4.2　课后习题详解

1．度量离中趋势的差异量数有哪些?为什么要度量离中趋势?

答：（1）度量离中趋势的差异量数有全距、四分位差、百分位差、平均差、标准差与方差。

差异量数就是对一组数据的变异性，即离中趋势特点进行度量和描述的统计量，又称离散量数（measures of dispersion）。

（2）度量离中趋势的必要性

在心理和教育研究中，要全面描述一组数据的特征，不但要了解数据的典型情况，而且还要了解特殊情况。这些特殊性常表现为数据的变异性，因此，只用集中量数不可能真实地反映出它们的分布情形。为了全面反映数据的总体情况，除了必须求出集中量数外，这时还需要使用差异量数。

2．各种差异量数各有什么特点?

答：（1）标准差计算最严密，它根据全部数据求得，考虑到了每一个样本数据，测量具有代表性，适合代数法处理，受抽样变动的影响较小，反应灵敏。缺点是较难理解，运算较繁琐，易受极端值的影响。

（2）方差的描述作用不大，但是由于它具有可加性，是对一组数据中造成各种变异的总和的测量，通常采用方差的可加性分解并确定属于不同来源的变异性，并进一步说明各种变异对总结果的影响。因此，方差是推论统计中最常用的统计量数。

（3）全距计算简便，容易理解，适用于所有类型的数据，但它易受极值影响，测量也太粗糙，只能反映分布两极端值的差值，不能显示全部数据的差异情况，仅作为辅助量数使用。

（4）平均差容易理解，容易计算，能说明分布中全部数值的差异情况，缺点是会受两极数值的影响，但当数据较多时，这种影响较小，因有绝对值也不适合代数方法处理。

（5）百分位差易理解，易计算，不易受极值影响，但不能反映出分布的中间数值的差异情况，也仅用作补助量数。

（6）四分位差意义明确，计算方便容易，对极端值不敏感，较不受极端值影响。当组距不确定，其他差异量数都无法计算时，可以计算四分位差。但是，四分位差无法反映分布中所有数据的离散状况，不适合使用代数方法处理，受抽样变动影响较标准差大。

通过比较，可以发现标准差、方差价值较大，它们的应用也比较广泛，因此，一般称标准差、方差为高效差异量。相比较而言，其他差异量数，如全距、平均差、百分位差和四分位差等缺点比较明显，应用也受到限制，故称他们为低效差异量数。

3．标准差在心理与教育研究中除度量数据的离散程度外还有哪些用途?

答：作为一个非常优秀的差异量数，标准差有着非常广泛的用途。

（1）差异系数

比较同质性数据的离散程度的大小是，如果平均数相同，可以直接比较标准差的大小。但是：

①当进行两个或两个以上的样本资料不同质；

②即使是同质性数据，其平均数相差较大时；

比较其变异程度就不能采用标准差，而需要采用标准差与平均数的比值，即差异系数，来比较。差异系数可以消除单位和（或）平均数不同对两个或多个资料变异程度比较的影响。

（2）标准分数

标准分数是以标准差为单位，表示一个分数在团体中所处位置的相对位置量数。标准分数有以下用途：

①用于比较分属性质不同的观测值在各自数据分布中相对位置的高低。这样就能进行不同观测值的比较。

②已知不同质的观测值的次数分布为正态时，可用Z分数求不同的观测值的总和或平均值，以表示个体在团体中的相对位置。

③表示标准测验分数

经过标准化的心理或教育测验，如果其常模分数接近正态，常转化为标准正态分数。其标准化公式为，式中Z′为正态标准分数，，a，b为常数，σ为测验常模的标准差。

4．应用标准分数求不同质的数据总和时应注意什么问题?

答：应用标准分数求不同质的数据总和时应注意这些不同质的观测值的次数分布应该是正态的。因为标准分是线形变化，不改变原分布的形态，只有原分布是正态时，转化后的标准分才是正态的。

5．计算下列数据的标准差与平均差。

11．0，13.0，10.0，9.0，11.5，12.2，13.1，9.7，10.5。

解：（1）把数据代入公式4.10，

得。

把数据代入公式4.5，

求平均差，得。

答：标准差约为1.37，平均差约为1.19。

6．计算第2章习题4所列次数分布表的标准差、四分位差Q。

解：（1）应用公式4.11，

求次数分布表的标准差，得

（2）应用公式

求得

答：标准差为26.3，四分位差为16.68。

7．今有一画线实验，标准线分别为5厘米及10厘米，实验结果5厘米组的误差平均数为1.3厘米，标准差为0.7厘米，10厘米组的误差平均数为4.3厘米，标准差为1.2厘米，请问用什么方法比较其离散程度的大小?并具体比较之。

解：由于两组得平均数和标准差都有很大差异，因此应该用差异系数比较两组数据的离散程度。

将数据代入公式4.15，

得

答：5厘米组的差异比10厘米组的离散程度大。

8．求下表所列各班成绩的总标准差

解：应用公式4.14，

求解：

（1）计算、

（2）计算、：

（3）把数据代入公式4.14，得

答：各班成绩的总标准差是6.03。

9．求下表数据分布的标准差和四分位差。

解：应用分组数据求标准差和四分位差的公式求解。

（1）应用公式4.11

求次数分布表的标准差，得s≈11.82。

（2）应用公式

求得