2.2　配套考研真题解析

一、判断题

判断下列命题是否正确．[武汉大学2003研]

（1）单调序列{a_n}中有一个子序列收敛，则{a_n}收敛；

（2）序列{a_n}的子序列{a_2n}和{a_2n＋1}收敛，则{a_n}收敛；

（3）序列{a_n}收敛，则序列收敛，其逆命题也成立；

（4）收敛，则；

（5）函数序列满足对任意自然数p及有

则{u_n（x）}一致收敛．

解：（1）对．不妨设{a_n}单增，即又设则

（2-1）

可证．

用反证法．

若，那么．所以．这与式（2-1）矛盾，因此{a_n}单调递增有上界a，从而有极限，即证{a_n}收敛．

事实上还可证时，有

再由．对上述ε，存在N₂，当n_k＞N₂时,有

再令当n＞N时，有

所以．

（2）错．比如数列1，0，1，0，1，0……．{a_2n}和{a_2n＋1}都收敛，但{a_n}不收敛．

（3）错．逆命题并不成立，比如{∣（－1）ⁿ∣}收敛，但{（－1）ⁿ}不收敛．

（4）错．比如收敛，但

（5）错．比如{xⁿ}在[0，1]上满足条件，但{xⁿ}在[0，1]上不一致收敛．

二、证明题

1．设Rⁿ中数列{a_n}，{b_n}，满足a_n＋1＝b_n－qa_n，n＝1，2，…，0＜q＜1．证明

（1）若：{b_n}有界，则{a_n}有界；

（2）若{b_n}收敛，则{a_n}一定收敛．[清华大学2001研]

证：（1）由a_n＋1＝b_n－qa_n知，．由此式及{b_n}的有界性0＜q＜1，即可知{a_n}有界．

（2）由{b_n}收敛知，对任意的ε>0，存在N＞0，当m、n＞N时，有∣b_m－b_n∣＜ε．又由a_n＋1＝b_n－qa_n，可得，所以当m＞n时有

因此{a_n}收敛．

2．证明：不存在．[武汉大学研]

证：用反证法．

假设，则，有

即

于是

即，但是，矛盾．即

不存在．

　 三、计算题

1．计算下列极限

．[武汉大学2004研]

解：（1）

（2）

2．设，其中β≠0，∞，求α，β．[复旦大学研]

解：

当α＝3时，原式＝