考点2　计数问题模块

一、排列组合问题

排列组合是组合学的最基本概念。排列就是从指定的n个元素中取出指定的m个元素进行排序。组合则是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素，而不进行排序。排列组合的核心问题是研究给定的排列组合可能出现的情况总数。

排列公式：n×（n-1）×（n-2）×……×（n-m+1）。

组合公式：

隔板法：在n个元素间插入（b-1）个板，即把n个元素分成b组，且每组不少于一个元素，公式为

插空法：先将其他元素排好，再将指定的不相邻的元素插入它们的间隙或两端位置的方法。

解题思路：先选择，后排序；分布乘法、分类加法；特殊元素优先排。

小试牛刀　1.某领导要把20项任务分配给三个下属，每个下属至少分得三项任务，则共有（　）种不同的分配方式。

A.28　B.36　C.54　D.78

【解析】D 排列组合问题。此题可用隔板法。首先先将20个任务每人分2项任务，此时还有20-2×3= 14个任务，相当于14个任务分给3个下属，每个下属至少1个任务，用隔板法即种不同的分配方式。故选D。

2.有颜色不同的五盏灯，每次使用一盏、两盏、三盏、四盏和五盏，并按一定次序挂在灯杆上表示不同的信号，这些颜色不同的灯共可以表示多少种不同的信号？（　）

A.240　B.300　C.320　D.325

【解析】D 排列组合问题。“按一定次序”可知本题属于排列问题。使用一盏灯可表示种信号，使用两盏灯可表示：种信号，使用三盏灯可表示：种信号，使用四盏灯可表示：种信号，使用五盏灯可表示：种信号，共可表示5+20+60+120+120=325种信号。故选D。

二、概率问题

基本知识点

等可能概率：N个事件，每个事件等可能发生，A包含的事件个数为M，则A发生的概率为

条件概率：在事件A发生的条件下，B发生的概率P

对立事件概率：事件A发生的概率P（A）和不发生的概率的关系是

小试牛刀　1.从3双完全相同的鞋中，随机抽取一双鞋的概率是（　）。

A.　B.　C.　D.

【解析】B 古典概率问题。总的选法种，从三只左脚鞋中选一只有种，从三只右脚鞋中选一只也有种。故所求概率为C

2.某单位分为A、B两个部门，A部门有3名男性，3名女性，B部门有4名男性，5名女性，该单位欲安排三人出差，要求每个部门至少派出一人，则至少一名女性被安排出差的概率为（　）。

A　　B.　C.　D.

【解析】A 排列组合及概率问题。首先分析总的安排情况数：安排三人出差，每个部门至少一个人，则有2种情况：A部门2人，B部门1人和A部门1人，B部门2人，因此所有的情况数为；符合条件的情况数：要求“至少1名女性”，则我们考虑反面情况，出差的人全部为男性的情况有30，因此至少一名女性出差的概率为故选A。

三、集合问题

在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理，也就是集合问题。

容斥问题的难点在于：1、读懂题目难；2、明白各部分间包含关系难；3、计算易出错。解决这类问题一般使用下面两种方法。

（1）公式法：适用于条件与问题都可直接代入公式的题目。核心公式如下：

两个集合公式：A∪B=A+B-A∩B；

三个集合公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C。

（2）文氏图示意法：用图形来表示集合关系，更加直观。

容斥关系文氏图如下：

解题思路：先画文氏图，然后结合公式计算。

小试牛刀　1.旅行社对120人的调查显示，喜欢爬山的与不喜欢爬山的人数比为5∶3;喜欢游泳的与不喜欢游泳的人数比为7∶5;两种活动都喜欢的有43人。对这两种活动都不喜欢的人数是（　）。

A.18　B.27　C.28　D.32

【解析】A 两集合容斥问题。根据题目条件：喜欢爬山的有人，喜欢游泳的有120×　7 7+5 =70人，由两集合容斥公式可得，两种活动都不喜欢的有120-（75+70-43）=18人。故选A。

2.某公司招聘员工，按规定每人至多可报考两个职位，结果共42人报名，甲、乙、丙三个职位报名人数分别是22人、16人、25人，其中同时报甲、乙职位的人数为8人，同时报甲、丙职位的人数为6人，那么同时报乙、丙职位的人数为（　）。

A.5人　B.6人　C.7人　D.8人

【解析】C 三集合容斥问题。根据题目条件：每人至多报考两个职位，即A∩B∩C=0。设同时报乙、丙职位的人数为X，结合公式法列方程为：22+16+25-8-6-X=42，解得X=7。故选C。

四、极值问题

解决一个问题，有很多可行的方案，从这些可行方案中找出最优方案，使得资源得到最合理、有效利用。这就是极值问题，也称抽屉原理。

第一抽屉原理：把多于n+1个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里的东西不少于两件。

第二抽屉原理：把（mn-1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m-1）个物体。

题型特点：当题目中出现了“至多”、“至少”、“最多”、“最少”等字样，即为极值问题。

极值问题的一般解题思路是构造法，运用极端思想，构造满足题目条件的情况。

小试牛刀　1.有100人参加运动会的三个比赛项目，每人至少参加一项，其中未参加跳远的有50人，未参加跳高的有60人，未参加赛跑的有70人。问至少有多少人参加了不止一个项目？（　）

A.7　B.10　C.15　D.20

【解析】B 本题利用最不利原理。需结合集合问题分析，由题可知参加跳远的人数为50人，参加跳高的为40人，参加赛跑的为30人；即参加项目的总人次为120人次，多出20次，是因为有的人参加2项，有的人参加3项。要使参加不止一项的人数最少，则需要使参加2项的人尽可能的少，参加3项的人数尽可能地多。参加两项的人可以为0，设参加3项的人数为x，则50+40+30=120=100+2x，即x=10。故选B。

2.某单位安排职工参加百分制业务知识考试，小周考了88分，还有另外2人的得分比他低。若所有人的得分都是整数，没有人得满分，且任意5人的得分不完全相同，问参加考试的最多有多少人？（　）

A.38　B.44　C.50　D.62

【解析】C 考查极值问题。构造法：88-99分一共有12个分值，任意5人的得分不完全相同，则最多可以使每个分值下都有4人得分一样，共有12×4=48人。另外还有2个人比小周得分低，因此最多有50人参加考试。故选C。