§3.5　多元回归模型的设定偏误

一、正确的多元回归模型

在前面的讨论中，我们假定所用回归模型是正确设定的，正确设定的回归模型应具有如下特点：

（1）模型中只包含关键变量，也就是说所选定的模型是最简便的。

模型是对现实经济系统的抽象。一个模型应尽量简单，我们应在设定模型时只引进抓住现实本质的关键变量，把影响微弱的变量放到干扰项u中去。

（2）模型参数可识别。对于给定的一组数据，估计的参数具有唯一值。

（3）较高的拟合优度。

要用解释变量X解释被解释变量Y, X对Y的解释能力就应该较高，就要求有尽可能高的R2。

（4）估计的回归系数与经济理论一致。

如果回归模型中估计的参数的符号是错误的，那么回归模型也是不成立的。

一个正确的回归模型的判定并没有一个统一的标准，在计量经济分析实践中，我们会使用各种检验方法去判断回归模型的性质，第四章会重点阐述这些内容。

多元回归模型的设定偏误主要包括以下三种：

（1）回归模型中包含了无关解释变量；

（2）回归模型中遗漏了重要解释变量；

（3）回归模型中的函数形式设定偏误。

下面将分别予以讨论。

二、回归模型中包含了无关解释变量

多元回归模型中包含了无关解释变量，即对模型进行了过度设定。就是说，我们把一个在总体回归模型中对Y没有影响的解释变量放到了样本回归模型中。假定真实模型为：

而我们设定的回归模型为

解释变量X3对Y没有影响，X3在总体回归模型（3.91）中的参数β3=0。在模型（3.92）中，X3是一个与被解释变量Y无关的变量。引入X3将导致如下结果：

（1）有误模型（3.92）的参数最小二乘估计量均无偏，即E（）=β1，E（）=β2和E（）=β3=0。

（2）的方差非最小，都大于正确模型（3.91）中的方差。也就是说，在模型（3.92）中，X3的引入将使，的方差无必要地增大，降低估计的精度。

三、回归模型中遗漏了重要解释变量

在多元回归模型中，遗漏了一个实际上应该包括在总体模型中的解释变量，称为对模型设定不足。就是说，我们遗漏了一个对被解释变量有显著影响的解释变量。

假定真实模型为

而我们设定的回归模型为

X3是对Y有显著影响的变量，而在模型（3.94）中却将其漏掉了。遗漏X3将导致如下后果：

（1）如果遗漏的变量X3与包含的变量X2相关，则和是有偏误的，且非一致。就是说，E（）不等于β1，E（）不等于β2，而且不论样本多大，偏误都不会消失。

（2）如果X3与X2不相关，则是有偏误的，而则是无偏的。

（3）σ2不能正确地估计。

（4）根据所估计的参数的统计显著性，容易导出错误的结论。

例3.10　在例3.8中，为了说明线性到对数回归模型的应用，使用了一元回归模型，但这很可能是一个有误的设定。因为影响经济增长的因素除了能源消费量外还有劳动投入、资本投入、技术进步、制度、金融等非能源类因素的影响，在此我们用时间变量t代表这些因素。则回归模型应为

其中Y是国内生产总值（亿元），X为能源消费总量，t是时间（t=1，2，……，15）。

时间变量t的使用是计量经济分析中的常用手段。第一，当我们研究的兴趣仅仅在于变量的时间特性时，我们就使用时间t作解释变量。例如，研究GDP、就业率、股票价格随时间变化的规律性。第二，有时要选择的解释变量是无法观测的或难以获得数据，我们就用t变量作为它们的替代变量。此时，我们假定这个无法测定的变量是时间变量t的函数。

在本例中，我们用时间变量t代表所有除能源消费量外影响经济增长的因素，设定其他影响因素是时间变量t的函数。

利用表3.4中的数据，设定t=1，2，……，15，使用普通最小二乘法，得到回归模型

对比式（3.85）和式（3.96）可知：

（1）一元回归模型中，能源消费量每增加1%，GDP平均增长2306.05亿元。而在引入时间变量t的多元回归模型中，能源消费量每增加1%，GDP平均增长574.71亿元。一元回归模型中由于设定偏误，高估了能源消费量对经济增长的影响。由于遗漏了时间趋势变量，能源消费量就承担了遗漏变量对GDP的影响，因而无法准确测定能源消费量对GDP的真实影响。

（2）两个模型的标准误也是不同的。

（3）多元回归模型中拟合优度要优于一元回归模型。

由此可见，如果在回归分析中遗漏了重要解释变量，将会带来较严重的后果。所以在建立回归分析模型时，就必须深入了解建模的有关经济理论，将影响被解释变量的重要变量引入到回归模型中。

四、回归模型的函数形式设定偏误

如果回归模型的函数形式设定有误也会产生设定误差。

经济理论只能告诉我们经济系统中各经济变量之间的相互关联性，并不能阐明变量之间关联的函数形式。

例如，使用生产函数时，根据经济理论我们只能知道产出是投入要素的函数，并未告诉我们具体的函数形式。我们可以用线性函数也可以用对数线性函数去研究它：

式（3.97）中β2，β3为斜率；式（3.98）中α2，α3为弹性，两者意义不同。在线性函数中，弹性为β2（X2/Y），β3（X3/Y），是一个变弹性模型，而式（3.98）的弹性α2，α3为常数，是一个不变弹性模型。只有选择了正确的函数形式，才能得到有效估计和正确的经济解释。

为了研究的方便，我们通常将非线性模型用线性模型去近似表达，这种近似必然存在误差，从而影响参数估计的效果。

例如，当变量真实关系为多项式模型：

而我们在研究中使用了线性模型

则线性模型（3.100）中，遗漏了变量X2和X3，且遗漏变量与X相关，用普通最小二乘法估计参数是有偏误的。

函数形式的设定偏误有多种多样，我们在选择模型的函数形式时必须谨慎小心，而这又是一个探索和改进的过程，我们只能通过不断的尝试来找到最恰当的函数形式。