第6章 需 求
一、判断题
1．某消费者根据他的预算约束使自己的效用达到最大化。某次价格变化使得他的情况得到了改善，所以在原来价格水平下，相对于旧的消费束来说，新消费束要花费更多的收入。（ ）
【答案】T
【解析】价格变化使得情况变好，那么可知，价格降低而不是提高。因此，消费者至少能够购买更多的某一种商品。在原来的价格水平下，消费量增加，因此新消费束要花费更多的收入。
2．如果消费者把所有的收入都用来消费若干商品，那么其中至少有一种商品不是低档商品。（ ）
【答案】T
【解析】假设消费者的预算线为
因为消费者总是花光全部收入，所以此式恒成立。预算线两边对收入求导得：
如果两种商品都是低档商品，那么
和
都小于0，求导后得出的式子两端不可能相等，因此不可能两种商品都是低档商品。
3．对于一个消费者来说，他的需求曲线在所有价格水平下都向上倾斜是不可能的。（ ）
【答案】T
【解析】对于一个消费者来说，需求曲线一般都是向右下方倾斜的。只有当商品是吉芬商品时，需求曲线才是向上倾斜的。
4．在相似偏好情况下，收入不变，所有商品的价格加倍，那么对所有商品的需求减半。（ ）
【答案】T
【解析】相似偏好下，消费者偏好只取决于商品1对商品2的比率。原有的商品比率为
，此时消费者效应达到最大化。当商品价格加倍且收入不变时，消费者消费这两种商品的比率不会改变，收入不足以支付原有消费量。因此，对所有商品的需求减半。
5．如果收入以及所有商品的价格都加倍，那么对于奢侈品的需求的增量将会多于一倍。（ ）
【答案】F
【解析】奢侈品是指同收入相比，商品的需求增加的比例较大。收入加倍的同时所有商品的价格也加倍，那么预算约束线未发生移动，无差异曲线不变的情况下，消费者不会改变原有的选择。也就是说，对奢侈品的需求不变。
6．对于拟线性偏好
，商品y的恩格尔曲线是一条折线。（ ）
【答案】F
【解析】因为偏好是拟线性的，在收入不够购买商品y的时候，商品x的需求随着收入的增加而增加，当收入能够购买商品y的时候，则商品x具有零收入效应，x的消费量不随收入的变动而变动，因此其恩格尔曲线是一条折线。而对于商品y而言，在能消费得起的前提下，商品y的消费量是随着收入的增加而增加的，因此是一条向右上方倾斜的直线。
7．在其他变量固定的情况下，收入增加，吉芬商品的需求增加。（ ）
【答案】F
【解析】吉芬商品是指需求随着价格的上升而增加；随着收入的增加而需求增加的商品是正常商品。
8．假定一位理性的消费者用尽全部收入，如果收入增加而商品价格保持不变，那么她会增加消费每一种商品。（ ）
【答案】F
【解析】如果消费者消费的商品中包含低档商品，那么当收入增加的时候，她会增加正常品的消费，减少低档品的消费。
9．需求曲线向右下方倾斜为商品的边际效用决定。（ ）
【答案】T
【解析】基数效用论认为，商品的需求价格取决于商品的边际效用，由于边际效用递减，随着消费者对某一种商品的消费量的连续增加，该商品的边际效用是递减的，消费者为购买这种商品所愿意支付的最高价格也越来越低，因此，建立在边际效用递减规律上的需求曲线是向右下方倾斜的。
10．如果对X1与X2的需求函数为：
（这里
，y是收入），由于
那么X1与X2不可替换。（ ）
【答案】T
【解析】
说明商品1的价格对商品2的需求无影响，而商品2的价格对商品1的需求无影响，从而X1与X2不可替换。
11．假定小明的效用函数具有如下形式：
x代表一种离散商品的消费数量，y代表小明的其它消费。如果小明的消费行为是理性的，消费了5单位的商品x，那么商品x此时的价格一定不大于第5单位商品的保留价格，不小于第6单位商品的保留价格。（ ）
【答案】T
【解析】保留价格是使消费者消费或不消费商品刚好无差异的价格，对于离散商品而言，第i单位的保留价格就等于第i单位商品能够带来的效用水平减去第i－1单位商品的效用水平。小明选择5单位商品x时达到效用最大化，那么对于所有可选的x，都有
令x＝6，
整理可得：
令x＝4，
则
。由此可得，商品x此时的价格一定不大于第5单位商品的保留价格，不小于第6单位商品的保留价格。
12．假设消费者的效用函数为
当商品x1价格发生变化时，价格提供曲线是一条水平直线。（ ）
【答案】T
【解析】价格提供曲线表示商品1价格变动时的各个最优选择点。柯布—道格拉斯效用函数中，商品x1的需求函数为：
。由此可知，商品x1的需求不受另一种商品的影响。因此，当商品x1价格发生变化时，价格提供曲线是一条水平线。
13．需求曲线的每点都意味着消费者的均衡条件得到满足。（ ）
【答案】T
【解析】商品需求曲线是从价格提供曲线（价格—消费曲线）推导出来的，由于价格—消费曲线是商品价格变化所引起的消费者均衡的轨迹，因此商品需求曲线的每点都意味着消费者均衡。
14．如果以需求量作为纵轴，则生活必需品的恩格尔曲线的斜率随需求量的增加而递减。（ ）
【答案】T
【解析】恩格尔定律表明，随着收入增加，生活必需品的消费量也增加，但增加的比例小于收入增加的比例，所以恩格尔曲线的斜率随着消费量的增加而递减。
15．所有商品的需求量和其替代品的价格变动都成正比。（ ）
【答案】T
【解析】当商品2的价格上升时，商品1的需求增加，就称商品1是商品2的替代品。用变动率来表示，如果
，商品1就是商品2的替代品。因此所有商品的需求量和其替代品的价格变动都成正比。
16．对于两种商品i和j，如果商品j的价格上升，商品i的需求增加，则这样的两种商品具有互替性。（ ）
【答案】T
【解析】替代品是指对于两种商品i和j，如果商品j的价格上升，商品i的需求增加，也就是说商品j的价格上升后，消费者可以减少或不用消费商品j，而增加或转为消费商品i，那么商品i是商品j的替代品。
二、单项选择题
1．在收入变动时会出现许多预算线，从而出现许多消费者均衡点，将这些消费者均衡点连接起来可得到（ ）。
A．价格—消费曲线
B．收入—消费曲线
C．均衡曲线
D．预算—均衡曲线
【答案】B
【解析】在价格不变的情况下，消费者收入的任何变动都会引起预算线的平行移动，预算线的每一次移动总会与新的无差异曲线相切，形成新的消费者均衡点。如果把不同收入水平下的消费均衡点连接起来，就可以得到一条平滑的曲线，即收入—消费曲线。
2．对于正常商品来说，收入—消费曲线表明，消费者的均衡购买量随收入的增加而（ ）。
A．保持不变
B．增加
C．减少
D．按反方向变动
【答案】B
【解析】对正常商品来说，收入增加时，消费者的均衡购买量也会增加。低档物品的需求量随着收入的增加而减少。
3．某消费者的效用函数为
在现有价格和收入水平下，她消费10单位x1和15单位x2。若收入加倍而价格不变，她将消费多少单位x1？（ ）
A．20
B．18
C．10
D．5
【答案】C
【解析】由效用函数
可知，消费者偏好为拟线性偏好。因为（10，15）是无差异曲线与预算线相切的点，那么另一条无差异曲线也会与（10，x2）相切。商品1具有“零收入效应”，即收入的变动不影响x1的消费量。
4．某消费者只消费两种商品，她拥有柯布—道格拉斯效用函数，那么她的需求曲线具有下列哪些特点？（ ）
A．对其中某一种商品的需求不随收入变化
B．对两种商品的需求都不随收入变化
C．对每种商品的需求取决于收入和两种商品的价格
D．对某种商品的需求取决于收入和那种商品本身的价格
【答案】D
【解析】在柯布—道格拉斯偏好下，消费者对两种商品的消费量与收入成正比与本身价格成反比，且对一种商品的消费与另一种商品的价格无关。
5．某消费者消费两种商品，若该消费者收入加倍，商品1的价格加倍，商品2的价格不变，那么消费者对两种消费品需求的变化为（ ）。
A．只有当商品1为吉芬商品时，对它的消费增加
B．只有当商品2为吉芬商品时，对它的消费增加
C．只有当商品2为劣等商品时，对它的消费增加
D．只有当商品2为吉芬商品时，对它的消费减少
【答案】D
【解析】吉芬商品的需求随着自身价格的下降而减少。“该消费者收入加倍，商品1的价格加倍，商品2的价格不变”相当于“该消费者的收入和商品1的价格都不变，只有商品2的价格下降”。因此商品2为吉芬商品时，对它的消费减少。
6．某消费者的效用函数为
P1＝P2＝1，收入在20和60之间，那么，商品2的恩格尔曲线（ ）。
A．向上倾斜
B．向下倾斜
C．垂直
D．在20到40之间向上倾斜，在40到60之间向下倾斜
【答案】B
【解析】构造拉格朗日函数
利用效用最大化的一阶条件可得：
预算方程为：x1＋x2＝m。联立可得：
m在20到60之间，则x2在0到20之间，恩格尔曲线是向下倾斜的。
7．小李从叔叔那里继承了10000元的遗产，之后他减少了对汉堡包的消费，那么：（ ）。
A．对小李来说汉堡包是吉芬商品
B．对小李来说汉堡包是正常商品
C．小李对汉堡包的恩格尔曲线是垂直的
D．小李的偏好不具有相似性
【答案】D
【解析】对小李而言，汉堡包是低档商品，收入增加，消费量当然会减少。相对于其他商品而言，小李减少了汉堡包的消费，则商品之间的比例发生变化，因此小李的偏好不具有相似性。
8．对于m＞p2，对于商品1和商品2的需求由下列等式给定，
在上式中m是收入，p1和p2是价格。横轴代表商品1的数量，p1＝1，p2＝2。则对于m＞2，收入提供曲线是（ ）。
A．一条垂直的直线
B．一条水平的直线
C．一条斜率为2的斜线
D．一条斜率为0.5的斜线
【答案】B
【解析】由
，可知商品2的需求量并不随着收入变化而变化，而由
知，商品1的需求随着收入的变化而变化。所以收入提供曲线为一水平的直线。上述的需求函数是由拟线性偏好的效用函数推出的。在拟线性偏好的效用函数中，非线性部分的商品的需求是不随收入的变化而变化的。在此题中，商品2就是这一商品，消费者的效用函数为：
9．某消费者的效用函数为
x和y的价格分别为3和1，则他的收入提供曲线是（ ）。
A．始于原点，斜率为2的射线
B．平行于x轴的直线
C．平行于y轴的直线
D．与x的恩格尔曲线相同
【答案】A
【解析】由效用函数可知，商品x和商品y属于完全互补品，消费者的最优选择在2x＝y上。因此收入提供曲线为一条经过原点，斜率为2的射线。
10．x是对商品X的需求量，则对商品X的反需求函数为（ ）。
A．把1/x作为一个价格和收入的函数
B．把对X的需求表示为1/px和收入的函数，其中px是商品X的价格
C．把对X的需求表示为1/px和1/m的函数，其中m是收入
D．以上都不对
【答案】D
【解析】反需求函数是需求函数的反函数，即如果需求函数为：x＝x（p），那么反需求函数就是x＝x（p）的逆函数。
11．两种商品的价格—消费曲线呈右上倾斜的形状时，两种商品为（ ）。
A．互补商品
B．劣等商品
C．替代商品
D．正常商品
【答案】D
【解析】价格提供曲线（价格—消费曲线）是在消费者的偏好、收入以及其他商品价格不变的条件下，与某一种商品的不同价格水平相联系的消费者效用最大化的均衡点的轨迹。当价格—消费曲线向右上方倾斜，表明该商品的价格与需求量呈反向变动，即需求曲线向右下方倾斜，由此可知，这两种商品都是正常商品。
12．对于一个消费者，不管他的收入和商品的价格是多少，他总是把收入的63.7%花在商品A上，而把收入的36.3%花在商品B上，这个行为的选择与下列哪个选项一致？（ ）
A．这两种商品是完全替代品
B．这个消费者对商品的需求并不随着商品价格的变化而变化
C．这个消费者以固定的比例消费这两种商品
D．这个消费者有一个柯布—道格拉斯形式的效用函数
【答案】D
【解析】不管收入和商品的价格如何，消费者总是将固定的收入比例分配在两种商品的消费上，这是柯布—道格拉斯效用函数表现出来的行为方式。对于一个柯布—道格拉斯效用函数：
，不管收入和商品的价格为多少，消费者总是花费收入的
比例在x商品上，而花费收入的
比例在y商品上。
13．下列说法中，错误的是（ ）。
A．X（p，y）表示马歇尔需求函数，如果有
，那么该商品为正常商品
B．需求数量的变动和收入的变动方向相反的商品为吉芬商品
C．如果商品的需求量随着价格的上升而下降，则这种商品为普通商品
D．X（p，y）为马歇尔需求函数，如果有
，那么这种商品为低档商品
【答案】B
【解析】AD两项，根据需求数量的变动和收入变动之间的关系的不同，可以把商品分为正常商品和低档商品两类。需求数量的变动与收入变动同方向的，即
，这种商品为正常商品；反之为低档商品。BC两项，根据需求量变动与价格变动之间的关系的不同，可以把商品分为普通商品和吉芬商品。商品需求量与价格反方向变动，即
，则该商品为普通商品。反之，
，那么该商品为吉芬商品。需求数量的变动和收入的变动方向相反的商品为低档商品。
14．下面哪个效用函数所代表的偏好不是相似偏好？（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】相似偏好意味着消费者偏好只取决于商品x与商品y之间的比例，收入按任意比例变动时，需求束也按同样的比例同向变动。道格拉斯偏好、完全替代偏好、完全互补偏好都是相似偏好。
三、简答题
1．证明柯布—道格拉斯偏好是相似偏好。
证明：相似偏好是指如果消费者对（x1，x2）的偏好甚于（y1，y2），则对任意的t＞0，该消费者对（tx1，tx2）的偏好甚于（ty1，ty2）。
柯布—道格拉斯效用函数为：
所以：
如果有
，那么对于任何正值t，就一定有：
即
。
2．对中国的家庭来说，住房和食物都是最重要的消费品。假定一个代表性中国家庭仅仅消费x和y这两种物品，其中x是住房，y是食物。其效用函数如下式表示：
其中
，
，i＝1，2。U1和U2可以不同。
请解释：
（1）这个效用函数的性质是什么？该性质和Ux，y有何关联？其经济含义是什么？
（2）证明：该效用函数下，每种物品都不可能是低档物品。
（3）该效用函数下，x和y是总替代品或者总互补品吗？为什么？
答：（1）该效用函数具有递增性，同时边际效用递减。对于x、y来说，总效用具有可加性，两种商品具有独立的边际效用，即
其经济学含义是指，每增加一单位x（y）商品的消费所引起的效用增加量与y（x）的消费数量无关。同理，对于y也成立。
（2）低档物品是指需求量与消费者的收入水平反方向变化的物品。假设x是低档物品，x和y价格不变，那么当收入增加时，x的需求量必然减少，相应的，y的需求量增加。由消费者效用最大化可知，收入提高前：
当收入提高后，同样有
而由
知，x与y的边际效用递减，因此有
，
，这与效用最大化的条件
矛盾。所以，x不可能是低档物品。同理，y也不可能是低档物品。
（3）在该效用函数下，不能确定x和y是总替代品还是总互补品。原因在于：从给出的效用来看，两种商品具有独立的边际效用，一种商品价格的变化对另一种商品需求量的影响不确定。
3．判断对错并简要说明理由。x1和x2是一个消费者消费的两种物品，如果
，就说x1是x2的替代品；如果x1是x2的替代品，则x2也是x1的替代品。
答：（1）先考虑净替代的情况：前半句是错误的，而后半句是正确的，理由如下：
两个商品之间的替代关系通过净替代效应的正负来决定，商品1的希克斯需求函数x1关于商品2的价格p2求偏导数，如果正，则替代；如果负，则为互补。由马歇尔需求函数求偏导得出的是总替代和总互补关系，即使总替代关系为正，由于未剔除收入效应，仍有可能净替代效应为负，从而两种商品互补，因此该命题前半句错误。
对一个消费两种商品的消费者而言，其希克斯需求函数有如下性质
所以，如果x1是x2的替代品，即
，那么
，即x2也是x1的替代品。
（2）再考虑总替代的情况，前半句是正确的，而后半句是错误的，理由如下：
由马歇尔需求函数求偏导得出的是总替代和总互补关系，
，可知总替代关系为正，两种商品为替代品。但考虑总替代品时，则不存在净替代效应的对称关系。例如，拟线性效用函数
，可知马歇尔需求函数为
检验可知
，商品1是商品2的替代品；而
，商品2不是商品1的替代品，也就是说总替代关系不一定是对称的。
4．请辨析说明喜好商品、中性商品、厌恶商品、正常商品、必需商品、奢侈品、劣等品、普通商品、吉芬品等概念的区别与联系。
答：（1）根据收入变化对商品需求的影响，可以把商品分为正常商品和低档商品（也称劣等品）。
①在价格不变的条件下随着收入的增加，消费者对某种商品的需求增加，那么该种商品被称为正常商品。
②在价格不变的条件下随着收入的增加，消费者对某种商品的需求减少，那么该种商品被称为低档商品。
（2）根据价格变化对商品需求的影响，可以把商品分为普通商品和吉芬商品。
①在其他商品价格和消费者收入不变的条件下，消费者对某种商品的需求随着其价格的提高而减少，那么该种商品就称为普通商品。
②反之，在其他商品价格和消费者收入不变的条件下，消费者对某种商品的需求随着其价格的提高而增加，那么该种商品就称为吉芬商品。
③吉芬商品肯定是低档商品，但低档商品并不一定是吉芬商品。
（3）根据收入变动比例与需求变动比例大小的比较，可以把商品分为奢侈品和必需品。
奢侈品是指同收入相比，商品的需求增加的比例较大；如果商品需求增加的比例较小，则这种商品被称为必需品。
（4）根据消费者对商品的偏好性可把商品分为喜好商品、中性商品和厌恶商品。
①如果一种商品是中性商品，消费者会把所有的钱都花费在他喜爱的商品上，而不购买任何中性商品。
②如果一种商品是厌恶品，消费者也会把所有的钱都花费在他喜爱的商品上，而不购买任何厌恶品。
③正常商品、劣等品、普通商品、吉芬品等均属于喜好品。
四、计算题
1．某消费者的效用函数为
r和z分别代表在她的花园中玫瑰和菊花的数量，她有250平方英尺可以用来种植这两种花，每株玫瑰占用4平方英尺而菊花占用1平方英尺，如果她获得了另外100平方英尺的土地，效用函数不变的情况下，她将多种植多少菊花和玫瑰？
解：原来的预算约束条件可写为：4r＋z＝250。将其代入效用函数中可得：
①
①式对r求一阶导数并令其为零，有：－4＋120－2r＝0，解得r＝58，代入预算约束条件得z＝250－4×58＝18。
获得了另外的土地后的预算约束条件可写为：4r＋z＝350。将其代入效用函数中可得：
②
②式对r求一阶导数并令其为零，有：－4＋120－2r＝0，解得r＝58，代入预算约束条件得z＝350－4×58＝118。
因此效用最大化下种植的玫瑰数量不变，消费者应该多种植100单位菊花。
2．某消费者的收入为m，考虑其只消费商品1和商品2，两种商品对该消费者是完全替代品，且他愿以a单位商品1交换b单位商品2。商品1的市场价格为P1，商品2的市场价格为P2，两种消费数量分别为x1和x2表示。政府对商品1的消费量小于配给量
时不征税，超过配给量时，对消费者征收税率为t的从价税。
（1）写出该消费者的预算约束方程，并画图表示。
（2）写出该消费者消费商品1和商品2的效用函数，并画出无差异曲线。
（3）求该消费者对商品1的需求函数。
解：（1）预算约束方程为：
预算线如图6-1所示。
图6-1 预算线
（2）消费者的效用函数为：
无差异曲线如图6-2所示。
图6-2 无差异曲线
（3）该消费者对商品1的需求函数为：
3．消费者对（X1，X2）的效用函数是拟线性的效用函数
X1的价格为1，X2的价格为p2，消费者的收入是m。求：
（1）求X1，X2的需求函数（注意分情况讨论，比如角点和内部解）。
（2）设m＝100，此时收入变化是否影响对X1和X2的消费？
（3）设m＝100，p2从1变到2，计算该消费者从消费X2这种商品获得的消费者剩余的变化。
解：（1）消费者的效用最大化可写为：
当
时：
当
时，
，
。
（2）当m＝100，如果
，
收入变化对X1的消费有正的影响，对X2的消费没有影响。
如果
则：
即，收入变化对X1的消费没有影响，对X2的消费有正的影响。
（3）无论P2＝1或者2，都有：
消费者剩余变化为：
4．某消费者的偏好由以下效用函数描述：
其中Inx是x的自然对数。商品1和商品2的价格分别为p1和p2，消费者的收入为m。
（1）写出消费者的最大化问题；
（2）求出需求函数x1（p1，p2，m）和x2（p1，p2，m）；
（3）设价格p1＝p2＝1，画出每种商品与此价格相应的恩格尔曲线，该曲线描述了商品需求和收入之间的关系（经济学家的习惯是把收入作为纵坐标）；
（4）设m＝10，p2＝5，画出商品1的需求曲线，该曲线描述了商品需求和价格之间的关系（经济学家的习惯是把价格作为纵坐标）；
（5）判断商品1和商品2是正常品还是低档品，是普通品还是吉芬品，是互补品还是替代品。
解：（1）消费者的最大化问题是指消费在收入约束下效用的最大化。即：
（2）构造拉格朗日函数：
效用最大化的一阶条件为：
解得需求函数分别为：x1＝m/3p1，x2＝2m/3p2。
（3）当价格p1＝p2＝1时，x1＝m/3。两种商品与价格相对应的恩格尔曲线如图6-3所示。
图6-3 两种商品与价格相对应的恩格尔曲线
（4）当m＝10，p2＝5时，x1＝10/3p1，商品1的需求曲线如图6-4所示。
图6-4 商品1的需求曲线
（5）由x1＝m/3p1，x2＝2m/3p2，商品1和商品2都是正常品、普通品，因为它们的需求量都随收入增加，随价格降低；商品1和商品2既不是替代品，也不是互补品，因为商品1的需求量x1与商品2的价格无关，而商品2的需求量也与商品1的价格无关。
5．产品X的需求函数给定为
其中PX代表产品X的单位价格，Q代表每星期的销售数量，PY代表另一产品Y的单位价格。产品X的供给函数给定为：
。
（1）设PY＝10，计算X的均衡数量和均衡价格。
（2）X与Y是相互替代还是相互补充？
解：（1）令需求和供给相等就有：
解得Q＝2338.9，把它代入产品X的需求曲线，就有：
（2）根据
可求出X的需求函数为：
由此易见Q和PY的关系：当其他条件保持不变时，这两个变量同向变动，说明X和Y是相互替代的。