四　希腊的数理科学

古希腊人不但创造了灿烂的艺术和哲学，也给后人留下了值得称道的具体的科学。这首先表现在希腊的数学上。

希腊数学的成就主要表现在几何学上。人们研究数学，可以从数与数的关系角度出发，探讨事物数量间的关系，沿这条道路发展下去，由最初的算术逐渐发展成了初等数学的一个重要分支——代数；也可以从事物形体关系的角度出发，探讨各种形体变化所遵循的规律，所形成的是初等数学的另一重要分支——几何学。中国古代数学以计算见长，在代数领域成果突出；古希腊数学则着重于形体关系研究，在几何学领域取得了令人钦敬的成就。

希腊数学之所以在几何学领域高奏凯歌，有其特定的历史原因。一开始，希腊人也关注对数的研究，著名的毕达哥拉斯学派在这个领域的工作就引人注目。毕达哥拉斯大约出生于公元前560年，活了六十来岁。他年轻时曾向泰勒斯求教，后又跟从泰勒斯的学生阿那克西曼德就学，并曾长期游学于埃及，在埃及学习了数学和宗教。从埃及回来以后，移居到意大利南部的克罗托内，在那里收徒讲学，逐渐组织起了自己的学派。

毕达哥拉斯学派有一个很有名的主张：数是万物之原。毕达哥拉斯在研究乐器时发现，琴弦发出音调的高低只跟琴弦的长度有关，如果一根琴弦的长度是另一根的2倍，那么它所发出的声音恰恰要比另一根发出的低八度。他通过反复实验，发现了琴弦的张力和长度与其所发音调的关系。这些发现有可能启发他想到，既然琴弦的音调与其物质成分无关，而是只决定于其包含的数量关系，那么，依此类推，万物之所以多种多样，也有可能是隐藏在其背后的数量关系在起作用。沿着这一思路进一步发展，就引发了他的数即万物思想的产生。

但是数为万物本原的思想很快就遇到了大麻烦，原因是这个学派在研究直角三角形时发现了毕达哥拉斯定理，即中国人所说的勾股定理，由勾股定理发现了√2的存在，进一步的研究又确定了该数的无理性，即它不能归结为两个不可通约的整数之比。这就是说，2的平方根是不能用整数表达出来的。这样一来，麻烦就大了，因为数是万物本原，类似于原子论中的原子，所以任何数都应该可以归结为整数与整数之比，但是现在既然像这样一个看上去很简单的数都不能用整数表达出来，宇宙万物又怎么可能是由数组成的呢？据说为了避免万物为数的学说因此而崩溃，毕达哥拉斯的门徒们曾起誓要对此类无理数的发现保密，并为此处死了他们中一个对此问题到处喋喋不休的伙伴。

纸包不住火，天机最终还是泄漏了出去。无理数的发现使希腊人意识到，数（在希腊人看来，指正整数）不适于代表客观实在。既然数不代表客观实在，是虚无缥缈的，那么，还是研究物体的形体关系更踏实一些。也许正是由于这样的心理因素，无形中促进了希腊几何学的发展。

古希腊几何学成就的集大成者是欧几里得。对于今天的人们来说，欧几里得的生平是个难解的秘密，没有人知道的他的生死年月和诞生地，只知道他在埃及的马其顿统治者托勒密一世执政期间（前305—前285年），在其都城亚历山大里亚工作过，并且知道托勒密国王曾向他询问能否将几何证明法变得容易一些，以便学习，而他却以令国王十分失望的方式斩钉截铁地说：“学习几何无捷径！”

尽管我们对欧几里得的生平知之甚少，但对他的名字却耳熟能详，原因就在于他写了一本不朽的几何学著作——《几何原本》。此书是真正不朽的，时至今日，历经两千多年，它的基本内容仍然是学生修习初等几何时的必学内容。写出这样的著作的学者，他的名字没有理由不被人们所知晓并记住。

《几何原本》的不朽不仅在于它的内容，更在于它是公理化体系的典范。所谓公理化，是人们发现新的科学知识的一种方法。人们要发现新的科学知识，有多种多样的途径，其中比较常见的一是归纳法，一是演绎法。归纳法通过总结大量的观察经验，将其升华为科学知识。这种方法因其与生俱来的不确定性而不受希腊人器重。希腊人更偏爱演绎法，即由确定的前提出发，经过严密的逻辑推理证明，得出新的结论。希腊人确认，在用演绎法获得新的知识的时候，只要前提是正确的，证明过程是严密的，结论就一定是正确的。演绎法需要有前提，这样的前提可以用归纳法得到的结论来充任，但希腊人认为那不太保险，因为没有人能保证归纳法得出的结论必然是正确的；另一种方法就是用定义和公认的不证自明的知识要点作为演绎的前提，这些知识要点被称为公设或公理，在此基础上用逻辑证明的方法推导出新的知识，这就构成了公理化体系。所以，公理化体系是演绎法的杰作。

具体说来，《几何原本》中的公理化体系是这样的：首先，欧几里得给出了几何证明所需用的一系列定义和概念，比如点、线、直线、面、平面、平角、直角、锐角、钝角、平行线、各种平面图形等；然后，他提出了五个公设（公设是指适用于几何学的不证自明的知识）：（1）过不同的两点可连一条直线；（2）直线可向两端无限延伸；（3）以任意一点为中心和任一线段之长为半径可作一圆；（4）所有的直角均相等；（5）若一直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点。接着，他又提出了五个公理（公理是适用于一切科学的真理）：（1）跟一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相等的；（2）等量加等量，总量仍相等；（3）等量减等量，余量仍相等；（4）彼此重合的东西是相等的；（5）整体大于部分。

在给出了这些定义、概念、公设、公理的基础上，欧几里得一条一条地证明了《几何原本》中列出的467个命题。他的证明条理清晰、逻辑严谨。在所有被证明出来的几何定理中，没有一个不是从已有的定义、公设、公理和先前已经被证明了的定理中推导出来的。需要说明的是，《几何原本》中的这些定理，大部分都是前人已有的发现，欧几里得所做的主要工作是利用了泰勒斯时代以来积累的数学知识，从精心选择的少数公设、公理出发，由简到繁地推演出了整个理论体系，构建起了初等几何学大厦。欧几里得这种证明方式给后人以很大的影响，以至于在近两千年的时间里，它成为科学证明的标准。尤其是在数学领域，这种现象表现得特别明显。

欧几里得给出的公设、公理的正确性如此之明显，而他的证明过程又非常严谨，以至多少个世纪以来，人们一直认为欧氏几何是绝对正确的。只是到了19世纪，人们才意识到，所谓的公设、公理，只是大家一致同意的陈述，未必是绝对真理。在这种情况下，人们对他的第五公设作了大胆的改变，改变的结果，最终促成了几何学的一场革命——非欧几何的诞生。

欧几里得的证明方式不但对数学发展影响巨大，对别的学科例如物理学也有影响。

在希腊物理学发展历程中，最值得一提的人物是阿基米德。阿基米德大约公元前287年出生于西西里岛的叙拉古，公元前212年卒于同一城市。他是古代最伟大的科学家，据说科学史上只有牛顿才能同他相提并论。阿基米德对希腊科学的发展贡献甚多，限于篇幅，我们只能在物理学方面择要叙说其二。

一是他对希罗王说过的一句名言：“只要给我一个稳固的支点，我就能移动地球。”据说希罗王对他的这句话大感惊讶，要他试作演习，移动某一件大得惊人的东西，于是他设计了一个滑轮组，很轻松地就把一艘满载货物的船从港口拉到了岸上。实际上，阿基米德的这句话，反映了他在成功地证明了杠杆原理之后的某种自豪心情。而他对杠杆原理的证明，是公理化方法在物理学领域的成功应用。

杠杆原理是力学中的一条基本原理，其具体内容凡是学习过初中物理的都知道。除了希腊人以外，世界上别的民族也有独立发现杠杆原理的，比如中国人。但中国人发现杠杆原理依据的是归纳法，是通过对大量实践经验的总结而得出的，但阿基米德却是在斯特拉托工作的基础上，用公理化方法证明出来的，这在科学史上是前无古人的。

应用公理化方法进行证明，首先要给出人们公认的不证自明的公理，以之作为证明的前提。对于杠杆平衡这一情况，阿基米德首先将其还原为几何学问题，即只考虑物体的重量，不考虑杠杆的材料、形状、变形等问题。杠杆被设想成一个线段，重物作用于线上的一点且垂直于它，不计支点与杠杆间的摩擦等。这实际上是后世物理学发展常用的建立理想化模型的方法。在建立了杠杆平衡的理想化模型之后，阿基米德给出的公理是：

①若等重物体距支点距离相等，则杠杆平衡。即在图1.2（a）中，若W=W′，L=L′，则杠杆平衡。

②杠杆臂上任何一点的重物，都可用两个分别位于支点与该点和支点距离2倍处的点上、重量等于原物一半的重物来代替，如图1.2（b）、（c）。

这两个公理是建立直观基础之上的。在最简单的情况下，可以直接推出其所遵循的物理原理，即杠杆原理。证明过程如下：

设在图1.2（b）情况下杠杆平衡，则依据公理②，在图1.2（c）的情况下杠杆依然平衡。再依据公理①的规定，可得：

将两等式相乘，得到：

W1/2=W2，2L1=L2

W1/2×2L1=W2×L2，即W1×L1=W2×L2

此即在图示情况下的杠杆原理。

杠杆原理在物理学发展过程中，发挥过重要作用。阿基米德将公理化方法应用在对杠杆原理的证明中，使得物理学一开始就具有了注重严谨的逻辑推理、注重理想化模型的传统，这对物理学的发展是非常有利的。

阿基米德在物理学方面的另一值得一提的贡献是对阿基米德原理亦即浮力原理的发现。事情起源于对希罗王王冠的鉴定。传说希罗王命令工匠为其制作了一顶精致的纯金王冠，但王冠制成以后，国王怀疑工匠在王冠中掺了银，于是让阿基米德对王冠进行鉴定。如何在不损坏王冠的前提下鉴定出王冠是否由纯金制成，这令阿基米德一筹莫展。一段时间以来，这件事成了他念念不忘的一个难题。直到有一天，他在洗澡时，发现水从澡盆里溢了出来，猛然醒悟到物体浸入水中时，排开的水的体积等同于其浸入水中的体积，由此找到了测量王冠体积的方法：只要把王冠浸入水中，测量其排开的水的体积，就知道了王冠的体积。鉴于在同样重量的情况下，纯金的体积比银小，用这种方法很快就能鉴定出国王的王冠是否被掺了假。

阿基米德与希罗王王冠的故事脍炙人口，在大量有关阿基米德的书籍中皆能看到。一般的说法是阿基米德通过澡盆的溢水感悟到了浮力原理，由此鉴定了国王王冠的真伪。这种说法不够严谨。因为阿基米德首先悟到的是物体浸入液体中的体积等同于其排开液体的体积，而这并非浮力原理。浮力原理说的是物体浸入液体后受到的浮力等同于其排开液体的重量。重量与体积，是两个完全不同的概念。阿基米德应该是在鉴定了国王的王冠之后，由自己的发现出发，进一步探讨物体所受浮力大小的决定性因素。浮力原理是阿基米德发现的，但该原理的发现不是他在澡盆中的顿悟，而应该是他在大量实验基础上总结出来的。

物理学的发展在方法上有两个基石，一是逻辑推理，一是实验。阿基米德在自己的工作中成功地应用了这两种方法。他能够成为物理学的先驱，不是偶然的。

需要说明的是，尽管阿基米德对物理学的发展作出了巨大贡献，但他本人却对几何学更感兴趣。他对数学的贡献并不亚于他对物理学的贡献。