2016年中山大学432统计学[专业硕士]考研真题及详解

一、（每小题3分，共60分）单项选择题

1．随机事件A，B，C中恰有两个事件发生的复合事件为（　　）。

A．（A∩B）∪（A∩C）∪（B∩C）

B．

C．（A∩B∩C(＿)）∪（A∩B(＿)∩C）∪（A(＿)∩B∩C）

D．（A∩B(＿)∩C(＿)）∪（A(＿)∩B(＿)∩C）∪（A(＿)∩B∩C(＿)）

【答案】C

【解析】A，B，C恰有两个事件发生可以理解为：AB发生C不发生或AC发生B不发生或BC发生A不发生，因此选C项。

2．假设随机事件A，B都既不是不可能事件也不是必然事件，并且A≠B，A(＿)≠B。包含随机事件A，B的最小的σ域中元素的个数为（　　）。

A．4

B．8

C．16

D．32

【答案】B

【解析】若一个集合中元素的个数为n，则最小σ域的元素个数为2n＋1。此题包含φ，A，B，A(＿)，B(＿)，A∪B，A∩B，Ω总共八个。

3．以下哪条是概率的公理化定义中要求的？（　　）

A．有限可加性

B．可列可加性

C．上连续性

D．下连续性

【答案】B

【解析】概率的公理化定义为非负性、规范性和可列可加性。

4．从（0，1）中独立随机地取两个数b，c，则方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率为（　　）。

A．1/24

B．1/12

C．1/6

D．1/4

【答案】B

【解析】方程有实数解的充要条件是b2－4c≥0。由几何概型可得，b2－4c≥0成立的概率为函数y＝1/4x2与单位正方形[0，1]×[0，1]的相交的下半部分面积，求得概率为1/12。

5．下面哪个选项不是随机事件A，B（0＜P（A），P（B）＜1）相互独立的充要条件（　　）。

A．P（A｜B）＝P（A｜B(＿)）

B．P（A｜B）＋P（A(＿)｜B(＿)）＝1

C．P（A∩B(＿)）＝P（A）P（B(＿)）

D．P（A｜B）＋P（A｜B(＿)）＝1

【答案】D

【解析】很容易知道A、C是随机事件A，B相互独立的充要条件。B项由P（A｜B）＋P（A(＿)｜B(＿)）＝P（A｜B）＋1－P（A｜B(＿)）＝1知，P（A｜B）＝（A｜B(＿)），因此B项是A，B相互独立的充要条件。同理，D项由P（A｜B）＋P（A｜B(＿)）＝P（A｜B）＋1－P（A(＿)｜B(＿)）＝1知，P（A｜B）＝（A(＿)｜B(＿)），不能作为A与B相互独立的充要条件。

6．己知P（A）＝0.4，P（B）＝0.25，P（A－B）＝0.25，则P（A∪B）＝（　　）。

A．0.4

B．0.5

C．0.6

D．0.65

【答案】B

【解析】由P（A－B）＝P（A）－P（B），知P（AB）＝P（A）－P（A－B）＝0.4－0.25＝0.15。而P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）＝0.4＋0.25－0.15＝0.5。

7．到达银行的顾客分为两类，一类是办理现金业务，一类是办理非现金业务。假设在特定时间内这两类顾客的到达人数服从泊松分布，并相互独立。己知平均每个小时5个人办理现金业务，2个人办理非现金业务，则在一个小时内没有人到达银行的概率为（　　）。

A．e－2

B．e－5

C．e－7

D．e－14

【答案】C

【解析】由泊松分布的概率公式知一小时内没有人办理现金业务的概率为

同理一个小时内没有人办理非现金业务的概率为e－2，由于办理现金业务和非现金业务两个事件相互独立，因此一个小时内没有人到达银行的概率为e－5·e－2＝e－7，因此选C项。

8．选择题有四个答案，只有一个是正确的。懂的学生能够准确回答，不懂的学生从四个答案中随机选择。假定一个学生懂与不懂的概率都是0.5，则答对的学生对该题不懂的概率为（　　）。

A．0.1

B．0.2

C．0.4

D．0.5

【答案】A

【解析】设事件A表示答对该题，事件B表示懂该题，则答对该题的学生不懂该题的概率为P（B(＿)｜A），根据条件概率公式：

9．设X～B（100，0.2），设Φ（x）为标准正态分布的累积分布函数，则X＞28的概率大约是（　　）。

A．1－Φ（2）

B．1－Φ（1）

C．Φ（2）

D．2Φ（2）－1

【答案】A

【解析】根据二项分布的正态近似可知

因此

因此选A项。

10．设（X，Y）服从三角形区域D＝｛（x，y）：0＜x＜y＜1｝上的均匀分布，则（　　）。

A．Y∣X服从区间（0，1）上的均匀分布

B．Y服从区间（0，1）上的均匀分布

C．Y∣X服从区间（X，1）上的均匀分布

D．Y服从区间（X，1）上的均匀分布

【答案】C

【解析】

因此选C项。

11．设X₁，…，X₁₀来自正态分布N（μ，σ2）的样本，X(＿)＝（X₁＋…＋X₁₀）/10，若Y＝aX(＿)＋b～N（0，1），则（　　）。

A．a＝0，b＝1

B．，

C．a＝10/σ2，b＝－10μ/σ2

D．a＝1/σ，b＝－μ

【答案】B

【解析】由于X来自正态总体，因此

因此

故

解得后得到答案B项。

12．若X～N（0，1），Y～χ2（n），则的分布是（　　）。

A．t（n）

B．N（0，1）

C．t（n－1）

D．不能确定

【答案】D

【解析】由于不知道X，Y是否相互独立，因此不能确定t的分布。

13．设X_i～N（i－1，i），i＝1，2，3，且X₁，X₂，X₃之间相互独立。令X(＿)＝（X₁＋X₂＋X₃）/3，

则（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】由X₁～N（0，1），，得到

由t分布定义得C正确。

14．设X₁，…，X_n为来自正态分布N（0，σ2）的简单随机样本，则σ2的最大似然估计为（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】X_i的密度函数为

似然函数为

对似然函数取对数

当

可以求得σ2的最大似然估计为，因此本题选A项。

15．设X₁，…，X₂₅为来自均匀分布U（θ－1，θ＋1）的简单随机样本，其顺序统计量记为X₍₁₎，X₍₂₎，…，X₍₂₅₎，则下列统计量是θ的充分统计量的是（　　）。

A．X₍₁₎

B．X₍₂₅₎

C．（X₍₁₎，X₍₂₅₎）

D．X₍₁₃₎

【答案】C

【解析】（X₁，…，X₂₅）的联合密度函数为

根据应在分解定理，可知θ的充分统计量为（X₍₁₎，X₍₂₅₎），因此答案选C项。

16．X₁，…，X_n为来自正态分布N（μ，1）的简单随机样本。记Z_α为标准正态分布100α%分位数，则由此样本所构造的置信水平分别为95%与90%的双侧置信区间长度之比为（　　）。

A．2×Z_0.975/Z_0.95

B．Z_0.975/Z_0.95

C．2×Z_0.95/Z_0.90

D．Z_0.95/Z_0.90

【答案】B

【解析】总体均值μ区间估计的枢轴量为

由

可知置信区间长度为

于是95%与90%双侧置信区间长度之比为Z_0.975/Z_0.95，因此答案选B项。

17．X₁，…，X_n为来自正态分布N（μ，1）的简单随机样本。令X(＿)为其样本均值，若（X(＿)－C_α，X(＿)＋C_α）为μ的1－α水平的置信区间，其中0＜α＜1，C_α＞0为常数。若从总体N（μ，1）中新增一独立样品X_n＋1，则X_n＋1落在此置信区间的概率（　　）。

A．等于1－α

B．小于1－α

C．大于1－α

D．与1－α的大小关系不能确定

【答案】D

【解析】注意理解置信水平1－α的概念，它表示样本置信区间能够包含参数的比例，而不是某个样本落在置信区间的概率，因此本题答案为D项。

18．X₁，X₂，X₃为来自正态分布N（0，σ2）的简单随机样本。记

χ_α2（r）为自由度为r的χ2分布的100α%分位数，则下面哪个不是σ2的95%的置信区间（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】A项，Q₁/σ2～χ2（3），因此A项正确；B项，

于是

故B项正确；由于

所以是σ2的95%的置信区间，C项正确，D项是σ2的5%的置信区间，错误。

19．在单因素方差中，X_k1，X_k2，…，X_kn～N（μ_k，σ2），k＝1，2，3，且X₁₁，…，X_1n，X₂₁，…，X_2n，X₃₁，…，X_3n之间相互独立，令

若σ2＝1，则（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】由方差分析的性质知，SSE/σ2～χ2（3n－3）。根据SSE的计算公式，知本题应该选D项。

20．在简单线性回归中，以下关于回归系数最小二乘估计叙述错误的是（　　）。

A．求解最小二乘估计并不需要误差项服从正态分布

B．最小二乘估计是无偏估计

C．最小二乘估计是最优线性无偏估计（BLUE）

D．最小二乘估计是最小方差无偏估计（MVUE）

【答案】D

【解析】最小二乘估计不是所有估计中方差最小的，而是所有线性估计中方差最小的。

二、（共24分）设二维随机向量（X，Y）有密度

（1）（8分）判断X和Y是否相互独立。

（2）（8分）求在Y＝0.5的条件下随机变量X的条件密度。

（3）（8分）求Z＝X＋Y的密度函数。

解：（1）

f_X（x）f_Y（y）＝1/4

因此X，Y不独立。

（2）

当Y＝0.5时

（3）F_Z（z）＝P（X＋Y≤z）＝P（Y≤－X＋z）

当Z≤－2，F_z（z）＝0；

当－2＜Z≤0时

当0＜Z≤2时

当Z＞2时，F_z（z）＝1

因此Z的密度函数为

三、（共22分）设总体X的密度函数f（x）＝2θ－2x，（0＜x＜θ），X₁，…，X_n（n＞3）为其简单随机样本。

（1）（6分）求θ的最大似然估计量θ(∧)₁；

（2）（6分）求θ的矩法估计量θ(∧)₂；

（3）（10分）据MSE（mean squared error）准则，请计算比较θ(∧)₁与θ(∧)₂的优劣。

解：（1）似然函数为

取对数

因此该似然函数为减函数，当似然函数最大时，θ应该最小。故最大似然估计θ(∧)₁＝X_(n)。

（2）

因此。

（3）由于

所以X_(n)的概率密度函数为

所以

因此

由于n＞3，所以－2n2＋5n－1＜0，即

所以MSE（θ(∧)₂）＞MSE（θ(∧)₁），即θ(∧)₁是更优估计。

四、（22分）设X₁，…，X_n（n≥3）为来自伯努利分布B（1，p）的样本，己知T＝X₁＋…＋X_n为参数p的充分统计量。

（1）（8分）求p2的最大似然估计，并说明该估计不是p2的无偏估计。（需要写出详细推导过程）。

（2）（6分）令M＝X₁X₂，证明M是p2的无偏估计。

（3）（8分）寻找p2的最小方差无偏估计（需要写出具体形式）。

解：（1）似然函数：

对似然函数取对数：

当对数似然函数求偏导并令其为0时，对应的p(∧)即为所求。

令

则

根据最大似然估计的一致性可知，p2的最大似然估计为

因此最大似然估计不是无偏估计。

（2）由于X₁，X₂是来自同一分布的独立随机样本，因此E（X₁X₂）＝E（X₁）E（X₂）＝p2，所以M是p2的无偏估计。

（3）取

由ET＝p2，得T是p2的无偏估计。

又因为是p的完全统计量，根据Lehmann-Scheffe定理，T是p2的最小方差无偏估计。

五、（22分）总体X服从如下分布。X₁，…，X₄为其样本量为4的简单随机样本。

令

其中I为示性函数。针对假设H₀：θ＝1/3 v.s. H₁：θ＝1/4构建拒绝域C｛（x₁，x₂，x₃，x₄）：T（x₁，x₂，x₃，x₄）＞2｝。

（1）（12分）求此检验的第一类错误概率α与第二类错误概率β。

（2）（10分）请判断此检验是否为显著性水平为α时的最优检验（most powerful test）。

解：（1）犯第一类错误的概率

犯第二类错误的概率

（2）令Y_i＝I（X_i＝0），那么样本的似然函数为

其中

所以似然比为：

所以拒绝域为{X：λ（X）＞C}，其中C满足P[λ（X）＞C]＝α＝1/9。

由于T取整数，求得拒绝域为{X：T＞2}，由NP引理知这个拒绝域为UMPT。

综上，题目中的拒绝域为水平为α的UMPT。