2.2　典型题（含考研真题）详解

1．已知行列式，其中a₁，a₂，…，a_n－1是互不相同的数，证明P(x)是一个n － 1次多项式，并求出P(x)的最高次项的系数和P(x)的根．[北京交通大学2007研]

证明1：把行列式按第一行展开可得

其中

因此P(x)是一个至多n−1次的多项式，又由行列式性质可知P(a_i)＝0， ∀1≤i≤n−1，结合已知条件得P(x)有n−1个两两不同的根，故P(x)是n−1次多项式，其根为a₁，…， a_n－1， 首项系数为(−1)^n＋1A_n－1．

证明2：直接利用范得蒙行列式计算方法求出P(x)＝Π_{1≤j≤i≤n－1}(a_i－a_j)Π_{1≤i≤n－1}(a_i－x)， 从而得出欲证结论．

2．设，计算下面的行列式：

[湖南大学2005研]

解：利用行列式的性质，由计算可得

＝

＝

＝

3．计算下列n阶行列式：

[中山大学2004研]

解：行列式按第1行展开，然后接着对其中一个阶行列式再次展开，得，因此

，．

4．计算

解：由第二降阶公式，得

5．证明：

＝（a＋b＋c＋d）（a＋b－c－d）（a－b＋c－d）（a－b－c＋d）．

证明：各行都加到第一行，然后从第一行中提出公因子后再将各列都减去第一列，即得

第三行加到第二行，再将第一行加到第三行，得

从第二、三行中提出公因子，再第三列减去第一列，即得所要结果．

6．计算三对角线形行列式

解：将按第一列展开，得

整理得递推公式

于是

由中的对称性，可得

解方程组

当a≠β时，有

当a＝β时，取t≠0时，则

上式是关于t的多项式，t＝0时也成立，故

7．设是一个n阶矩阵，．又设满足为一个数，用行列式的定义求｜B｜．

解：由行列式的定义，得