第一章　整除理论

整除理论是初等数论的基础，它是对在小学就学过的关于整数的算术，主要是涉及除法运算的内容，作抽象的、系统的总结，在讨论中不能涉及分数.这看起来似乎很简单，但是它的内涵是十分重要而深刻的.本章的主要内容就是讨论整除理论，它包括最大公约数理论和数学中最重要、最基本、最著名的定理之一——算术基本定理，即每个大于1的正整数必可唯一地表为若干个素数的乘积，前者在4讨论，后者则在5讨论.本章内容是这样安排的：为了使讨论自然和方便，在1中先概述了熟知的有关正整数和整数的基本知识——加法、减法及乘法运算的概念与性质；大小关系及其性质；特别是初步讨论了自然数即正整数的最重要的两个性质：自然数的归纳原理及由此推出的最小自然数原理，这是建立整除理论的基础，特别是后者在本章及以后各章中经常要用到.在2中，讨论了整数的整除的基本概念与最简单的性质（这些性质实质上是不涉及整数的加法、减法运算的），进而引进了素数、合数、最大公约数及最小公倍数等概念，讨论了有关的最简单性质.在3中，我们讨论建立整除理论的重要工具：带余数除法（并介绍了它的若干应用）及辗转相除法.在4中我们建立最大公约数理论，它是整除理论的核心内容，对此我们作了较全面的讨论.在第一部分，利用带余数除法建立了完整的最小公倍数与最大公约数理论，在这一部分中我们直接从定义出发，不需要利用最大公约数的明确表示式：一定存在整数x₀，y₀，使得

（a，b）=ax₀+by₀，

但在证明中要用到较高的技巧；第二部分是在首先证明上式的基础上，利用它重新建立完整的最大公约数理论（这里不需要最小公倍数的概念与性质）.我们将对上式给出两个不同的证明，一是利用辗转相除法给出的构造性证明，而另一则是直接的非构造性证明.在5，首先利用4的结论证明了算术基本定理，并给出了它的重要应用.其次，我们给出了算术基本定理的不依赖于4的直接证明，并指出由此亦可建立最大公约数理论.在6对整除理论作一简单总结.最后，在7中，引进一个在数学中十分有用的符号——实数x的最大整数部分［x］，并讨论它的性质.利用它我们给出了n！的素数乘积的表达式，它是除算术基本定理之外，另一个刻画自然数与素数之间关系的十分重要的关系式，我们将在第八章2给出它的应用.