2 实数都是代数方程的根吗？(1)
读者们大都在学校里学过解方程，其中解得最多的就是所谓代数方程，比如3x-1=0，x+2x-8=0，等等。这些方程的一个主要特点，就是每一个包含未知数的项都只包含未知数的正整数次幂。除此之外，代数方程还有一个很重要的特点，那就是项的数目是有限的。
现在，我们要回答这样一个问题：实数都是代数方程的根吗？不过，仅凭上面的定义，这个问题是简单得毫无意义的，因为所有实数r显然都是代数方程x-r=0的根，因此答案是肯定的。为了让问题有一定难度，我们要对上面的定义加一个限制，那就是每一项的系数（包括常数项）都只能是有理数。加上这一限制后的代数方程确切地讲应称为“有理数域上的代数方程”，不过为简洁起见，我们仍将其称为“代数方程”(2)。
现在让我们重新来回答“实数都是代数方程的根吗？”这一问题。首先很明显的是，所有有理数q都是代数方程x-q=0的根。其次，学过一元二次方程的读者都知道，虽然所有系数都被限制为有理数，代数方程的根却不一定是有理数。比如x2-2=0的两个根，
和
，就是无理数。因此，代数方程的根既可以是有理数，也可以是无理数，从而至少在表面上具备了表示所有实数的潜力。
但有潜力不等于能做到，关键得要有证明。最早对“实数都是代数方程的根吗？”这一问题作出回答并给予证明的是法国数学家约瑟夫·刘维尔，他不仅证明了某些实数不是任何代数方程的根，而且还具体构造出了那样的实数，从而以最雄辩的方式给出了答案——否定的答案。
科学人
法国数学家约瑟夫·刘维尔（Joseph Liouville）是最早证明超越数存在的数学家。他于1844年给出了超越数存在的证明，并于1851年具体构造出了用十进位小数表示的超越数。刘维尔在数学及数学物理的某些其他领域也颇有成就。
刘维尔所构造的超越数抽象意义大于实用意义。更具实用意义的超越数，最早是由法国数学家查尔斯·埃尔米特（Charles Hermite）证明的。他于1873年证明了e是超越数。埃尔米特也在其他领域颇有贡献，许多数学及数学物理的术语是以他的名字命名的。
另一位在超越数研究上作出过知名贡献的是德国数学家费迪南·冯·林德曼（Ferdinand von Lindemann）。他于1882年证明了π是超越数。林德曼在数学上没有太多其他贡献，但他有几位极著名的学生，比如著名数学家戴维·希尔伯特（David Hilbert）和赫尔曼·闵科夫斯基（Hermann Minkowski），著名物理学家阿诺德·索末菲（Arnold Sommerfeld）等。
现在我们知道，有很多重要的实数，比如自然对数的底e，圆周率π，等等，都不是代数方程的根。为了便于表述，数学家们把能够用代数方程的根来表示的数称为代数数，把不能用代数方程的根来表示的数称为超越数。实数既包含代数数，也包含超越数。有理数与
是代数数的例子；e和π则是超越数的例子。我们的问题用这一新术语可以重新表述为：实数都是代数数吗？答案则如上所述是否定的。
微博士
刘维尔对超越数存在的证明并不只是构造出少数几个特殊的超越数，而是证明了一大类实数都是超越数。为了纪念他的贡献，那一大类实数被统称为刘维尔数。可以证明，单刘维尔数这一种类型的超越数，就远比代数数多。不过，跟超越数的全体相比，刘维尔数依然只是凤毛麟角。
刘维尔数最初是用连分数来表示的。第一个用十进位小数表示的刘维尔数（也是第一个用十进位小数表示的超越数）是0.110001000…（小数点后面的数字规律是这样的：小数点后第n!——n的阶乘——位的数字为1，其余的数字全都为零）。这个数通常被称为刘维尔常数，但有时候也被称为刘维尔数，虽然它只是无穷多个刘维尔数中的一个。
不过，答案虽然揭晓了，找到或证明一个具体的超越数却往往不是容易的事情。比如对e和π（尤其是π）是超越数的证明就费了数学家们不小的气力。而像e+π和e-π那样的简单组合是否是超越数，则直到今天也还是谜。
接下来我们还可以问一个问题，那就是代数数多还是超越数多？从构造和证明超越数如此困难来看，也许很多读者会猜测是代数数多。事实却恰恰相反。1874年，德国数学家康托尔证明了超越数远比代数数多（这里所涉及的是无穷集合元素数目的比较，具体可参阅前文《无穷集合可以比较吗？》）。事实上，他证明了实数几乎全都是超越数！
超越数的存在不仅仅具有抽象的分类意义，而且可以解决一些具体的数学问题。比如，几何中的“尺规作图”方法所能做出的线段的长度——相对于给定的单位长度——可被证明为只能是代数数(3)。因此π是超越数这一看似只具有抽象分类意义的结果，直接证明了困扰数学家们多年的“尺规作图三大难题”之一的“化圆为方”是不可能办到的。
最后，我们要补充提到的是，代数方程的根既可能是实数，也可能是复数。相应地，代数数和超越数这两个概念也适用于复数，并且与实数域中的情形类似，复数也并不都是代数数（事实上，复数也几乎都是超越数）。
2012年3月19日写于纽约
(1) 本文收录于《十万个为什么》第六版《数学》分册（少年儿童出版社，2013年8月出版），发表稿受到编辑的某些删改，标题改为了《实数都是整数系数代数方程的根吗？》。
(2) 需要提醒读者注意的是，不同文献对“代数方程”的定义不尽相同。在某些文献中，“代数方程”按定义就是“有理数域上的代数方程”。
(3) 但反过来则不然，并不是所有长度由代数数表示的线段都能用“尺规作图”的方法做出。