鹿角御敌

方方正正一座城，廿里城墙好威风；

城外长阔各三尺，插支“鹿角”御敌人。

沿城四周挨墙插，每边五层把城封；

森严壁垒人工造，多少“鹿角”方可成？

这是依据《张丘建算经》中的“城外鹿角”名题编写而成的。题中“廿”表示“二十”。原题的意思是：有一个正方形城，四围周长20里。要在沿城外边每个长宽各3尺的地面上，插防御敌军前进的“鹿角”1支，共插5层。问：需要插鹿角多少支？题目中的“里”是旧制长度单位。“里”在《张丘建算经》成书的年代（公元一二世纪），进率为：1里＝180丈＝1800尺。所以，20里＝36000尺。题中的“鹿角”，是古代军队的一种防御工具，它是把有许多树杈的大树枝削尖，插在交通要道上，成为阻挡敌人前进的工具，形状如鹿角，故称为“鹿角”。怎样来解答这道题目呢？

【答案】在《张丘建算经》上，给出了这道题目的答案。这答案用现代的算式表达，可以是

36000÷3×5＋（5×3）×（5×3）÷（3×3）×4

＝60000＋225÷9×4

＝60000＋100

＝60100（支）

即需要插60100支。

为什么可以这样来解答呢？现将其算理、算法，说明如下。

根据题意，我们可将城外“鹿角”的插法，画示意图如下（图中只画了方城之外一个转角处插法的一小部分情况，“▲”和“△”都表示“鹿角”）：

由这一个转角处的插法，我们不难想象出其他3个转角处以及整个城外的“鹿角”的插法。由此可以看得出来，《张丘建算经》上的这种解法，是先求出正方形城（若是长方形城，也是这样）外面四周4个长方形内的“鹿角”总数（图中用“▲”表示的），再求四角4个正方形内的“鹿角”总数（图中用“△”表示的），然后将两数相加，即得这一结果。这与现今算术中先求“实心方阵”的总数，再减“中空方阵”的总数的算法有所不同。

在算式中冒出的36 000即36 000尺，也就是原题中的20里。但为什么可以列式为36 000÷3×5呢？

本来，先算正方形城每边的尺数，应该列式为“36 000÷4”；再算正方形城四面中每一面的长方形“长”边上所插“鹿角”的支数，应列式为“36 000÷4÷3”。而每面长方形“宽”边上都是插的5支（5层），故又应列式为“36 000÷4÷3×5”，才可求出每面的长方形内插了多少支“鹿角”。又因为这正方形城四面都要插，即有4个这样的长方形，故4个长方形内共插的“鹿角”支数就是：

36 000÷4÷3×5×4（支）

在这个算式中，有“÷4”和“×4”，古人解题时，便将它简化为“36 000÷3×5”。这样一来，不仅使计算变得较为简便了，而且还使这一算法也适用于长方形城了。

现在，我们再来看方城外的4个角。

城外四角上都有用“鹿角”插成的一个正方形（图中用“△”表示的），每个正方形的边长都是（3×5）尺，面积便是（3×5）×（3×5）平方尺。每支“鹿角”占地（3×3）平方尺，所以，每个正方形内就能插“鹿角”：

（5×3）×（5×3）÷（3×3）（支）

4个角上4个正方形内就能插“鹿角”：

（5×3）×（5×3）÷（3×3）×4（支）

最后，将4个长方形内的“鹿角”总数，加上4个角上4个正方形内的“鹿角”总数，当然就是城外所有的“鹿角”数目了。

假如用现在的办法，假定其城内城外都插满了“鹿角”，先求出假定的“鹿角”支数，再减去中间并未插上的支数，即用“假定为实心方阵的支数”减去“空心部分的支数”的解法去解，显然也是容易解答出来的。