1.3　名校考研真题详解

一、选择题

1．光子和电子的波长都为5.0埃，光子的动量与电子的动量之比是多少?（　  ）[中南大学2009研]

A．1

B．3×10¹⁰

C．3.3×10^-11

D．8.7×10^-21

【答案】A

【解析】由德布罗意波长公式,波长相同则二者动量大小必定相同，选A。

2．考虑如图的电子干涉实验，电子从距屏为L的电子枪发射，屏上有两个特别窄的狭缝（缝宽为电子的德布罗意波长数量级），观察干涉图样的探测器置于屏的另一侧L处．如果电子枪向上移动（沿y方向）距离d，则干涉图样（ 　 ）。[中南大学2009研]

图1-1

A．向上移动距离d

B．向下移动距离d

C．向上移动距离d／2

D．向下移动距离d／2

【答案】B

【解析】分析未移动前位于屏幕正中间的点，令偏上的光线为a，偏下的光线为b，未移动前，a和b的光程相等，电子枪上移后，a在狭缝左边光程减小，b在狭缝右边光程增加，为保证a和b光程再次相等，应该使a在狭缝右边光程相对于b在狭缝右边光程增加，于是干涉图样只能下移．再考虑到狭缝与电子枪和屏幕距离相等，于是整个装置具有对称性，为保证a和b的光程相等，干涉图样只能向下移动距离d．

3．上题中，如果电子枪开始以较太的能量向屏发射电子，则（　　）。[中南大学2009研]

A．干涉图样中相邻最大值之间的距离减小

B．干涉图样向上移动

C．干涉图样变蓝

D．干涉图样消失

【答案】A

【解析】A项，由德布罗意波长公式以及可知，当能量E增加后，动量p增加，导致电子的德布罗意波长减小，而干涉条纹间距，因而增加电子能量将导致干涉条纹间距减小．B项，电子能量增加并不会对光程产生影响，故不影响干涉图像位置．C项，电子能量增加并不会改变屏的特征光谱，不会变蓝．D项，题中提到狭缝间距尺寸在德布罗意波长数量级，在电子能量变化不是很大时，电子波长应该仍与狭缝间距相当，干涉图样不会消失．

4．题2中，如果两缝之间距离加倍，则干涉图样中相邻最大值之间距离（　　）。[中南大学2009研]

A．加倍

B．为原来的四倍

C．为原来的二分之一

D．不变

【答案】C

【解析】设狭缝间距为d，则由双缝干涉条纹间距公式有条纹间距，则显然当d加倍时，必定导致条纹间距变为原来的二分之一。

5．题2中，如果每个缝宽度加倍．则干涉图样中相邻最大值之间距离（　　）。[中南大学2009研]

A．加倍

B．为原来的四倍

C．为原来的二分之一

D．不变

【答案】D

【解析】设狭缝间距为d，则由双缝干涉条纹间距公式有条纹间距，则显然条纹间距与缝的宽度无关，即条纹间距不变。

6．题2中，如果只有一个缝的宽度加倍（原来两缝宽度相同），则（　　）。[中南大学2009研]

A．干涉图样消失

B．干涉图样中相邻最大值之间距离改变

C．干涉图样向变宽狭缝移动

D．干涉图样的最大强度与最小强度之差减小

【答案】D

【解析】A项，缝宽度的变化并不会影响产生干涉图样的条件——电子波长与缝的间距相近，干涉条纹不会消失．B项，同样由条纹间距可知，条纹间距也不会有变化．C项，缝宽度变化也不会影响光程，干涉图样位置也不会因此发生变化．D项，只改变一个缝的宽度将导致从缝射出的两列光波振幅不同，因而最小强度无法变为0，最终导致干涉图样的最大强度与最小强度之差减小．

7．题2中，如果探测器置于某一狭缝的旁边，由此可确定某一电子是否通过该狭缝，则（　　）。[中南大学2009研]

A．干涉图样向装探测器的狭缝移动

B．干涉图样中相邻最大值之间距离改变

C．干涉图样消失

D．干涉图样变弱

【答案】C

【解析】由题意，通过该狭缝的电子位置将会由于测不准原理导致光子动量不确定，以至于电子波长和频率会受到极大干扰，从狭缝射出的光波将不再是相干光，而干涉图样产生的重要条件之一就是参与干涉的光必须是相干光，因而干涉图样消失．

二、填空题

1．普朗克的量子假说揭示了微观粒子______特性，爱因斯坦的光量子假说揭示了光的______性。[中南大学2010研]

【答案】粒子性；波粒二象性

【解析】普朗克为解释黑体辐射规律而提出量子假说，爱因斯坦后来将此应用到了光电效应上，并因此获得诺贝尔奖，二人为解释微观粒子的波粒二象性作出了重大贡献，这位量子力学的诞生奠定了基础．

2．对一个量子体系进行某一物理量的测量时，所得到的测量值肯定是______当中的某一个，测量结果一般来说是不确定的．除非体系处于______。[中南大学2010研]

【答案】本征值；定态

【解析】物理量的测量值应该对应其本征值，对于非定态，由于它是各个本征态的混合态，这就导致物理量的测量值可以是它的各个本征值，测得各个本征值满足一定概率分布，只有当体系处于定态，即位于该物理量对应的本征态，测得值才有可能为确定值．

 

三、简答题

1．什么是定态？若系统的波函数的形式为，问Ψ（x，t）是否处于定态？[湖南大学2009研]

答：体系能量有确定的不随时间变化的状态叫定态，定态的概率密度和概率流密度均不随时间变化．不是，体系能量有E和-E两个值，体系能量满足一定概率分布而并非确定值．

2．试表述量子态的叠加原理并说明叠加系数是否依赖于时空变量及其理由。[南京大学2009研]

答：量子态的叠加原理：若为粒子可能处于的态，那么这些态的任意线性组合仍然为粒子可能处于的态．

叠加系数不依赖于时空变量．因为量子态的叠加原理已经明确说明了是任意线性组合，即表明了叠加系数不依赖于任何变量。

四、计算题

设一维谐振子的初态为即基态与第一激发态叠加，其中θ为实参数。

（1）求t时刻的波函数ψ(x，t)。

（2）求t时刻处于基态及第一激发态的概率。

（3）求演化成-ψ(x，t)所需的最短时间t_min。[中科院2010研]

解：（1）一维谐振子定态能量和波函数：

任意时刻t的波函数可表示为 

已知t=0时刻的波函数是

由得，，

在n=0,1的本征态的相应能量分别为： ，

则任意时刻t的波函数可以表示为

 ．

（2）t时刻处于基态的几率为，处于第一激发态的几率．

（3）设时刻粒子的波函数是，即

　

可得，解得

所以当n=1时有最小时间，即．