3.1　箱图

箱图是一种显示数据离散状态的分析图形。通过箱图，能够获得相关数据节点等信息。箱图主要包含6个数据节点：上限、下限、上四分位、中位数、下四分位和异常值。

通常来说，上限位于上四分位加上1.5倍四分位距处，下限位于下四分位减去1.5倍四分位距处（如果样本数据在上四分位加上1.5倍四分位距及下四分位减去1.5倍四分位距处无数据，则上下限即为样本数据的最大值和最小值，这种情况下就没有异常值了）。在箱图中，异常值定义为数据点在样本数据中的位置大于上四分位加上1.5倍四分位距或小于下四分位减去1.5倍四分位距的数据。其中，温和异常值使用“o”表示，极端异常值使用“∗”表示。

在箱图中，箱子占据了样本数据的一半，因而，箱子的宽度在一定程度上反映了数据的波动程度。箱子中间的一条线代表了中位数，其反映了样本数据的平均水平，同时，当中位数偏离上四分位和下四分位中心位置时，数据就表现出一种偏态性，中位数越偏离箱子中心位置，偏态性越强。箱图的另一主要功能是识别数据异常。进行数据分析时，异常数据可能会对分析结果造成影响，因而，通过箱图识别出异常值，并将其剔除，这将有利于数据分析结果的正确性。与其他统计图形相比，箱图可以将多批数据放在同一坐标轴上，并排排列进行对比，使得样本数据特征的分析变得更加容易。

为了更加形象地了解箱图相关结构特点及功能，结合香水实例，使用SPSS Statistics工具绘制出的箱图如图3.1所示，统计分析香水价格的相关情况。

图3.1　香水价格的箱图

图3.1所示箱图有关的几个数据如下。

下限：9.9，由箱子下方的一条线表示，下限由下四分位数减去1.5倍四分位距决定。下四分位：200，由箱子的下边线表示，代表数据的下四分位。中位数：385，由箱子中间的一条线表示，代表数据的中位数，反映了香水价格的平均水平为385。上四分位：600，由箱子的上边线表示，代表数据的上四分位。上限：1189，由箱子上方的一条线表示，上限由上四分位数加上1.5倍的四分位距决定。

从图3.1中可以看到大于上限的圆圈点，这些点就是异常值，分析数据时可将其忽略。此外，这些数据点对应的标号是这些异常点在样本数据之中的位置，可以根据这个位置信息找到该异常点在原始数据中的具体位置。994~1005号数据都是温和异常值，用“o”来表示；1006~1009号数据都是极端异常值，用“∗”表示。

绘制箱图前，有可能需要对数据进行预处理。举例说明：针对香水样本数据，评价量在一定程度上反映销售量，对“探究不同品牌香水评价量相关特征”这一问题进行分析，在未对数据进行预处理之前，使用SPSS Statistics工具绘制箱图，如图3.2所示。

图3.2　不同品牌香水的评价量箱图

由于箱图本身形状怪异，箱子被压扁且有很多的异常值，因而很难从图3.2中得到具体结论。分析其原因，是因为没有对样本数据进行预处理（当然，也不是所有样本数据都需要进行预处理）。针对此类问题，如果数据取值为正数，一个解决方法就是尝试使用对数变换来对数据进行预处理，使幂函数或指数函数的曲线拟合线性化，能够很好地处理不对称分布、非正态分布和异方差等情况。

针对本实例，首先使用对数变换来对样本数据进行预处理。使用底为10的对数进行处理，得到评价的对数变换结果，存储至评价数量这一变量中，然后绘制对数变换后不同品牌香水的评价量箱图，如图3.3所示。

图3.3　对数变换后不同品牌香水的评价量箱图

对比图3.2与图3.3，发现经过对数变换的箱图可更加直观地表现出数据的平均水平、波动程度和偏态等信息。这一点说明不是所有数据都适合画箱图，但是可以利用数据变换进行预处理，使得数据适合用来绘制箱图。

箱图的另一功能是使用定性变量画分组箱图，各个箱图之间作比较。结合前面分析的实例，图3.1只设置了一个定量变量，所以只有一个箱图，而这就让箱图失去了它的一个很重要的功能：多批次数据的对比。而且，一个箱子的箱图是没有必要的，完全可以由直方图来代替。图3.3所示箱图设置了定性变量——商品名称，通过商品名称这一定性变量，就能在一个箱图中绘制多个箱子，在同一水平上对各个箱子相关数据节点进行比较，得到多批次数据之间的关系。