第3章　函数极限[视频讲解]

3.1　本章要点详解

本章要点

■函数极限的概念

■函数极限的性质

■函数极限的四则运算

■函数极限存在的条件

■两个重要的极限

■无穷小量阶的比较

■渐近线

重难点导学

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一、函数极限概念

1.x趋于∞时函数的极限

设f为定义在[a，＋∞）上的函数，A为定数．若对任给的ε＞0，存在正数M（≥a），使得当x＞M时有|f（x）－A|＜ε，则称函数f当x趋于＋∞时以A为极限，记作

2.x趋于x₀时函数的极限

设函数f在点x₀的某个空心邻域U°（x₀；δ'）内有定义，A为定数．若对任给的ε＞0，存在正数δ（＜δ'），使得当0＜|x－x₀|＜δ时有|f（x）－A|＜ε，则称函数f当x趋于x₀时以A为极限，记作

3．单侧极限

设函数f在（或上有定义，A为定数．若对任给的ε＞0，存在正数δ（＜δ′），使得当（或时有

则称数A为函数f当x趋于x₀^＋（或x₀^－）时的右（左）极限，记作

或

右极限与左极限统称为单侧极限．f在点x₀的右极限与左极限又分别记为

与

4．定理

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二、函数极限的性质

1．唯一性

若极限存在，则此极限是唯一的．

2．局部有界性

若存在，则f在x₀的某空心邻域内有界．

3．局部保号性

若（或＜0），则对任何正数r＜A（或r＜－A），存在，使得对一切

有

4．保不等式性

设与都存在，且在某邻域内有，则

5．迫敛性

设，且在某内有

则

6．四则运算法则

若极限与都存在，则函数，，当时极限也存在，且

（1）

（2）

（3）若，则f／g当x→x₀时极限存在，且有

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三、函数极限存在的条件

1．归结原则

设f在上有定义存在的充要条件是：对任何含于且以x₀为极限的数列，极限都存在且相等．

2．设函数f在点x₀的某空心右邻域有定义，的充要条件是：对任何以x₀为极限的递减数列有

3．设f为定义在上的单调有界函数，则右极限存在．

4．柯西准则

设函数f在上有定义．存在的充要条件是：任给ε＞0，存在正数

，使得对任何有．

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四、两个重要的极限

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五、无穷小量与无穷大量

1．无穷小量

（1）定义

设f在某U⁰（x₀）上有定义，若，则称f为当x→x₀时的无穷小量．若函数g在某U⁰（x₀）上有界，则称g为当x→x₀时的有界量．

（2）性质

①两个（相同类型的）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量．

②无穷小量与有界量的乘积为无穷小量．

2．无穷小量阶的比较

设当x→x₀时，f与g均为无穷小量．

（1）若，则称当x→x₀时f为g的高阶无穷小量，或称g为f的低阶无穷小量，记作．

特别，f为当x→x₀时的无穷小量记作．

（2）若存在正数K和L，使得在某U⁰（x₀）上有

则称f与g为当x→x₀时的同阶无穷小量，特别当时，f与g必为同阶无穷小量．

（3）若，则称f与g是当x→x₀时的等价无穷小量，记作

（4）常用等价无穷小

①；

②；

③．

（5）定理

设函数f，g，h在U⁰（x₀）上有定义，且有

①若，则．

②若，则．

3．无穷大量

（1）定义

①设函数f在某U⁰（x₀）上有定义，若对任给的G＞0，存在δ＞0，使得当时有

（3-1）

则称函数f当x→x₀时有非正常极限∞，记作．

若式（3-1）换成或，则分别称f当x→x₀时有非正常极限＋∞或－∞，记作

．

②对于自变量x的某种趋向（或n→∞时），所有以∞，＋∞或－∞为非正常极限的函数（包括数列），都称为无穷大量．

（2）定理

①设f在上有定义且不等于0，若f为x→x₀时的无穷小量，则为x→x₀时的无穷大量．

②若g为x→x₀时的无穷大量，则为x→x₀时的无穷小量．

4．渐近线

若曲线C上的动点P沿着曲线无限地远离原点时，点P与某定直线L的距离趋于0，则称直线L为曲线C的渐近线（如图3-1所示）．

图3-1