二 传统数学的发展
在中国科学史上，数学历来是人们关注的重点之一。这是由于，在古代中国，数学和天文学、医学、各种实用技术一样，取得过辉煌的成就，为世界文明的发展作出了应有的贡献。
数学在古代社会具有很重要的地位。人们重视数学，以仰视的角度看待数学家的活动，甚至以神话的方式，渲染数学家的技艺，赞颂数学家的成就。古书《西京杂记》卷四记载了两位精通算术人士的神奇传说：
这两条记载，均属夸大其词，因为它们所说的事例，并非数学所能完成。但由这些事例，我们不难看出算术在古人心目中所具有的神奇性能。在古人心目中，数学不但神奇，而且重要，正因为如此，他们把数学书命名为《算经》，而且一下子就命名了十部，称为《算经十书》。这种做法，充分表现了古人对数学的尊崇。因为在古代，只有极为重要的书籍才有资格以“经”冠名，像儒家学派的代表性著作，被奉为经典的，无非是四书五经而已，而数学书一下子就被命名了十部经典，其在古人心目中的重要性，由此可见一斑。就数学家而言，他们对数学的功能有清晰的认识。汉代著名数学家刘歆有一段话，可作代表：
这里说的仅仅是算术，并未涉及几何，但这段话表现的对数学与其他学科关系的认识，却无疑是非常清晰的，也是正确的。现代著名数学家华罗庚曾经这样描述过数学的应用：宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生物之谜、日用之繁，无处不有数学的重要贡献。比较华罗庚和刘歆的说法，可以看出，在对数学重要性的认识上，古今数学家的心理是相通的。中国古代数学就是在数学家这种认识的引导下、在社会对其高度尊崇化的背景下发展起来的。
中国古代数学的发展，应该起步于对数的认识和记数方法的形成。在古代中国，数字的产生究竟始于何时，现在无从考证。可以肯定的是，在传说中的“结绳记事”年代，古人已经有了数的概念，其对应的时期应该在文明产生之前。现在的问题是我们无法找到明确的考古依据，以此确定其具体年代。在目前已知的古代遗存当中，半坡遗址一些器物上的刻画符号，很可能与数字有关，但那也只是今天人们的一种猜测。现在我们可以肯定的是，在殷墟出土的商代甲骨文中，已经出现了数字的具体记录，包括从一到十以及百、千、万，最大的数字是三万。从这些数字中，可以看出古人的计数法——十进位值制。
所谓十进位值制，十进，是以十为基数，逢十进一位；位值制的要点则在于同一数字符号因其位置不同而具有不同的数值。例如同一个5，在右数第一位表示的是个位的5，在右数第三位则表示500。这种记数方法的重要性无论如何强调都不会过分，因为良好的记数方式是代数发展的前提。不难想象，那些非十进位值制的记数方法，例如罗马的记数方式，在进行加减乘除这些简单数学运算时，是何等的不便。
我国自有文字记载开始，记数法就遵循十进制了。而世界上其他一些文明发生较早的地区，如古巴比伦、古埃及和古希腊所用的计算方法，都不是十进位值制。古巴比伦人和中美洲的玛雅人虽然采用位值制，但前者是六十进位，后者是二十进位。印度则一直到公元6世纪还用特殊的记号表示二十、三十、四十等十的倍数，7世纪时才有采用十进位值制记数法的明显证据，而且很可能是受到中国影响的结果。由此，十进位值制这种记数法的发明，是古代中国人对世界文明发展的一大贡献。马克思曾将十进位值制记数法的发明称为“最妙的发明之一”56，李约瑟也高度评价说：“如果没有这种十进位制，就几乎不可能出现我们现在这个统一化的世界了。”57
与发明十进位值制记数方法相应的是，古代中国人还发明了一种十分重要的计算方法——筹算。筹算完成于春秋战国时期，是以算筹作工具的一种数学计算方法。根据《汉书·律历志》的记载，算筹是一种长六寸（合现在13.86厘米）、直径一分（合现在0.23厘米）的小圆竹棍。古人用它们的纵横组合表示数字。到南北朝时，古人把算筹的长度作了适当的减少，同时将其由圆形改成方形或扁形。改短可以减少布算时所占面积，适应更加复杂的计算；变圆为方或扁则可以有效避免圆形算筹因滚动而造成的计算错误。
图3.1 算筹的纵横摆放方法
古人在用算筹表示具体数字时，有纵横两种摆法。这两种摆法与1—9这九个数字的对应关系见图3.1，在该图中最上一行是纵式，下面的是横式。在具体表示某一个数字时，则依据纵横相间的方式，在个位、百位、万位、百万位等摆纵式，在十位、千位、十万位、千万位等摆横式。如果遇到0，则以空位表示之。图3.2是一个具体例子，它表示的数字是1861。在明确了算筹的摆放方法之后，就可以根据一定的规则，利用算筹进行加减乘除、开平方以及其他的代数计算了。
图3.2 算筹记数示意图（图中表示的四个数字数是1861）
在古代社会，阿拉伯数字产生之前，筹算是世界上最先进的计算体系。后来在筹算的基础上又发展出了珠算。珠算明代时在中国得到了普及，取代了筹算。筹算虽然退出了历史舞台，但它的痕迹直到现在仍然存在，在日常生活中的“筹划”“统筹”等词语身上，仍然可以看到历史上筹算的影子。珠算较筹算更为快捷方便，因而使用范围也更加广泛。快捷的计算工具对人类社会的发展来说太重要了，正因为如此，国外曾有人把算盘称为中国古代的第五大发明。珠算的影响及其重要性由此可见一斑。
十进位值制的记数方法、以算筹作工具的数字计算方法，这些是先秦时期中国人在数学领域取得的重要成果。而中国古代数学体系的形成，则要等到汉朝，是以《九章算术》的出现为标志的。
《九章算术》是中国古代一部极其重要的数学著作，它大概完成于汉代，是以问题集的形式编写成书的。全书共收集了246个数学问题，并一一给出了答案。对这些问题的解答涉及分数四则运算、比例算法、各种面积和体积的计算、勾股测量术等等。该书对负数概念及正负数加减法则的提出，在世界数学史上是最早的。
《九章算术》的确切作者已很难考。据说西汉著名数学家张苍、耿寿昌等都曾经对它进行过修订删补。1984年，考古学家在湖北江陵张家山出土的汉代竹简中，发现了一部成书于西汉初年的数学著作，将其命名为《算数书》。该书成书时间比《九章算术》早约一个半世纪以上，是现存最早的中国数学著作。其内容和《九章算术》相类似，有些文句与《九章算术》亦接近，这意味着《九章算术》与之有某种继承关系。嗣后，又出现了《周髀算经》这部著名的天文数学著作，其中包含了勾股定理等一些重要的数学原理，这些内容也被《九章算术》吸收了。可以说，《九章算术》正是在这些数学成就的基础上，经过长时期、多人整理，最终得以成书的。它集秦汉数学之大成，内容丰富，题材广泛，对后世影响深远。它的出现，最终成为中国古代数学体系得以形成的标志。
以《九章算术》为代表的中国古代数学体系，其特点是通过对应用问题的分析，抽象出一般的原理和方法，最终达到解决同类问题的目的。该体系以算筹为主要计算工具，运用十进位值制的记数系统进行运算，内容涵盖算术、代数、几何等各方面。它形成于汉朝，并在其自身发展历程中，逐步走向高峰，成为古代中华民族发展所依赖的重要数学工具。
汉朝之后，进入三国时期，这个历史时期古代数学发展的一件重要事情是刘徽为《九章算术》作注。《九章算术》虽然重要，但它的基本形式是提出问题，给出答案，中间的解答过程却被忽略了。刘徽的注正是针对《九章算术》的这一不足，对寓于全书的各种算法中的数学理论作详尽阐释。他的阐释精辟严谨，影响深远。经过刘徽的注释，《九章算术》才在数学史上真正立了起来，成为可与《几何原本》相媲美的数学经典著作。在世界数学史上，《几何原本》是以演绎为特征的公理化体系的典范，《九章算术》则是以计算见长的算法体系的代表，如同《几何原本》对西方数学的影响一样，在长达一千多年的时间里，《九章算术》一直是东方数学的标准教科书，对中国、朝鲜、日本等国产生了深远的影响。而这一切，如果没有刘徽为其作注，是无从实现的。
刘徽的注不但弥补了《九章算术》缺乏中间环节的不足，对原书的方法、所涉公式和定理进行解释和推导，更有许多自己的发明。他是以注的形式来阐发自己的数学理论的。在刘徽的诸多数学贡献中，最引人注目的是他在计算圆周率方面所作的发明。这一发明是以“割圆术”理论的提出为标志的。
在刘徽的时代，一般人所采用的圆周率是“周三径一”。刘徽指出，“周三径一”不是圆周率，它是圆内接正六边形的周长和圆直径之比。用这个比值计算出的圆面积，并非真正的圆面积。当时人们已经知道圆面积计算公式是“半周半径相乘”，半径是直线，理论上可以准确测得，这样，要求得准确的圆面积，就得知道准确的圆周长，但圆周是曲线，无法直接测量，于是人们用圆内接六边形周长来代替圆周，可是这样又带来了误差。那么，如何才能化曲为直呢？刘徽提出：当圆内接多边形的边数无限增加的时候，多边形的周长就会无限逼近圆周长，这时就可以用多边形周长代替圆周长进行圆面积的计算。58刘徽提出的这种方法就是“割圆术”。
刘徽把自己的设想付诸实施，用割圆术具体推算了圆周率π值。他从圆内接正六边形算起，令其边数逐次加倍，相继算出圆内接正十二边形、二十四边形、四十八边形、九十六边形每边的长，还求出了正一百九十二边形的面积，这相当于求得π=3.141024。他在实际计算中，采用的是π=3.14。非但如此，为了验证这一结果，他还继续求得圆内接正三千零七十二边形的面积，得到了更精确的圆周率值π=3.1416。
刘徽得出的圆周率值在当时的世界上是非常先进的，但他的功绩并非仅在于此，更在于为圆周率的计算找到了科学的方法，使得圆周率研究工作有了自己坚实可靠的理论基础。后人只要沿用他的方法继续做下去，就能得到越来越精密的圆周率值。此外，他的理论中蕴含着极限概念和直曲转化思想，这也是极其可贵的。这种思想是后世微积分理论的先导。
南北朝时最有代表性的数学工作是祖冲之和祖暅父子两个做出来的。他们在刘徽等人工作的基础上，把传统数学向前推进了一大步。尤其是祖冲之对圆周率的推算，是同时期世界上其他数学家难以望其项背的。祖冲之是世界上第一个把圆周率的值计算到7位小数的人，他推算出圆周率的准确值为3.1415926＜π＜3.1415927，他的这一纪录，直到一千年之后，才被阿拉伯数学家所打破。此外，祖冲之在用分数表示圆周率方面，创造性地提出了约率和密率的概念，他提出的约率是π=22/7，密率是π=355/113。尽管约率的值前人已经提及，但这两个概念是祖冲之的发明，而且密率值是他发现的。经过计算可以知道，祖冲之的密率值是分子分母都在1000之内的分数形式的圆周率的最佳近似值。
祖冲之是如何得到这些结果的，史乏明载，但在当时的历史背景下，他除了运用刘徽的“割圆术”，似乎也别无选择。如果要运用“割圆术”计算出祖冲之的圆周率值，则必须求出圆内接正一万二千二百八十八边形的边长和二万四千五百七十六边形的面积，这样得到的圆周率值才能准确到小数点后7位。在用算筹作计算工具的古代，要完成这些计算，需要对九位数作130余次的加减乘除和开方运算，还要选择适当的有效数字，保证误差不能超越预定的范围，其工作量之大、难度之高，是难以想象的。我们知道，圆周率在科学实践中应用非常广泛，而在古代科学水平下，计算圆周率是一件非常复杂和困难的事情，因此，在相当长的一段历史时期，圆周率的理论和计算在某种程度上反映了一个国家的数学水平。正因为如此，祖冲之的成就引起了人们的高度重视，有不少人赞同把π=355/113称为祖率，以纪念他的杰出贡献。
如果说魏晋南北朝时期的数学发展主要集中在理论化方面的话，那么隋唐时期的数学发展的一件重要事情就是数学教育制度的建立。隋唐时期建立了正规的数学教育制度，由国家掌握的国子监中设立了专门教授数学的算学馆，教科书也由国家统一编订。唐朝显庆元年（656），唐高宗李治指示李淳风等人编纂了十部数学著作，总称《算经十书》，以之作为算学馆教材。这十部著作分别是：《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》《夏侯阳算经》《缀术》《张丘建算经》《五曹算经》《五经算术》《缉古算经》。它们体现了汉唐千余年间中国数学的高度发达。
宋元时期是中国数学发展的黄金时代。这个时期出现了秦九韶、李冶、杨辉、朱世杰这四位世界级的大数学家，他们的一些成果，如高次方程的解法、多元高次方程组消去法、联立一次同余式解法等早于欧洲同类成果五百到八百余年。
明代中国数学的发展表现得非常特殊。一方面，对理论数学的研究处于停顿乃至衰退状态，甚至连宋元时期已经取得的成果也逐渐被人遗忘；另一方面，实用数学的普及程度超越以前任何一个时代，民间出现了大量内容浅显、切近实用的数学书籍，书中将各种公式和法则编成歌诀，使之朗朗上口，便于记忆和推广。这种书籍的出现，很大程度上满足了当时日益兴旺的商业发展的需求。这股实用思潮对数学理论的发展并无裨益，却促成了程大位《算法统宗》的问世，促进了珠算的普及。16世纪中叶，珠算完全取代了筹算，实现了中国古代计算工具的重大变革，这是实用数学的普及所带来的一个巨大成果。
明朝末年，传教士来到中国，在向中国人传布西方宗教的同时，也带来了西方的科学，其中也包括数学。传教士利玛窦（Matthieu Ricci，1552—1610）和徐光启合作，翻译了欧几里得的《几何原本》的前六卷，由此拉开了翻译西方数学著作的帷幕。徐光启非常推崇《几何原本》，认为这是一部既可以增加人们数学知识、又能训练思维的好书，“举世无一人不当学”。在中外学者的共同努力之下，西方的笔算、三角学、对数、几何学、代数学等内容以及比例规、计算尺等数学工具都传入了中国，并引起了中国学者的兴趣，从而改变了中国古代数学的发展方向。
进入清代以后，中国学者一方面继续消化吸收传入的西方数学知识，并努力钻研，力图有所创新；另一方面，在清政府文化政策的高压下，大批学者转向研究古籍考据经典方面，在数学领域，其结果是导致了对宋元以前数学著作的整理和发掘，促成了被明朝人遗忘了的大批数学遗产重放光明。清代后期的洋务运动，促进了西方科学知识其中也包括数学知识的传入，数学领域中西合流的倾向进一步加强。1840年的鸦片战争，西方列强用武力打开了中国的国门，大批传教士来到中国，其中一些人在中国开办了教会学校，学校中设有数学课程，讲授西方数学。
在这段时间，中国学者面对西学的涌入，也以前所未有的规模和深度，学习和钻研西方科学知识。像李善兰、华蘅芳等不但学习西学卓有成效，翻译了大量西方数学书籍，并结合中文特点，确定了大批数学译名，使西方数学在中国扎下根来，而且潜心研究，做出了多项创造性成果。他们的工作，标志着中国近代数学研究的开端。