

C．前者与后者一样大

D．前者可能比后者大，也可能比后者小

【答案】D

【解析】由斯勒茨基恒等式∆x＝∆xs＋∆xn可知，当替代效应∆xs和收入效应∆xn符号一致时，总效应（即价格变动引起的需求变化量）大于替代效应的变化量；当∆xs与∆xn符号不同时，则两者的比较关系是不确定的。

14正常物品价格上升导致需求量减少的原因在于（　　）。

A．替代效应使需求量增加，收入效应使需求量减少

B．替代效应使需求量增加，收入效应使需求量增加

C．替代效应使需求量减少，收入效应使需求量减少

D．替代效应使需求量减少，收入效应使需求量增加

【答案】C

【解析】价格上升一般会有两个效应，替代效应和收入效应。替代效应是指由于该商品价格上升，消费者会用其他商品来替代该商品，从而该商品的需求量减少；收入效应是指由于商品价格上升，消费者的实际收入下降。对于正常品来说，其需求收入弹性为正，若实际收入下降，则商品需求下降。

15消费者只购买面包和黄油，如果面包价格下降，那么（　　）。

A．收入效应与替代效应都引起黄油消费的上升

B．收入效应与替代效应都引起黄油消费的下降

C．收入效应使黄油的消费上升，但替代效应作用相反

D．收入效应和替代效应将相互抵消，从而商品需求保持不变

【答案】C

【解析】面包和黄油是消费者的两种可选商品。当面包价格下降时，替代效应使消费者更倾向于选择降价的面包，但面包价格下降的同时意味着消费者的实际收入增加了，由此产生的收入效应使消费者可购买更多的黄油。

三、简答题

1什么是商品价格变动所产生的替代效应和收入效应？画图说明微观经济学用替代效应和收入效应对“吉芬难题”的解释。（用希克斯的替代效应进行分析）

答：（1）替代效应和收入效应的含义

由于一种商品价格变动而引起的商品的相对价格发生变动，从而导致消费者在保持效用不变的条件下，对商品需求量的改变，称为价格变动的替代效应。

由于一种商品价格变动而引起的消费者实际收入发生变动，从而导致消费者对商品需求量的改变，称为价格变动的收入效应。

（2）利用替代效应和收入效应对“吉芬难题”进行解释

19世纪，英国统计学家罗伯特·吉芬发现一个现象，1845年爱尔兰发生灾荒，导致土豆价格上升，但居民对土豆的需求量却反而增加了，而这无法用传统的经济学理论进行解释，故此现象称为“吉芬难题”，并将这种需求量与价格同方向变动的物品称之为“吉芬物品”。

图8-2　吉芬物品的替代效应和收入效应

图8-2中的横轴OX₁和纵轴OX₂分别表示商品1和商品2的数量，其中，商品1是吉芬物品。商品1的价格P₁下降前后的消费者的效用最大化的均衡点分别为a点和b点，相应的商品1的需求量的减少量为X₁′X₁″，这就是总效应。通过补偿预算线FG可得：X₁″X₁‴为替代效用；X₁′X₁‴是收入效应。而且，负的收入效应X₁′X₁‴的绝对值大于正的替代效应X₁″X₁‴的绝对值，所以最后形成的总效应X₁′X₁″为负值。

吉芬物品是一种特殊的低档物品。作为低档物品，吉芬物品的替代效应与价格成反方向的变动，收入效应则与价格成同方向的变动。吉芬物品的特殊性就在于：它的收入效应的作用很大，以至于超过了替代效应的作用，从而使得总效应与价格成同方向的变动。这也就是吉芬物品的需求曲线呈现出向右上方倾斜的特殊形状的原因。

2判断对错并简要说明理由：

（1）如果消费者是一个理性的效用最大化者，那么他对某种商品的斯拉茨基替代效应必定是负的。

（2）假设某消费者的效用函数是u（x，y）＝xαyβ，则他关于x的需求对y价格的交叉价格弹性为零。

答：（1）错误。理由如下：

对于严格凸的偏好，斯拉茨基替代效应必定是负的（如图8-3所示）。但是对于一个理性的消费者而言，他的偏好只需要满足下面三个条件：完备性，反身性和传递性。从这三个条件出发不能得出消费者的偏好就是严格凸的，所以对于一个具有非严格凸偏好的消费者，他的斯拉茨基替代效应可能为零（如图8-4所示）。

图8-3　凸偏好的斯拉茨基替代效应

图8-4　互补偏好的斯拉茨基替代效应

（2）正确。理由如下：

消费者的效用最大化问题为：

解上述最优化问题，得到商品1和2的马歇尔需求函数分别为：x＝αm/［（α＋β）p₁］，y＝βm/［（α＋β）p₂］。

则他关于x的需求对y价格的交叉价格弹性为：

3如果偏好是凹的，替代效应仍然为负吗？

答：如果偏好是凹的，替代效应不一定为负，但肯定是非正的。分析如下：

一种商品的替代效应是指价格变化引起商品需求量的总变化当中，仅仅因为该商品和其他商品之间的相对价格变化而引起的需求量的变化。替代效应包括希克斯替代效应和斯拉茨基替代效应。希克斯替代效应是指保持消费者的效用不变的情况下，价格变化引起的需求量的变化（如图8-5所示）；斯拉茨基替代效应是指保持消费者的购买能力不变的情况下，价格变化引起的需求量的变化（如图8-6所示）。

图8-5　希克斯替代

图8-6　斯拉茨基替代

当消费者的偏好为凹的时候，替代效应非正，即替代效应或者为零，或者为负，见图8-7（这里只考虑希克斯替代效应，斯拉茨基替代效应的分析也是类似的）：

图8-7　凹偏好的替代效应

（1）替代效应为零的情况

当商品1的价格上升引起预算线从AB转动到AC时，消费者对商品1的需求由B减少到C，如果保持消费者的效用不变，仅仅考虑相对价格的变化对商品1的需求的影响，那么由图中虚线BH的位置可以看出，商品1的需求不变，即价格变动的替代效应为零。

（2）替代效应为负的情况

当商品1的价格上升引起预算线从AC转动到AD时，消费者的最优消费点为A点。如果保持消费者的效用不变，仅仅考虑相对价格的变化对商品1的需求的影响，那么由图中虚线LN的位置可以看出，现在消费者转而消费商品2，即对商品1的消费下降为零，价格变动的替代效应是商品1的消费从C点的位置下降到O点的位置。

四、计算题

1某人对商品x的需求函数如下：x（P_x，P_y，m）＝2m/（5P_x），其收入为m＝1000元，商品x的价格为P_x＝5元，商品y的价格为P_y＝20元。如果商品x的价格下降为P_x＝4元，那么：

（1）计算此人在价格变化前后对商品x的需求。

（2）假如价格变化后，收入也发生变化，使得价格变化前的消费束恰好能够被购买，则其新收入为多少？在此收入和新价格下，其对商品x的需求为多少？

（3）替代效应和收入效应各为多少？

（4）在同一坐标系下画出此人价格变化前后的预算线，并用A、B分别标出价格变化前后的最优消费。

（5）在（4）的图上，再画上（2）中价格和收入都变化后的预算线，并用C点标出此时的最优消费。

解：（1）价格变化前：x（5，20，1000）＝80；价格变化后：x（4，20，1000）＝100。

（2）变化前y的消费量为：y＝（m－xp_x）/p_y＝（1000－80×5）/20＝30；

变化后的收入为：4×80＋20×30＝920（元）。

商品x的需求为：x（4，20，920）＝（2×920）/（5×4）＝92。

（3）替代效应：92－80＝12；收入效应：100－92＝8。

（4）价格变化前的预算线：5x＋20y＝1000；价格变化，收入不变时的预算线：4x＋20y＝1000。如图8-8所示。

图8-8　预算线

（5）价格变化，收入为920时的预算线：4x＋20y＝920。如图8-8所示。

2某消费者的效用函数为U＝XY，P_X＝1（元），P_Y＝2（元），M＝40（元），现在P_Y突然下降到1元。试问：

（1）Y价格下降的替代效应使他买更多还是更少的Y？

（2）Y价格下降对Y需求的收入效应相当于他增加或减少多少收入的效应？收入效应使他买更多还是更少的Y？

（3）Y价格下降的替代效应使他买更多还是更少的X？收入效应使他买更多还是更少的X？Y价格下降对X的需求的总效应是多少？对Y需求的总效应是多少？

解：（1）价格没有变化时，已知P_X＝1，P_Y＝2，U＝XY。

效用最大化的条件为：MU_X/MU_Y＝Y/X＝P_X/P_Y＝1/2，即X＝2Y。将其代入预算方程X＋2Y＝40，解得：X＝20，Y＝10。

价格变化后，购买20单位的X、10单位的Y所需要的收入为：M＝P_X·X＋P_Y·Y＝1×20＋1×10＝30（元）。

在新价格和新收入（30元）下，P_X＝1，P_Y＝1，U＝XY。

预算约束为：X＋Y＝30。

同理可解得：X＝15，Y＝15。

因此，Y价格下降的替代效应使他购买更多的Y，多购买15－10＝5单位。

（2）原收入条件下，Y价格下降，可知P_X＝1，P_Y＝1，M＝40，MU_X＝Y，MU_Y＝X。

由效用最大化的条件MU_X/P_X＝MU_Y/P_Y可得：Y＝X。

预算线方程为：X＋Y＝40，因此Y＝X＝20。

可见，Y价格下降的收入效应使他多购买20－15＝5单位。

由于在新价格和收入为30元时，他购买15单位的X、15单位的Y。

在新价格下，要使他能购买20单位的X、20单位的Y，需增加10元收入，即收入为40元。所以，要增购5单位的Y的话，必须增加10元收入。因此，Y价格下降对Y需求的收入效应相当于他增加10元收入的效应。

（3）Y的价格下降的替代效应使他买更少的X，少买20－15＝5单位。收入效应使他购买更多的X，多买20－15＝5单位。Y价格下降对X需求的总效应为零。

Y价格下降的替代效应使他多购买5单位Y，收入效应使他也多购买5单位Y。故Y价格下降对Y需求的总效应为10单位。

3已知约翰从消费汉堡和可乐中所获得的效用可以用以下函数表达：U（x，y）＝x0.5y0.5，其中x为汉堡的消费数量，y是可乐的消费数量。假设已知约翰的月收入为I，汉堡和可乐的价格分别p_x和p_y，且约翰将其全部收入都用于购买汉堡与可乐，那么请问：

（1）约翰对汉堡和可乐的马歇尔需求函数分别是多少？

（2）假设现在汉堡的价格发生微小的变化，请问价格变化引起的替代效应和收入效应分别为多少？

解：（1）此消费者的最优化问题为：

构造拉格朗日辅助函数：L（x，y，λ）＝x0.5y0.5＋λ（I－p_xx－p_yy）

效用最大化的一阶条件为：

联立解得：x＝I/（2p_x），y＝I/（2p_y）。

（2）设汉堡价格变化量为∆p_x，即p_x′＝p_x＋∆p_x。

汉堡的价格发生微小的变化后，汉堡的最优消费量为x*＝I/[2（p_x＋∆p_x）]。

所以，总效应为x*－x＝－∆p_x·I/[2p_x（p_x＋∆p_x）]。

价格变化后，要维持原有的效用水平所需的收入为M′，所以M′＝p_x′x′＋p_y′y′。其中p_y′＝p_y。

根据消费者效用最大化条件

得。

保持效用不变有：

解出：

因此，替代效应为：

收入效应为：

4小凡对X和Y商品的效用函数为U＝X0.5Y0.5，收入m＝2400，A城市X商品价格为100，Y商品价格为200，B城市X商品价格为200，Y商品价格200，老板希望小凡到城市B去上班。

（1）如果在两个城市，小凡的收入相同，问在城市A和城市B对商品X的需求变化为多少？多少可归结为替代效应，多少可归结为收入效应？

（2）小凡到B城市去工作，相当于收入减少多少？老板至少要给小凡多少钱，他才愿意到B城市去工作？

解：（1）在A城市，小凡的效用最大化问题为：

maxU＝X0.5Y0.5

s.t. 100X＋200Y＝2400

构造拉格朗日函数为：

L＝X0.5Y0.5＋λ（2400－100X－200Y）

效用最大化的一阶条件为：

解得：X₁＝12，Y₁＝6。

在城市B小凡的效用最大化问题为：

maxU＝X0.5Y0.5

s.t. 200X＋200Y＝2400

同理解得：X₂＝Y₂＝6。

故在城市A和城市B对商品X的需求变化为：∆X＝X₂－X₁＝6－12＝－6。

此人在城市A对商品X和商品Y的马歇尔需求为：X₁＝m/（2p₁），Y₁＝m/（2p_Y），其中p₁和p_Y分别为商品X和商品Y在城市A的价格。

则间接效用函数为

代入马歇尔需求中得到补偿性需求：

此人在A城市的效用为

为保证在B城市同样获得在A城市的效用，则小凡对商品X的需求为：

从而替代效应为：

收入效应则为：

（2）①在B城市工作时的效用水平为：

为维持B城市的效用水平，小凡在A城市的支出最小化问题为：

min 100X₁＋200Y₁

s.t. X₁0.5Y₁0.5＝6

解得：

此时收入为

则小凡到B城市工作，相当于收入减少：m－m″＝2400－1697＝703。

②在B城市工作，为维持原有的效用水平，则小凡支出最小化问题为：

解得：

此时收入至少为：

故小凡到B城市工作，老板至少要给小凡3394。

5设某消费者的间接效用函数为

这里0＜α＜1。什么是该消费者对物品1的希克斯需求函数？

答：根据间接效用函数与支出函数是反函数的关系，由于消费者的间接效用函数为

从中反解出m关于p₁、p₂和v的表达式，并用u替换v，就得到了消费者的支出函数：

根据谢泼德引理，可知物品1的希克斯需求函数为：

6已知一个消费者对牛奶的需求函数为x＝10＋y/（10p），这里x为一周内牛奶的消费量，y＝120元为收入，p＝3元/桶，现在假定牛奶价格从3元/桶降为2元/桶。问：

（1）该价格变化对该消费者的需求总效应是多少？（即其牛奶消费会变化多少？）

（2）请算出价格变化的斯拉茨基替代效应。

（提示：如该消费者维持原消费水平，降价会使他省出多少钱？现在他用多少钱就相当于原来的120元钱？）

（3）请算出价格变化的斯拉茨基收入效应。

解：（1）p＝3（元/桶）时，x（p，m）＝10＋120/（10×3）＝14；

p＝2（元/桶）时，x（p′，m）＝10＋120/（10×2）＝16；

所以总效应为：∆x＝x（p′，m）－x（p，m）＝16－14＝2。

（2）价格变化后，为了使消费者购买得起价格变化前的商品数量，需要把他的收入增加∆p·x＝－1×14＝－14。即他的收入要减少14元。这样在保持消费者的购买力不变的条件下，消费者对该商品的需求为：

x（p′，m′）＝10＋（120－14）/（10×2）＝15.3

从而替代效应为：∆xs＝x（p′，m′）－x（p，m）＝15.3－14＝1.3。

（3）收入效应等于总效应减去替代效应，即：∆xn＝∆x－∆xs＝2－1.3＝0.7。