五、导　数

1．导数的概念及其几何意义

（１）概念

①设函数y＝f（x）在点x₀的某一邻域内有定义，若自变量x在点x₀处的改变量为△x（x₀+△x仍在该邻域内），函数y＝f（x）相应地有改变量如果极限

存在，则称此极限值为函数y＝f（x）在点x₀处的导数，记作或，即

此时称函数y＝f（x）在点x₀处可导．如果上述极限不存在，则称函数y＝f（x）在点x₀处不可导．

②导数定义的等价形式

，

如果x₀＝0，有等价形式

如果y＝f（x）在开区间（a，b）内的每一点都可导，则称函数f（x）在区间（a，b）内可导，由于对于（a，b）内每一点x，都对应一个导数值f′（x），因此又称此f′（x）为函数f（x）在（a，b）内的导函数，简称为导数，记作f′（x），y′或

f（x）在点x₀的导数f′（x₀）可以认作是导函数f′（x）在点x＝x₀处的函数值，即

注意

③左、右导数

如果y＝f（x）在点x₀及其左侧邻域内有定义，当存在时，则称该极限值为f（x）在点x₀处的左导数，记为．同理定义右导数

④性质

函数y＝f（x）在点x₀处可导的充分必要条件是它在该点处的左导数与右导数都存在且相等，左导数与右导数常用于判定分段函数在其分段点处的导数，通常说y＝f（x）在[a，b]上可导，是指函数f（x）在（a，b）内可导，且在左端点a处右导数存在，在右端点b处左导数存在．

（2）几何意义

如果函数y＝f（x）在点x₀处的导数f′（x₀）存在，则在几何上表明曲线y＝f（x）在点（x₀，f（x₀））处存在切线，且切线的斜率为f′（x₀）．

由解析几何知识可知，曲线y＝f（x）在点（x₀,f（x₀））处的切线方程为

如果，则此时曲线y＝f（x）在点（x₀,f（x₀））处的法线方程为

如果f′（x₀）＝0，则y＝f（x₀）即为曲线y＝f（x）在点（x₀,f（x₀））处的水平切线．

2．导数公式

（1）常数（c为常数）的导数

（2）幂函数的导数

（3）多项式函数的导数

（4）补充

①求常数与函数乘积的导数，常数因子可以提到括号外

②有限个函数的代数和的导数等于他们导数的代数和

3．单调区间、极值与最值

（1）单调区间

①若在内，则函数在内单调增加，区间称为函数的单调增区间；

②若在内，则函数在内单调减少，区间称为函数的单调减区间．

（2）极值

①定义

a．极大值

设函数在区间内有定义，是区间内的一个点．如果对于附近的任意点，均成立，则称是函数的一个极大值，使函数取得极大值的点称为极大值点．

b．极小值

设函数在区间内有定义，是区间内的一个点．如果对于附近的任意点，均成立，则称是函数的一个极小值，使函数取得极小值的点称为极小值点．

②极值判别法

设

a．当时，；当时，，则函数在处取得极大值．

b．当时，；当时，，则函数在处取得极小值．

c．在的两侧，具有相同的符号，则函数不在处取得极值．

③求函数的极值

a．求出函数的导数

b．令，求出函数的驻点，即使得的点

c．以驻点为分界点，将函数的定义域分成若干个子区间

d．确定各子区间的符号

（3）最值

设函数在区间内只取得有限个极大值与极小值，把这有限个极值与在区间端点的值和合在一起，其中最大的就是在区间上的最大值，最小的就是在区间上的最小值．

4．导数的应用

（1）求切线方程

①求曲线在点处的切线斜率

②运用直线的点斜式求直线方程

（2）求简单实际问题的最大值与最小值