第3章　函数的极限与连续性

1．设a，b，A均不为零的有限数，证明： 的充分必要条件是．[华中师范大学研]

证明：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　  ①

当

先证必要性：

再证充分性：

由①式有

2．设f（x）在上有定义且在每一点处函数的极限存在．求证：f（x）在上有界．[哈尔滨工业大学研]

证明：由于极限存在，设取ε＝1，则存在>0，使当时有．

令

　　　　　　　　　　　 ①

即存在使①式成立．于是是上的一个开覆盖，由有限覆盖定理存在有限个，不失一般设为也构成的一个开覆盖，且

　　　　　　　　　　②

再令，则

3．设函数f（x）定义在上，f（x）在每一个有限区间（a，b）内有界，并满足．证明：．[江苏大学研]

证明：由于，所以对任意的ε＞0，存在，使得当时，有

于是有

将这些式子相加有

由于f（x）在上有界，即存在C＞0，使得当时，有，从而，于是

又因为，所以存在，使得当时，有

于是取，则当x＞M时，有

即．

4．设函数f（x）在点x₀的邻域，（点x₀可能例外）有定义，且对任意的点列

都成立，试证明：．[中科院武汉物理与数学研究所研]

证明：反证法．设x₀到I的边界的距离为d，若，则存在，对任意的存在

使得

取，则存在，满足．再取．则存在

满足．

依此类推，取，则存在，满足．

这样就得到点列，且，但

这与题设条件矛盾，命题得证．

5．求．[华南师范大学研]

解：由等价无穷小量知

由微分中值定理知

其中位于或之间．所以

6．证明：在[a，＋∞]（其中a＞0）上一致连续，在（0，1）上不一致连续．[中国科学院研]

证明：（1）对，取，当时，

．

由一致连续的定义知，在[a，＋∞]（a＞0）中一致连续．

在（0，1）内取，取，对任意δ＞0，只要n充分大总有

所以f（x）在（0，1）上不一致连续．

7．设f（x）和g（x）为连续函数，试证明也为连续函数，其中max表示取最大值。[北京工业大学研]

证明：由于，所以只要证明为连续函数即可。因为f（x）和g（x）为连续函数，所以对任意的，任意的ε>0，存在δ>0，使得当时，有

从而当时，由三角不等式得

所以在处连续，再由的任意性知，为连续函数。于是也为连续函数。

8．设f（x）是在区间[a，＋∞）上的有界连续函数，并且对任意实数c，方程f（x）＝c至多只有有限个解，证明：存在。[华东师范大学研]

证明：由于f（x）在区间[a＋，∞）上有界，所以数列{f（n）}有界，由致密性定理知存在子列收敛，记。下证，反证法。假设，则存在及单调递增数列，使得

。由于是有界的，所以由致密性定理知存在子列收敛，并记。从而，不妨设B>A。由极限的保号性知，存在K>0，使得

于是由连续函数的介值性知有无限多个解，矛盾。

9．设f（x）在有限区间（a，b）上有定义，试证明f(x)在（a，b）上一致连续的充要条件是，若是（a，b）中的收敛列，则也是收敛列。[中山大学研]

证明：必要性  因为f（x）在（a，b）上一致连续，所以对任意的ε>0，存在δ>0，使得

又因为是（a，b）中的收敛列，所以由Cauchy收敛准则知存在N>0，使得，故有

从而由Cauchy收敛准则知是收敛列。

充分性  可用反证法。若f（x）在（a，b）上不一致连续，则存在，对任意的，有

，虽然，但。注意到（a，b）是有限区间，因此中存在收敛的子序列。因为（当n→∞时），故中相应的子序列也收敛于相同的极限。从而穿插之后，序列

也收敛，为Cauchy列。但其象序列

恒有，不是Cauchy列，与已知条件矛盾。