2.2　核心讲义

一、常见几何图形及其基本问题

（一）中小学课程中常见几何图形

1．认识几何图形的三个基本角度

（1）维度

①维度的概念

又称维数，是数学中独立参数的数目。在物理学和哲学的领域内，指独立的时空坐标的数目。

②维度的分类

A．0维图形：点；

B．1维图形：线，包括直线、射线、线段、曲线和一些几何图形的边界等；

C．2维图形：面或面的一部分；

D．3维图形：体。

（2）直、曲

①直线型：在中学阶段所涉及的三角形、四边形、棱柱、棱锥、棱台等；

②曲线型：圆柱、圆锥、球等都是曲线形几何图形。

（3）基本图形、复杂图形

①基本图形：三角形、四边形、圆等一些基本平面图形的性质；

柱、锥等一些基本几何体以及能画出它们的三视图。

②复杂图形：学生能画一些复合几何体（组合体）的三视图；

在此基础上会计算复杂几何体的表面积和体积等。

2．三类重要图形

（1）长方形

（2）长方体

长方体在教学中的应用：

①在概念学习时，用长方体帮助学生认识空间点、线、面的概念，学习线线平行、线线相交、异面直线、面面平行、面面相交、线线垂直、线面垂直等概念；

②学习公理时，通过长方体帮助学生直观感知、操作确认；

③学习性质定理和判定定理时，先通过长方体帮助学生对理解定理有一个比较直观、自然的思路，然后再用数学语言完成对性质定理的证明；

④注重让学生先找出长方体模型，将问题中的图形嵌套在长方体中。

（3）圆、球

圆和球也是非常重要的几何图形，它们不但具有十分好的对称性，而且还是极坐标系和球坐标系建立的基础。

（二）基本的几何问题—位置关系与度量关系

1．位置关系

（1）最基本的位置关系

平行和垂直是几何中最基本的位置关系。

（2）平面和垂直的重要性

A．直角坐标系都是基于这两种位置关系而建立的；

B．在物理中，矢量的合成与分解，最常见的也是正交（垂直）分解。

2．度量关系

（1）度量关系的地位

度量关系是中学阶段最基本的研究对象，也是高中阶段最关注的基本问题。

（2）度量关系的延伸

度量都可以用积分进行解决，特别是对于曲线型的几何图形的周长、面积、体积等。

（三）基本的几何方法简介

1．综合几何

利用几何的方法研究图形的性质，即用已知的基本图形的性质去研究组合图形的性质。这种方法的基本特点就是把复杂的图形转化为简单的图形，把空间的图形转化为平面图形。

2．向量几何

（1）向量几何的概念

向量几何的方法就是用向量及其运算来研究几何图形的位置关系和度量问题，用向量及其运算可以表示几何图形。用向量的运算可以研究几何图形的位置关系和度量。

（2）向量几何的优势

用向量法研究几何图形有时比解析几何方法中的坐标法更具有优越性。向量是自由向量，不需要选择原点，这就使得向量方法更加灵活、方便。

3．解析几何

（1）解析几何的概念

解析几何的方法是利用代数的方法研究几何图形的性质，用解析几何方法研究图形。

①建立坐标系，建立起“点”与“数对”之间的一一对应关系，

②建立几何图形与方程之间的联系，再通过用代数的方法研究方程来实现研究几何图形性质的目的。

（2）应用时的注意事项

同一个几何图形，坐标原点的选择不同，在不同坐标系下方程的代数表现形式是不同的，用解析几何方法研究图形时，需要通过代数的方法把表示几何图形的方程化成标准形式。

4．变换几何

变换几何的方法为人们研究几何图形的性质提供了一个全新的视角，它不再是单纯地认识几何图形，而是在运动、变化中认识几何图形，更能发现几何图形最核心、最本质的性质。

二、向量几何

（一）基本几何图形与向量的描述

向量可以帮助人们刻画空间的基本几何图形，空间中的点、直线、平面、超平面都可以建立向量方程进行描述，所有的曲线和曲面也都可以用向量方程表示。

（二）用向量方法研究位置关系与度量关系

1．利用向量刻画度量：

（1）长度：在向量中，长度主要是指向量的模：|a|．

（2）角度：两个向量的夹角的余弦即为它们同向单位向量的点积．即：若向量a，b的夹角为θ，则

COSθ=。

（3）面积：以夹角为0的两个向量a，b为邻边的平行四边形的面积S=|a×b|=|a||b|sinθ。（叉积）

（4）体积：在向量中，体积表现为三个向量的混合积，即以a，b，c为邻边的平行六面体的体积为V=（a×b）c。

2．在度量关系中，主要研究距离（长度）和角度，下面以求距离为例，分析垂直与平行的作用。关于距离问题的解决步骤也可以由图表示：

（三）向量作用的综述

向量是近现代数学史（物理史）上最伟大的创举，真正理解向量，必须基于以下几点：

1．向量是代数的，向量是几何的，向量是物理的，向量是一座桥。

2．向量是最基本的结构（请参看第二章第三节向量）

三、解析几何

（一）高中解析几何的定位

1．圆锥曲线的几何描述和标准方程

（1）椭圆

①平面内与两个定点，的距离2c之和等于常数2a（大于||）的点的轨迹叫作椭圆。

②这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。

③取过焦点，的直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，可以得到焦点在x轴上的椭圆的标准方程为。

（2）双曲线

①平面内到两定点，的距离的差的绝对值为常数（小于||）的动点的轨迹叫双曲线，即

| |M|-|M| |=2a；

②这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。

③取过焦点，的直线为x轴，线段的垂直平分线为Y轴立直角坐标系，可以得到焦点在x轴上的双曲线的标准方程为。

（3）抛物线

①平面内，到定点F的距离与到定直线l（）的距离相等的点的轨迹叫做抛物

②定点F叫做抛物线的焦点，定直线f叫做抛物线的准线。

③过点F作FK⊥l，垂足为K，以线段FK的中点为坐标原点，以的方向为x轴正向，建立直角坐标系，

可以得到开口向右的抛物线的标准形式：=2px。

2．圆锥曲线的代数标准式

（1）各类圆锥曲线有不同的表达形式，主要是坐标轴的选择所致；

（2）在高中阶段，椭圆和双曲线只研究焦点在轴上、中心在坐标原点的情况（两种形式）；（3）抛物线只研究顶点在原点，焦点在坐标轴上的情况（开口向右、左、上和下四种形式）。

3．圆锥曲线的几何性质

圆锥曲线的统一定义：

如平面内一个动点到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比是个常数e，则动点的轨迹就是圆锥曲线。

（1）若0<e<1，则动点的轨迹是椭圆；

（2）若e=1，则动点的轨迹是抛物线；

（3）若e>1，则动点的轨迹是双曲线。

（二）解析几何简介

1．解析几何是用代数方法来研究圆锥曲线和圆锥曲面的一门学科

（1）解析几何包括平面解析几何和空间解析几何两部分。它的主要研究对象是直线和平面，二次曲线和二次曲面。

（2）高中阶段主要研究二元二次方程所代表的曲线，比如圆、椭圆、双曲线、抛物线等。

（3）在大学阶段，研究的“解析几何”是以圆锥曲线和圆锥曲面为对象的一门学科，研究三元二次方程代表的曲线和曲面。

2．圆锥曲线是生活中最基本的图形

圆锥曲线（面）可以帮助人们刻画最基本的运动。

（1）光学性质和圆锥曲线的关系

①光学性质和圆锥曲线是密不可分的，基本的光学性质都是由圆锥曲线体现出来的；

②几乎所有的光学仪器的原理都是依照圆锥曲线（面）的性质制成的；

（2）圆锥曲线和解析几何的关系

研究圆锥曲线（面）的性质是体现解析几何本质的最好载体。

3．非标准的圆锥曲线和圆锥曲面

（1）椭圆

长轴长（2a），短轴长（2b），焦距（2c）和离心率（e）中的任意两个量确定，椭圆的性质也就确定下来了。

（2）双曲线

实轴长（2a），虚轴长（2b），焦距（2c），离心率（e）和渐近线的斜率中的任意两个量确定，双曲线的性质也就确定下来了。

（3）抛物线

焦点到准线的距离决定抛物线的性质。

（三）解析方法的拓展

1．用解析几何的思想方法来研究几何问题，思维过程可以表现为以下步骤：

（1）用代数的语言来描述几何图形，比如“点”可以用“数对”。表示，“曲线”可以用“方程”表示等；

（2）把几何问题转化为代数问题，比如“两直线平行”可以转化为“两直线方程组成的方程组无解”等；

（3）实施代数运算，求解代数问题；

（4）将代数解转化为几何结论。

2．建立坐标系是解析几何的主要组成部分，建立了坐标系，就能把曲线和曲面的性质用代数来表示，从而把几何问题转化为代数问题来解决。

四、变换几何

（一）中小学数学课程中的基本变换

1．轴对称变换

（1）翻折变换的含义

①翻折变换是平面到自身的变换，若存在一条直线l，使对于平面上的每一点P及其对应点P'，其连线pp'都被定直线l垂直平分，则称这种变换为翻折变换，定直线z称为对称轴。

②翻折变换有如下性质：

A．把图形变为与之全等的图形；

B．关于2对称的两点连线被l垂直平分。

（2）翻折变换的优势

在解决具体问题时，翻折变换可保留原有图形的性质，且使原来分散条件相对集中，以利于问题的解决。

2．旋转变换和中心对称

（1）旋转变换的含义

旋转变换是平面到它自身的变换，使原点O变换到它自身，其他任何点X变到x'，使得①ox'=ox；②∠XOX'=θ（定角），则称这样的变换为旋转变换，θ称为旋转中心，旋转变换保持图形全等，但图形方位可能有变化。

（2）旋转变换的优势

在几何解题中，旋转的作用是使原有图形的性质得以保持，但改变其位置，使能组合成新的有利论证的图形。

3．平移变换

（1）平移变换的含义

平移变换是平面到自身的变换，将乎面上任一点P变换到P'，使得：

①射线PP'有给定的方向；

②线段PP’有给定的长度，则称这种变换为平移变换，在平移变换下，图形变为与之全等的图形，直线变为与之平行的直线。

（2）平移变换的优势

在解决具体问题时，常利用平移变换使分散的条件集中在一起，具有更紧凑的位置关系或变换成更简单的基本图形。

4．相似变换

（1）由一个图形到另一个图形，在改变的过程中保持形状不变（大小方向和位置可变），这样的图形改变叫做图形的相似变换。

（2）图形的相似变换不改变图形中每一个角的大小，变换后对应线段都扩大（或缩小）相同的倍数，这个数叫相似比。经相似变换的像与原图的面积等于相似比的平方。

（3）任何相似变换可以分解为放缩，平移，旋转和翻转变换的复合，相似变换是仿射变换的一种特殊情况，也就是在仿射变换中去除错位变换这个因子后的结果。

5．投影变换

（1）投影变换的含义

投影变换就是将直线或平面从一般位置变换为和投影面平行或垂直的位置，以简便地解决它们的定位和度量问题。

（2）投影变换的四个基本问题

①把一般位置直线变为投影面平行线；

②把一般位置直线变为投影面垂直线；

③把一般位置平面变为投影面垂直面；

④把一般位置平面变为投影面平行面。

（二）用变换认识几何图形

1．用变换认识几何图形

①正方形

对称中心（旋转90°即重合）、4条对称轴。

②长方形

对称中心（旋转180°即重合）、2条对称轴（边的中垂线）。

③菱形

对称中心（旋转180°即重合）、2条对称轴（对角线）。

④平行四边形

对称中心（旋转180°即重合）。

⑤等腰梯形

一条对称轴（边的中垂线）可以看到，从正方形到一般的四边形，对称性越来越差。

2．用变换认识几何图形的性质

依据平行四边形的定义，可以得出一系列性质（与定义等价）

①对边平行且相等；

②两组对边分别相等；

③对角线互相平分；

④对角线的交点是对称中心等。

五、几何直观的意义

（一）几何直观的基本作用

1．高中数学课程中，几何的作用主要在于培养学生的几何直观能力和推理论证能力。

2．在高中数学课程中，几何是“图”“文”并茂的内容，它把数学所特有的逻辑思维和形象思维有机地结合起来。

（二）几何图形在数学课程中的特殊地位

在高中数学课程中，函数、向量、解析几何是最重要的内容，占据高中数学内容的大部分空间，这些内容的基本特点，既是代数的又是几何的，下面以解析几何做进一步的说明：

1．解析几何的研究对象就是图形

在初中已经学习了直角坐标系，在直角坐标系中，研究了一些基本的函数图像，同时，从综合几何的角度学习了直线和圆的一些基本性质，在解析几何初步中，主要研究的对象仍然是直线和圆，用解析几何的方法研究直线和圆的性质。

2．解析几何最终是解决几何问题

解析几何研究问题的基本思路：

（1）建立直角坐标系；

（2）将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；

（3）并用代数方法处理这些代数问题；

（4）分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。