第2章　协方差分析

2.1　什么是协方差分析

在研究过程中，常常会遇到以下各种情形：比较两种教学法的效果时，需要考虑到学生原来学习水平的影响；比较不同安眠药的效果时，需要排除被试体重的影响；比较不同车型的驾驶难度时，不能忽视驾驶员经验的影响等。这类研究有两个特点：一是存在一个或数个与因变量共同变化的连续变量。这些变量虽然不是本次研究的对象，但是无法忽视，因为它们与因变量有一定的关联，在本章中我们称之为协变量（covariate）。二是研究的最终目的是要了解自变量对因变量的影响。这就是本章协方差分析（analysis of covariance, ANCOVA）的主要内容。

根据以往的知识，若要了解协变量是怎样影响因变量的，可以用回归分析。如图2.1（a）所示，分别表示组1与组2的因变量Y在协变量X上的回归直线。若想知道是否存在组间差异，可用方差分析。图2.1（b）是不考虑协变量X的影响时，用方差分析比较两组因变量的平均值有无显著差异的示意图，图中表示两组因变量的平均值。

图2.1（a）回归分析示意图

图2.1（b）方差分析示意图

当需要考虑协变量的影响时，应该如何比较组间平均值呢？最直接的思路是将回归分析与方差分析结合起来（图2.2）。在协变量X、因变量Y组成的平面直角坐标系内，表示组1数据的重与组2的重在y轴上的垂直距离，其分别是两组关于X变量的平均值。是否等于0，用方差分析可以求得。而则表示将两组重心的横坐调整到总平均处后两点间在y轴上的垂直距离。请读者留意此时，两条回归线必须平行，才能保是常量。如果两条回归线不平行，将随X的变化而变化，其差值就不是常量了。由图2.2可知，协方差分析是回归分析与方差分析的结合体——控制了协变量影响后的方差分析。

图2.2　协方差分析示意图

用数学公式来表达，因变量Y可写作

式分别是因变量Y、协变量X、随机误差ε在第j个水平上的第i个观察值（i=1，2，……，I；j=1，2，……，J）。μ是Y的平均值，αj是第j个水平上的自变量A的主效应，β是X的斜率。这里，Y, X是连续变量，自变量A是离散变量或分组变量。另外，式中要求X的斜率β不受组别影响，即不论哪一组j，β是相同的。图2.2中两组数据的回归线平行，就符合这个要求。