习题五

1.证明：g|A的充分必要条件是对任意的p^α‖g（p为素数）必有p^α|A，这里p^α‖g表示p^α|g，p^α+1｜/g.

2.设g|ab，g|cd及g|ac+bd.证明：g|ac，g|bd.

3.（i）利用5定理2及其推论来证明4习题四第一部分的第8，9，10，11，12，14，15题.

（ii）设a₁，a₂，…，a_n是正整数，A=a₁a₂…a_n，A_i=A/a_i.证明：

（a₁，a₂，…，a_n）·［A₁，A₂，…，A_n］=A，

［a₁，a₂，…，a_n］·（A₁，A₂，…，A_n）=A.

4.设a，b，n是正整数且a＞b.证明：若n|（aⁿ-bⁿ），则

n|（aⁿ-bⁿ）/（a-b）.

5.求满足τ（n）=6的最小正整数n.

6.（i）分别求出最小正整数a，使得σ（n）=a无解、恰有一个解、恰有两个解及恰有三个解；

（ii）存在无穷多个a，使σ（n）=a无解.

7.证明：（i）τ（ab）≤τ（a）τ（b）；（ii）σ（ab）≤σ（a）σ（b），等号都当且仅当（a，b）=1时成立（用两种不同的方法证明）.

8.证明：（i）τ（n）是奇数的充分必要条件是n为完全平方数；

9.σ（n）是奇数的充分必要条件是n=k²或2k².

11.证明：任一正整数n必可唯一地表为ab²，其中a，b为正整数，且a不能为大于1的平方数整除（这种数称为无平方因子数）.

12.一个正整数m称为是完全数，如果σ（m）=2m.试求出最小的两个完全数.

14.整数n是素数的充分必要条件是σ（n）=n+1.

15.若2^k-1是素数，则2^k-1（2^k-1）是完全数.

16.若σ（n）=n+k＜2n且k|n，则n是素数.

17.若2|m，m是完全数，则m=2^k-1（2^k-1），2^k-1是素数.

18.若奇数m是完全数，则必有m=p^4l+1m²₁，其中p为4k+1形式的素数，p｜/m₁.

19.设ω（n）表示n的不同的素因子个数（例如：ω（15）=2，ω（8）=1），d是无平方因子数.证明：满足［d₁，d₂］=d的正整数对d₁，d₂共有3^ω（d）组（两组解d₁，d₂，d′₁，d′₂称为不同的，只要d₁≠d′₁或d₂≠d′₂有一成立）.

20.设g，l是正整数，g|l.证明：满足（x，y）=g，［x，y］=l的正整数对x，y共有2^k组，这里k=ω（l/g）（见上题）.

21.设n是奇数.求n表为两整数平方之差的表法有多少种.

22.证明：log₂10，log₃7，log₁₅21都是无理数.

可以做IMO的题（见附录四）：［22.4］，［31.3］，［31.4］，［35.6］，［38.5］，［39.3］.