第4章　函数的连续性[视频讲解]

4.1　本章要点详解

本章要点

■连续性的定义

■间断点的分类

■连续函数的性质

■一致连续性的定义

■一致连续性定理

重难点导学

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一、连续性概念

1．函数在一点的连续性

（1）定义

①设函数f在某U（x₀）上有定义，若

则称f在点x₀连续．

　 用方式叙述，即：若对任给的，存在，使得当，有

则称f在点x₀连续．

②设函数f在某内有定义，若

则称f在点x₀右（左）连续．

（2）定理

函数f在点x₀连续的充要条件是：f在点x₀既是右连续，又是左连续．

2．间断点及其分类

（1）定义

设函数f在某上有定义，若f在点x₀无定义，或f在点x₀有定义而不连续，则称点x₀为函数f的间断点或不连续点．

若x₀为函数f的间断点，则必出现下列情形之一

①f在点x₀无定义或极限不存在．

②f在点x₀有定义且极限存在，但．

（2）分类

①可去间断点

若，而f在点x₀无定义，或有定义但．则称x₀为f的可去间断点．

②跳跃间断点

若函数f在点x₀的左、右极限都存在，但，则称点x₀为函数f的跳跃间断点．

可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点，特点是函数在该点处的左、右极限都存在．

③第二类间断点

函数的所有其他形式的间断点，即使得函数至少有一侧极限不存在的那些点．

3．区间上的连续函数

若函数f在区间I上的每一点都连续，则称f为I上的连续函数．对于闭区间或半开半闭区间的端点，函数在这些点上连续是指左连续或右连续．

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二、连续函数的性质

1．连续函数的局部性质

（1）局部有界性

若函数f在点x₀连续，则f在某上有界．

（2）局部保号性

若函数f在点x₀连续，且f（x₀）＞0（或＜0），则对任何正数r＜f（x₀）（或r＜－f（x₀）），存在某使得对一切有

f（x）＞r（或f（x）＜－r）

（3）四则运算

若函数f和g在点x₀连续，则f±g，，（g（x₀）≠0）也都在点x₀连续．

（4）复合函数的连续性

若函数f在点x₀连续，g在点u₀连续，u₀＝f（x₀），则复合函数gοf在点x₀连续．

2．闭区间上连续函数的基本性质

（1）定义

设f为定义在数集D上的函数，若存在x₀∈D，使得对一切x∈D有则称f在D上有最大（最小）值，并称f（x₀）为f在D上的最大（最小）值．

（2）最大、最小值定理

若函数f在闭区间[a，b]连续，则f在[a，b]上有最大值与最小值．

（3）有界性定理

若函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，则f（x）在闭区间[a，b]上有界．

（4）介值性定理

设函数f在闭区间[a，b]上连续，且f（a）≠f（b）．若μ为介于f（a）与f（b）之间的任何实数（f（a）＜μ＜f（b）或f（a）＞μ＞f（b））则至少存在一点x₀∈（a，b），使得

f（x₀）＝μ

（5）根的存在定理

若函数f在闭区间[a，b]上连续，且f（a）与f（b）异号（即f（a）与f（b），则至少存在一点，使得

即方程f（x）＝0在（a，b）上至少有一个根．

3．反函数的连续性

若函数f在[a，b]上严格单调并连续，则反函数在其定义域或上连续．

4．一致连续性

（1）定义

设f为定义在区间I上的函数．若对任给的ε＞0，存在，使得对任何，只要，就有

则称函数f在区间I上一致连续．

（2）一致连续性定理

若函数f在闭区间[a，b]上连续，则f在[a，b]上一致连续．

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三、初等函数的连续性

1．指数函数的连续性

（1）设a＞0，α，β为任意两个实数，则有

（2）指数函数a^x（a＞0）在R上是连续的．

2．初等函数的连续性

（1）一切基本初等函数都是其定义域上的连续函数．

（2）任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数．