第2章　矩阵及其运算

2.1　复习笔记

一、矩阵

1．矩阵的定义

由个数排成的行列的数表

称为行列矩阵，简称矩阵．

为表示它是一个整体，总是加一个括弧，并用大写黑体字母表示它，记作

Ａ＝（1）

这个数称为矩阵Ａ的元奏，简称为元，数位于矩阵Ａ的第行第列，称为矩阵Ａ的元，以数为元的矩阵可简记作()或，矩阵Ａ也记作Ａ_m×n．

2．矩阵的类型

（1）元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵，本书中的矩阵除特别说明者外，都指实矩阵．

（2）行数与列数都等于的矩阵称为阶矩阵或阶方阵．阶矩阵也记作.

（3）只有一行的矩阵称为行矩阵，又称行向量．为避免元素间的混淆，行矩阵也记作

.只有一列的矩阵

称为列矩阵，又称列向量．

（4）两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们是同型矩阵．如果与是同型矩阵，并且它们的对应元素相等，即

那么就称矩阵与矩阵相等，记作=．

（5）元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作．注意不同型的零矩阵是不同的．

（6）阶方阵=叫做阶单位矩阵，简称单位阵．这个方阵的特点是：从左上角到右下角的直线(叫做(主)对角线)上的元素都是1，其他元素都是O，即单位阵的元为

（7）阶方阵这个方阵的特点是：不在对角线上的元素都是0．这种方阵称为对角矩阵，简称对角阵．对角阵也记作

3．矩阵与线性变换

个变量与个变量之间的关系式

表示一个从变量到变量的线性变换，其中为常数．线性变换的系数构成矩阵

.

给定了线性变换，它的系数所构成的矩阵(称为系数矩阵)也就确定．反之，如果给出一个矩阵作为线性变换的系数矩阵，则线性变换也就确定．在这个意义上，线性变换和矩阵之间存在着一一对应的关系．

二、矩阵的运算

1．矩阵的加法

（1）定义

设有两个矩阵和，那么矩阵与的和记作+，规定为

+

应该注意，只有当两个矩阵是同型矩阵时，这两个矩阵才能进行加法运算．

（2）加法性质

①；

②；

③（－称为矩阵的负矩阵）；

④．

2．数与矩阵相乘

（1）定义

数与矩阵的乘积记作或,规定为

=

（2）基本性质

①；

②；

③.

矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算．

3．矩阵与矩阵相乘

（1）定义

设是一个矩阵，是一个矩阵，那么规定矩阵A与矩阵B的乘积是一个矩阵其中

并把此乘积记作

.

说明：一个行矩阵与一个列矩阵的乘积是一个1阶方阵，也就是一个数

由此表明：乘积矩阵的元就是的第行与的第列的乘积．

注意：①只有当第一个矩阵(左矩阵)的列数等于第二个矩阵(右矩阵)的行数时，两个矩阵才能相乘．

②矩阵的乘法不满足交换律，即在一般情形下，.

③对于两个阶方阵，，若=．则称方阵与是可交换的．

④若有两个矩阵，满足,不能得出或的结论，若而也不能得出的结论．

（2）性质

①；

②(其中为数)；

③

（3）单位矩阵的性质

①对于单位矩阵，有可见单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似于数1．

②矩阵

称为纯量阵．由可知纯量阵与矩阵的乘积等于数与的乘积．并且当为阶方阵时，有，表明纯量阵与任何同阶方阵都是可交换的．

③矩阵的幂

设是阶方阵，定义其中为正整数，这就是说，就是个连乘．显然只有方阵，它的幂才有意义．且矩阵的幂满足以下运算规律：

其中为正整数．又因矩阵乘法一般不满足交换律，则对于两个行阶矩阵与，一般说来

只有当与可交换时，才有.

类似可知，例如,等公式，也只有当与可交换时才成立．

4．矩阵的转置

（1）定义

把矩阵的行换成同序数的列得到一个新矩阵，叫做的转置矩阵，记作^T

（2）运算规律(假设运算都是可行的)

①

②

③

④

（3）对称阵

设为阶方阵，如果满足,即

那么称为对称矩阵，简称对称阵．对称阵的特点是：它的元素以对角线为对称轴对应相等．

5．方阵的行列式

（1）定义

由阶方阵的元素所构成的行列式(各元素的位置不变)，称为方阵的行列式，记作或.

注意：方阵与行列式是两个不同的概念，阶方阵是个数按一定方式排成的数表，而阶行列式则是这些数(也就是数表Ａ)按一定的运算法则所确定的一个数．

（2）由确定的这个运算满足下述运算规律(设，为阶方阵，为数)：

①(行列式性质1)；

②

③（对于阶矩阵，一般来说，但总有.）

（3）伴随矩阵

行列式的各个元素的代数余子式所构成的如下的矩阵

称为矩阵的伴随矩阵，简称伴随阵．且有

6．共轭矩阵

（1）定义

当为复矩阵时，用表示的共轭复数，记

称为的共轭矩阵．

（2）共轭矩阵满足下述运算规律(设，为复矩阵，为复数，且运算都是可行的：

①

②；

③.

三、逆矩阵

1．定义

对于阶矩阵，如果有一个，阶矩阵，使则说矩阵是可逆的，并把矩阵称为的逆矩阵，简称逆阵．的逆阵记作.即若即

如果矩阵是可逆的，那么的逆阵是惟一的．

2．性质

（1）若矩阵可逆，则.

（2）若,则矩阵可逆，且其中为矩阵的伴随阵．

（3）当时，称为奇异矩阵，否则称非奇异矩阵．

由上面可知：是可逆矩阵的充分必要条件是,即可逆矩阵就是非奇异矩阵．

3．方阵的逆阵的运算规律

（1）若A可逆，则亦可逆，且

（2）若A可逆，数,则可逆，且

（3）若为同阶矩阵且均可逆，则亦可逆，且

（4）当A可逆时，为整数时，有

4．多项式

（1）定义

设为的次多项式，为阶矩阵，记

称为矩阵的次多项式．

因为矩阵和都是可交换的，所以矩阵的两个多项式和总是可交换的，即总有

（2）性质

①如果则 

②如果为对角阵，则从而

四、矩阵分块法

1．定义

将矩阵用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵．

2．分块矩阵的运算规则

（1）设矩阵与的行数相同、列数相同，采用相同的分块法，有

其中与的行数相同、列数相同，那么

（2）设，为数，那么

．

（3）设为矩阵，为矩阵，分块成

其中的列数分别等于的行数，那么．

,

其中

（4）设则

（5）设为阶矩阵，若的分块矩阵只有在对角线上有非零子块，其余子块都为零矩阵，且在对角线上的子块都是方阵，即

其中都是方阵，那么称为分块对角矩阵．分块对角矩阵的行列式具有下述性质：

由此性质可知，若，则，并有

.

3．矩阵分块的意义

对矩阵分块时，有两种分块法应予特别重视，这就是按行分块和按列分块：

（1）行，列向量的定义

矩阵有行，称为矩阵的个行向量．若第行记作则矩阵便记为

矩阵有列，称为矩阵的个列向量，若第列记作

则．

（2）矩阵相乘的定义

以对角阵左乘矩阵时，把按行分块，有

可见以对角阵左乘的结果是的每一行乘以中与该行对应的对角元．

以对角阵右乘矩阵时，把按列分块，有

可见以对角阵右乘的结果是的每一列乘以中与该列对应的对角元．

结论：①矩阵的充分必要条件是方阵,

②列向量的充分必要条件是.

4．线性方程组的不同表示方式

对于线性方程组

记

其中称为系数矩阵，称为未知数向量，称为常数项向量，称为增广矩阵．按分块矩阵的记法，可记

或.

（1）利用矩阵的乘法，此方程组可记作

该方程以为未知元，它的解称为方程组的解向量．

（2）如果把系数矩阵按行分成块，则线性方程可记作

或

这就相当于把每个方程

记作

（3）如果把系数矩阵按列分成块，则与相乘的应对应地按行分成块，从而记作

即

上述3种表示方式是线性方程组的各种变形，它们将混同使用而不加区分，并都称为线性方程组或线性方程．