二、函　数

1．函数的概念

在某变化过程中有两个变量x、y，按照某个对应法则，对于给定的x，有唯一确定的y与之对应，那么y就称为x的函数．其中x叫自变量，y叫因变量，自变量x取值的集合称为函数的定义域，函数值的集合称为函数的值域.

2．求函数定义域的方法

（1）整式函数的定义域是实数集合R．例如一次函数、二次函数的定义域都是实数集合R．

（2）分式函数的定义域是使得其分母不等于零的自变量x的取值范围．例如y＝的定义域是的解集．

（3）偶次根式函数的定义域是使得被开方式恒为非负实数的x的取值范围．例如二次根式函数ｙ＝的定义域是x－2≥0的解集．

（4）对数函数的定义域是使其真数恒为正实数的z的取值范围．例如的定义域为的解集．

（5）指数函数的定义域是实数集合R，而的定义域为．

（6）对于非单一的函数，其定义域应为使各部分均有意义的ｘ的取值范围．

3．函数的奇偶性与单调性

（1）奇偶性

①多项式函数中若只有偶次项（即奇次项系数全为0），则该函数必是偶函数；若只有奇次项（即偶次项系数全为0），则该函数是奇函数．应注意的是，常数项是项，所以是偶次项．

例如，对于二次函数来讲，只有当一次项系数为零时是偶函数．

②正比例函数、反比例函数一定是奇函数．

③指数函数、对数函数一定不是奇函数．

④三角函数中，正弦函数和正切函数为奇函数，余弦函数为偶函数．

（2）单调性

指数函数、对数函数、正比例函数、反比例函数均为单调函数（可能单调增加，也可能单调减少）．

偶函数必然不是单调函数，单调函数也必然不是偶函数．

4．一次函数、反比例函数

（１）一次函数

①概念

把形如y＝kx＋b（k≠0，k，b是常数）的函数称为一次函数，那么y称为x的一次函数．当b＝0时，y＝kx，是正比例函数，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数．

②图像

表1-1  一次函数的图像

③性质

a．斜率ｋ的正负决定直线的倾斜方向

ｋ＞０，ｙ随ｘ的增大而增大；ｋ＜０，ｙ随ｘ的增大而减小．

b．|k|大小决定直线的倾斜程度

|k|越大，直线与x轴相交的锐角度数越大，直线陡；|k|越小，直线与x轴相交的锐角度数越小，直线缓．

c．截距b的正负决定直线与y轴交点的位置

当b＞0时，直线与交于y正半轴上；当b＜0时，直线与y负半轴上；当b＝0，直线过原点，是正比例函数．

d．直线经过的象限

第一，当k＞0，b＞0时，直线经过第一、二、三象限；

第二，当k＞0，b＜0时，直线经过第一、三、四象限；

第三，当k＜0，b＞0时，直线经过第一、二、四象限；

第四，当k＜0，b＜0时，直线经过第二、三、四象限．

补充：正比例函数，当k＞0时，直线经过第一、三象限；当k＜0时，直线经过第二、四象限．

e．直线平行

若k₁＝k₂，说明两直线与x轴相交的锐角相等且是同位角，因此两直线平行．直线：可看作由直线：向上平移个单位得到．

④待定系数法求函数解析式

a．设函数表达式为；

b．将已知点的坐标代入函数表达式，解方程（组）；

c．求出与的值，得到函数表达式．

【例】一次函数y＝kx＋b上有两个已知点A（3，2），B（1，3），则其函数式为______．

【答案】y＝x＋

【解析】将A、B两点的坐标代入表达式中，得

解之得k＝，b＝，所以一次函数式为y＝x＋．

（2）反比例函数

①概念

如果两个变量x、y之间的关系可表示成的形式，称y是x的反比例函数．

②图像

表1-2  反比例函数的图像

③性质

a．图像是一条双曲线；

b．当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内，图像从左至右下降，y随x的增大而减小；

c．当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内，图像从左至右上升，y随x的增大而增大．

d．|k|值越大，图像的位置相对于坐标原点越来越远，反之亦然．

④待定系数法求函数解析式

a．设函数表达式为；

b．将已知点的坐标代入函数表达式，解方程；

c．求出的值，得到函数表达式．

5．二次函数

（1）概念

把形如的函数，称为二次函数．

（2）图像及性质

利用配方法可将二次函数化为（其中），图像是一条抛物线．|a|越大，抛物线开口越小；|a|越小，抛物线开口越大．

表1-3  二次函数的图像及性质

（3）二次函数与之间的关系

抛物线可由抛物线平移得到．

①平移步骤

a．将抛物线解析式转化为顶点式，确定顶点坐标；

b．保持抛物线的形状不变，将顶点平移到处，平移方法如下：

②平移规律

欲将抛物线平移得到抛物线，h值正右移，负左移；k值正上移，负下移．概括成“左加右减，上加下减”．

（4）待定系数法求二次函数解析式

①已知抛物线上三个点的坐标，选用一般式；

②已知抛物线顶点（或对称轴、最值），选用顶点式；

③已知抛物线与x轴两个交点的横坐标，选用两根式；

④已知抛物线上纵坐标相同的两点，选用顶点式．

（5）二次函数的应用

①求二次函数的图像与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程．用判别式法讨论图像与x轴交点个数．

a．当时，图像与x轴交于两点A(x₁,0)，B(x₂,0)(),x₁,x₂是方程的两根，A、B两点间的距离；

b．当时，图像与x轴只有一个交点；

c．当时，图像与x轴没有交点．若，图像开口向上，在x轴上方，恒有y>0；若，图像开口向下，在x轴下方，恒有y<0．

②求二次函数的最值需要用配方法将函数转化为顶点式．

③用数形结合法，根据图像的位置判断中的符号，或由的符号判断函数的位置．

6．指数

（1）分数指数幂的概念

规定是正数的正分数指数幂，语言叙述为：正数的次幂()等于这个正数的m次幂的n次方根；为正数的负分数指数幂，语言叙述为：正数的次幂()等于这个正数的m次幂的n次方根分之一．

特别说明：分数指数幂在底数a小于0时无意义，如和．

（2）有理指数幂的运算性质

①；

②；

③；

④．

（3）指数函数的概念

一般地，将形如的函数称为指数函数．

（4）指数函数的图像及性质

表1-4  指数函数的图像及性质

7．对数

（1）对数的概念

一般地，如果，那么数b称为以a为底N的对数，记作，a称为对数的底数，N称为真数．

（2）对数的运算性质

①

②

③

（3）对数函数的概念

我们把函数称为对数函数,a称为对数函数的底数．函数的定义域是(0,+∞),值域是R．

特别地，我们称以10为底的对数函数为常用对数,称以无理数e为底的对数函数为自然对数．

（4）对数函数的图像和性质

表1-5  对数函数的图像和性质