第4章 资金的时间价值[视频讲解]
本章重点：
·时间价值与现金流量
·时间价值的计算
·年金及其复利终值与现值的计算
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4.1 时间价值与现金流量
4.1.1 时间价值
资金的时间价值就是指今天的1元钱的价值大于未来某一时点上1元钱的价值。
资金时间价值成因：资金在运用过程中可以不断地增值。
注意：在资金价值增加的部分中，投资收益减去风险报酬和通货膨胀贴水后的那一部分收益才是资金的时间价值。
资金时间价值用相对值的形式表示，即为资金的收益率；用绝对值的形式表示，则为资金价值的绝对增加额，即资金的初始投入额与其时间价值率的乘积。
4.1.2 现金流量
现金流量是把资金流动作为时间的函数用图形和数字表示出来。如图4-1所示：
图4-1 现金流量图
现金流量的作用：
（1）有助于经济分析。
（2）表示了一个系统中的资金流入、流出状况，但并不包含资金在该系统内部的流动。
（3）可以通过现金流量图来分析投资活动的收入和利润。
（4）对现金流量的研究可以评价不同投资方案的优劣，对投资方案进行比较和决策。
4.2 时间价值的计算
4.2.1 单利和复利
1．单利是指在规定期限内只就本金计算利息，每期的利息收入在下一期不作为本金，不产生新的利息收入。例如，本金为100元、年利息率为10%的三年期单利定期存款，三年后的利息收入为30元，每年只产生价值本金10%的利息收入。
2．复利，又称利滚利，是指每期的利息收入在下一期进行投资，产生新的利息收入。下一期的利息收入由前一期的本利和共同生成。如一张面值1000元、年利息率为10%、期限3年的复利债券，第一年年底的价值为1000×1.10=1100元，第二年年底的价值为1000×1.102=1210元，第三年年底的价值为1000×1.103=1331元。在讨论资金的时间价值时，一般都采用复利的概念。
4.2.2 终值的计算
终值又称将来值，是指现在的一笔资金在未来一段时间后所具有的价值。计算分为以下几种情况：
1．单笔现金流单期终值计算
如：100元以每年10%的收益率进行投资，1年后的价值为100×（1+10%）=110（元）。
2．单笔现金流多期终值计算
按复利计算终值的公式为：FVn=PV（1+r）n
例4-1：某人购入面值1000元复利债券一张，利息率为6%，期限为5年，其5年后的终值为：FVn=1000×（1+6%）5=1000×1.3382=1338.2（元）。（1+r）n称为复利终值系数，记做PVIFr,n。
为方便计算，人们编制了复利终值系数表（教材附录2.1）
表4-1 复利终值系数表
3．多笔现金流多期终值计算
假设某人计划现在在银行存入100元人民币，一年后再存入200元，若存款年利率为2%，那么两年后他将得到多少收入呢？
第一年年底，他将得到100×（1+2%）=102（元），加上再次存入的200元，共计302元。
第二年年底，他将得到302×（1+2%）=308.04（元）。如图4-2所示：
图4-2
上图用公式表示为：FV2=100×1.0404+200×1.02=308.04（元）。
显然，多笔现金流量的终值就是各单笔现金流量终值之和。
一般说来，次数为n，各次现金流量为CFt，利息率为r的多笔现金流量的终值计算如图4-3所示：
图4-3
计算公式为：
例4-2：设利息率为10%，计算图4-4现金流量的终值。
图4-4
解：根据公式，
FV4=100×1.103+200×1.102+300×1.101+400×1.100=1105.10（元）
4.2.3 现值的计算
现值是指未来的现金收入或支出现在的价值。
1．单笔现金流单期现值计算
如1年后收到102元钱，按照2%的收益率计算，其现在的价值是：PV=102/1.02=100（元）。
2．单笔现金流多期现值计算
如果未来的现金流量是多期发生，其复利现值的计算公式可由多期复利的终值计算公式导出：
因为FVn=PV（1+r）n
所以PV=FVn/
=FVn
。
式中
叫做复利的现值系数或贴现系数，可以简计为PVIFr,n，r为贴现率。这一由终值求现值的过程称为贴现。
例4-3：某人计划5年后得到3000元钱，已知年利息率为4%，按复利计息，问该人现在应存入多少钱？
解：由现值公式：PV=FVn/
与复利终值系数相同，复利现值系数也有表可查（教材附录2.2）。
表4-2 复利现值系数表
3．多笔现金流多期现值计算。如图4-5所示。
图4-5
计算公式为：PV=
，式中：PV表示现值；CFt表示t期现金流量；r表示贴现率；n表示计息期数。
例4-4：设贴现率r=10%，计算图4-6所示的现金流量的现值。
图4-6
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4.3 年金及其复利终值与现值的计算
年金是指一定时期内多次发生的每期金额相等的现金流量。直线折旧、利息、租金等通常表现为年金的形式。由于年金只是多期多次现金流量的一种特殊形式，其终值与现值的计算也只是多期多次现金流量终值与现值计算的一个特例。
年金的分类：
先付年金是指在每一期间开始时发生的等额现金流量，后付年金是指在每一期间终了时发生的等额现金流量。下面分别讨论这两种年金的终值与现值的计算。
4.3.1 年金终值的计算
1．后付年金终值的计算。后付年金如图4-7所示：
图4-7
由图4-7可知，后付年金的终值为：
（4-6）
（4-6）式中
称为年金终值系数，可以简记做
，所以，写做：FVn=A（FVIFAr,n）
为了计算的方便，人们将上述年金终值系数制成表格（教材附录2.3）。
表4-3 年金终值系数表
例4-5：某人三年内每年年底存入银行1000元，存款利率为4%，按复利计息，计算第三年年底时的年金终值。
解：这是一个后付年金终值计算的问题，可直接运用公式：
2．先付年金终值的计算。先付年金的情形如图4-8所示：
图4-8
其终值计算公式为： 
注意：先付年金与后付年金的付息期数相同，但时间不同。先付年金比后付年金提早一期发生，故计息期数也相应增加一期，终值计算公式要进行必要的调整。这种调整有两种方法：一种是考虑先付年金比后付年金多付一期利息，因此只需计算出n期后付年金的终值后再乘上（1+r）即可：
（4-7）
另一种是考虑n期先付年金与（n+1）期后付年金的计息期数相同，但比（n+1）期后付年金少付一次年金，所以，只要从（n+1）期后付年金的终值中减去一笔年金，即可得到n期先付年金的终值。
（4-8）
例4-6：设某人每年年初存入银行1000元，存款利率为4%，按复利计息，计算第三年年底时的年金终值。
解：这是一个先付年金终值计算的问题，利用第一种方法，有：
利用第二种方法，有：
4.3.2 年金现值的计算
1．后付年金现值的计算。后付年金现值如图4-9所示：
图4-9
由图4-9可知，后付年金的现值应按如下公式计算：
（4-9）
（4-9）式中的
称为年金现值系数，可以简记做
，所以，（4-9）式可以写做：
例4-7：从现在起，某人三年内每年年末将得到1000元的现金收益，若贴现率为4%，其现值为：
年金现值系数亦有现成的表格供查阅（附录2.4），表4-4是其说明性简表。
表4-4 年金现值系数表
2．先付年金现值的计算。先付年金的现金流量如图4-10所示：
图4-10
（4-10）
例4-7中如改为先付年金，则现值为：
4.3.3 永续年金
如果每期金额相等的现金流量永久地持续下去，就称为永续年金。如有些国家发行的债券、优先股的现金股利等。
永续年金的现金流量的个数是无限的，永续年金的价值就是这无限个现金流量的现值的和：
，数学知识告诉我们，这个无穷级数的和是A／r。
所以：永续年金的现值=
（4-11）。
比如，一项每年提供100元现金流量的永续年金投资，在贴现率为5%时的价值为：
4.3.4 已知终值或现值计算年金
在实际的投资活动中，我们不但需要根据年金计算其终值或现值，还常常需要根据已知的终值或现值计算年金。
例4-8：某人5年后需要发生一笔10万元的支出，他准备从现在起每年向银行存入一笔等额的资金，已知存款年利率为5%，假设可按复利计息，问此人需要每年存入多少钱？
解：这是一个已知终值和利率求年金的问题，现金流量如图4-11所示：
图4-11
A=100000／5.802=17235（元），
即此人每年等额地存入17235元，5年后可以得到10万元。
我们也可以利用（4-8）式计算：
结果与利用（4-7）式计算的结果相同。
例4-9：某人以分期付款的方式买下一套价值20万元的房子，利息率为6%，付款期限为15年，不需要首付，每年付款金额相等，问此人每年需要付多少钱？
图4-12
解：可以看出，这是一个后付年金的现值问题，代入公式有：
，因此每年需付款20593元。
4.4 投资与市场
4.4.1 只有资金市场时的投资与消费
如果不存在任何投资（储蓄）的可能，则这人只能将其各期现金收入在当期消费完，无法调整自己在不同期间的消费模式。
但是，如果存在资金借入借出的可能，则他可以通过在资金市场上借入借出资金来调整自己的消费模式。
图4-15
4.4.2 资金市场、实物资产投资市场同时存在时的投资与消费
如果存在资金市场的同时，还存在着进行实物资产投资的市场，则投资者可以利用这两个市场为自己谋取利益。见图4-16。
图4-16
4.4.3 Fisher分离原理
（1）实物资产投资的净现值产生于高于投资资金成本（贴现率）的投资机会的利用，也就是说，资本价值韵增加源于实物资产投资所产生的超额回报。离开了实物资产市场的投资，资本（资金）的价值是不会增加的。
（2）对所有投资者来说，不论其消费偏好如何，他们都有共同的投资决策标准和要求，因此可以有共同的投资代理人。这一代理人不需要了解各投资者的消费偏好，其任务就是使其所代理的实物资产投资取得最大的净现值，这一决策符合所有投资委托人的利益。至于委托个人消费资金的安排，是由消费者自己根据其财富的多寡和消费偏好，通过在资金市场上借入借出资金来决定的。这表明，一个人的投资决策与消费决策是可以分开进行的，这就是所谓的Fisher分离原理。