5.1　证明的第一个途径

这是利用4的结果先证明定理1，然后由定理1推出定理2.

定理1的证明若p｜/a₁，则由2定理8（v）知，（p，a₁）=1.由此及p|a₁a₂，从4定理6就推出p|a₂.对一般情形，由此可推出，若p｜/a₁，则p｜a₂…a_k；若p｜/a₁，p｜/a₂，…，p｜/a_k-1，则可推出p｜a_k.证毕.

这一性质是素数的本质属性，可以作为素数的定义.它和2定义2的不同就是“不可约数”和“素数”概念的不同（参看附录二）.下面利用定理1来证明定理2.

定理2的证明由2定理5知，表示式（1）一定存在.下面来证唯一性.不妨设p₁≤p₂≤…≤p_s.若还有表示式

a=q₁q₂…q_r，q₁≤q₂…≤q_r，

其中q_i（1≤i≤r）是素数，我们来证明必有r=s，p_j=q_j（1≤j≤s）.不妨设r≥s.利用定理1，由q₁|a=p₁p₂…p_s知，必有某个p_j满足q₁|p_j.由于q₁和p_j是素数，所以由2定义2知q₁=p_j.同样，利用定理1，由p₁|a=q₁q₂…q_r知，必有某个q_i满足p₁|q_i，因而由2定义2知p₁=q_i.由于q₁≤q_i=p₁≤p_j，所以p₁=q₁.这样，就有

q₂q₃…q_r=p₂p₃…p_s.

由同样的论证，依次可得q₂=p₂，…，q_s=p_s，

q_s+1…q_r=1.

上式是不可能的，除非r=s，即不存在q_s+1，…，q_r.证毕.

把式（1）中相同的素数合并，即得

（这里的p_j和式（1）中的不表示相同的素数）.式（2）称为a的标准素因数分解式.

大家知道，要求一个合数的因数，一般是很困难的.但如果已知这个合数的素因数分解式，那么它的全部因数就很容易给出，这就是下面的推论，它有重要的理论和应用价值.

推论3设a由式（2）给出，那么d是a的正除数的充分必要条件是

证充分性是显然的.下证必要性.当d=1时，e_j=0（1≤j≤s），结论当然成立.若d＞1，则由d|a及定理1知d的素除数必在p₁，…，p_s中.所以，由定理2知，d的标准分解式必为

我们来证明必有e_j≤α_j（1≤j≤s）.只要证e₁≤α₁，其他相同.若e₁＞α₁，则由此及d|a推出

同样地，利用式（2）可给出最大公约数和最小公倍数.对于两个数的情形，我们有下面的结论.

推论4设a由式（2）给出，

及

（a，b）［a，b］=ab.（6）

推论4可由推论3直接推出.详细论证留给读者.多个数的情形留给读者考虑.

下面是一个经常有用的结论（注：这结论已在4例4（ii）中证明，但那个证明技巧性强.）.

推论5若（a，b）=1，ab=c^k，则

a=u^k，b=v^k.

由条件ab=c^k知，β_j+γ_j=kα_j（1≤j≤s）.而由（a，b）=1知

min（β_j，γ_j）=0（1≤j≤s）.

由以上两式立即得到：必有

β_j=0，γ_j=kα_j或β_j=kα_j，γ_j=0.

这就证明了所要结论.显见，u=（a，c），v=（b，c）.

对于一个数的所有正除数的个数及它们的和，我们有下面的结论.

推论6设a是正整数，τ（a）（有时也记为d（a））表示a的所有正除数的个数（通常称为除数函数）.若a有标准素因数分解式（2），则

这由推论3直接推出（为什么）.显见，τ（1）=1，这可看做α₁=…=α_s=0的情形，即式（7）对a=1也成立.

推论7设a是正整数，σ（a）表示a的所有正除数之和（通常称为除数和函数），那么，σ（1）=1，当a有标准素因数分解式（2）时，

为了把证明叙述得更清楚，先引进几个有关求和与求积的符号，这在数学中是经常用到的.

设h是给定的整数，k是给定的正整数.再设z_i是依赖于参数i（h+1≤i≤h+k）的k个复数.我们记这k个复数的和为

它们的积为

i₁（h₁+1≤i₁≤h₁+k₁），…，i_r（h_r+1≤i_r≤h_r+k_r）

的k₁…k_r个复数.我们以多重求和号

表示这些复数之积.根据加法的交换律与结合律，多重和式（11）可表示为累次求和：

（13）式右边的累次求和式是表示：对固定的i₁，…，i_r-1，先对参数

i_r（h_r+1≤i_r≤h_r+k_r）

累次求积的意义和累次求和完全一样.

设f（n）是定义在全体正整数集合上的复值函数，a是给定的正整数.在数论中经常用以下的符号：

（注：一般约定a=1时为0.）

（注：一般约定a=1时为1.）.（18）

这样，取f（n）≡1就有除数函数

引理8设f（n）是定义在正整数集合上的复值函数，正整数a由式（2）给出，那么

即在式（11）中取h_j=-1，k_j=α_j+1（1≤j≤s）.因此，由式（13）即得式（21）.同样，由式（14）推出式（22）.

推论7的证明由定义知σ（1）=1.下面来证式（8）.由式（20）及（21）推得

继续对上式右边的累次求和用以上的推导，最后就得

利用等比数列求和公式，由此即得式（8）.

下面来举几个例子.

例1

证明：（a，［b，c］）=［（a，b），（a，c）］.

证若a=0，等式显然成立.所以可设a，b，c是正整数，

容易验证，无论α_j，β_j，γ_j有怎样的大小关系，总有τ_j=η_j（1≤j≤s）成立.这就证明了所要的结论.这种关系式要直接用4的方法来证是较困难的.

例2对a=180=2²·3²·5，我们有