2.3　名校考研真题详解

一、选择题

一维自由电子被限制在x和x+Δx处两个不可穿透壁之间，Δx=0.5埃，如果E₀是电子最低能态的能量，则电子的较高一级能态的能量是多少？（　　）[中南大学2009研]

A．2E₀

B．3E₀

C．4E₀

D．8E₀

【答案】C

【解析】一维无限深方势阱中能级公式为，则可知，较高级能量与基态能量比值为

，由题意，基态能量为，则第一激发态能量为

二、填空题

1．自由粒子被限制在x和x＋1处两个不可穿透壁之间，按照经典物理．如果没有给出其他资料，则粒子在x和x＋1／3之间的概率是______。[中南大学2010研]

A．025

B．033

C．011

D．067

【答案】B

【解析】按照经典力学，粒子处于空间的概率密度为常数，故概率与体积成正比，即所求概率为

2．上题中，按照量子力学．处于最低能态的粒子在x和x+l/3之间被找到的概率是______。[中南大学2010研]

A．019

B．072

C．033

D．050

【答案】A

【解析】取x为原点，则有波函数为

所求概率即

三、计算题

1．在一维情况下，若用P_ab（t）表示时刻t在a＜x＜b区间内发现粒子的几率．

（a）从薛定谔方程出发，证明=J（a,t）-J（b,t），其中J（x,t）是几率流密度．

（b）对于定态，证明几率流密度与时间无关．[华南理工大2009研]

解：（a）设t时刻粒子的波函数，波函数满足薛定谔方程：

（1）

对（1）两端取复共轭得，

（2）

做运算得

上式两边同除以移项得，

则几率流密度公式为，

上式可表示为，两端积分得：

又由于t时刻在区间（a，b）内发现粒子的几率为：

代入上式可得，

（b）对于定态波函数，代入几率流密度方程

可得，

是一个与t无关的量，故定态的几率流密度与时间无关．

2．证明ψ（x）=A（2α²x²-1）

本题中波函数

所以是线性谐振子的本征波函数，对应量子数n=2，因此容易得到其，本征能量为

3．质量为m的粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动．

（a）建立适当的坐标系，写出哈密顿算符，求解定态薛定谔方程．

（b）当粒子处于状态ψ（x）=

图2-1

设，哈密顿算符

波函数满足薛定谔方程

当时，=0；

当时， 

令，则 的通解可表示为

利用边界条件得， 

由归一化可解得，定态薛定谔方程的解为

对应的定态能量为

（b）当粒子处于态时，能量的可能值及几率为：

几率1/4 ；  几率3/4

（c）任意时刻t的波函数可以表示为下面形式，

其中，在此题中，

故任意时刻t的波函数，

其中

4．粒子的一维运动满足薛定谔方程：

取式（1）之复共轭，得

即

=0

所以与时间无关．

（2）设

代入薛定谔方程，分离变量后，得

E为既不依赖t，也不依赖r的常数．这样，

所以

因此，通解可以表示为

其中，是满足不含时的薛定谔方程

5．考虑一维双δ势阱：V（x）=－V₀[δ（x+a）+δ（x－a）]，其中V₀＞0，a＞0．

（1）推导在x=a处波函数的连接条件．

（2）对于偶宇称的解，即ψ（－x）=ψ（x），求束缚态能量本征值满足的方程，并用图解法说明本征值的数目．[华南理工大学2011研]

解：（1）薛定谔方程可表示为

为方程的奇点，在x=a点处

对上述方程积分得出

（2）由题意知当x＞a时，因此解为

当-a＜x＜a时，因此解为

结合x=a处的边界条件和此处的波函数连续条件，可得

化去A，C后可得，此即能量本征值所需要满足的方程．

　 

图2-2

所以满足此方程的本征值只有一个．

6．验证球面波

（注：，其中代表仅与角度有关的微分算符）[北京航空航天大学 2008研]

解：

故 　 （1）

则

故   　 （2）

=E　  　 （3）

由（1）（2）（3）式可得，此即所需证明方程.

7．一粒子在一维无限深势阱

故，0＜x＜2a

由归一化条件有

故

对应能量为

8．设一维简谐振子的初始（t=0）波函数为其中φ_n（x）为简谐振子的三个（n=0，1，2）最低能量的定态波函数．试求

（1）系数A=?

（2）t时刻的波函数φ（x，t）；

（3）t时刻的能量平均值．[南京大学2009研]

解：（1）由波函数的正交归一化条件有

故.

（2）一维谐振子能量为

故

t时刻波函数为

.

（3）各自对应概率为

，，

均与时间无关，故t时刻粒子能量平均值为

.

9．设无外势场时，质量为μ能量为E＞0的粒子的状态用球面波描写．试

（1）导出决定S波（l=0）波函数的常微分方程；

（2）求出所有S波的球面波波函数；

（3）计算对应于S波解的速度流矢量并作出图示．[南京大学2009研]

解：（1）无外势场可看做有心势场的特殊情况。

则粒子在球坐标系中薛定谔方程为

在s波情况下，l=0,,

令，

则.

（2），故对应波函数为

其中A为归一化系数．

（3）概率概率流密度公式为

球坐标系中

明显与角度无关，故对应概率流密度的三个分量为

 

而,故，

同理.

10．设粒子从x=-∞入射，进入一维阶跃势场：当x＜0时，V（x）=0；而当x＞0时，V（x）=V₀（V₀＞0）．如果粒子能量E＞V₀，试

（1）写出波动方程式并求解；

（2）求透射系数；

（3）求反射系数并求与透射系数之和．[南京大学2009研]

解：（1）粒子波动方程为

令

则方程的解为

，其中第一部分为入射波，第二部分为反射波

，此即透射波函数．

由波函数连续及波函数导数连续有

，即

解得

则波函数为，其中.

（2）由概率流密度公式可知

入射波函数概率流密度为

反射波函数概率流密度为

透射波函数概率流密度为

透射系数即.

（3）反射系数即

显然R+T=1.

11．一质量为m的粒子，可在宽为a无限深势阱当中自由运动．在t=0的初始时刻其波函数为

其中A为实常数．

（1）求A使ψ（x，0）满足归一化条件．

（2）如果进行能量测量，则能得到哪些能量值?相应取这些能量值的概率又是多少?再计算能量的平均值?

（3）求t时刻的波函数ψ（x，t）．[中南大学2010研]

解: （1）无限深方势阱中粒子的本征波函数为

初始时刻波函数可化为

由归一化条件有解得A=.

（2）无限深方势阱中粒子的本征能量为.故粒子可能测得能量即

测得能量的平均值为.

（3）t时刻波函数为

.