第四节 扩展不确定度

用扩展不确定度来表示测量结果的分散性大小，关键是确定好包含因子。可采用自由度法、超越系数法和简易法等三种方法。其中，自由度法和简易法是国际指南推荐的方法。确定扩展不确定度是为了给出具有完整信息的测量结果，这是测量结果的使用者所期望和关心的。另外，本节还介绍如何规范测量结果的表示方式，包括测量结果报告的内容、测量结果的两种表示方式、数字位数的修约规则，以及测量不确定度在计量中的若干应用。

一、扩展不确定度的评定

（一）基本概念

除在传统场合用合成标准不确定度u_c来表示测量结果的分散性之外，在其他商业、工业和计量法规以及涉及健康与安全的领域，常用扩展不确定度U来表示。扩展不确定度定义为测量结果分散在某区间的半宽度，也就是该测量结果的标准不确定度的几倍。这个倍因子又称为包含因子，常用符号k或k_p表示，p称为包含概率(对随机误差分布而言就是置信概率)。因此对某复现量y的扩展不确定度可以表示为

在不宜混淆的情形，可以简记为

通常，U以较高的包含概率表示被测量Y=y±U。

当测量结果服从或接近正态分布时，可以用自由度法确定包含因子。当没有获得自由度信息而大致知道测量分布且为对称分布的情形，可以根据分布的四阶矩来确定其包含因子，称其为超越系数法。

也有不少场合，因没有关于被测量的标准不确定度的自由度和有关合成分布的信息，难以确定被测量值的估计区间及其包含概率。在这种情形下，国际标准ISO 1993规定取k=2～3。我国国家军用标准规定k=2，美国NIST标准也常取k=2。称其为简易法。

以下分别介绍确定包含因子的三种方法。

（二）自由度法

一般地，假设被测量Y=f（x），许多情形可以近似认为（y-Y）/u_c（y）服从t分布。于是可以按Welch-Satferthwaite公式，计算其有效自由度ν_eff,且取k_p=t_p（ν_eff），有

关于认为(y-Y)/u_c(y)服从t分布的理由可解释如下：在某测量点X₀附近，对Y可一阶近似为Y=C(X-X₀)。由于多个正态分量或多个对称分布分量之线性组合的结果趋于正态分布，而u_c(y)的估计值又可近似为x分布。因此根据t分布的定义，即可认为(y-Y)／u_c(y)近似服从t分布。

例11:某测量结果有彼此无关的A类及B类不确定度分量，见表4-9。求p=0.95情形的扩展不确定度。

解：本题不加说明分布情形，但有五个分量，可以认为其合成结果(y-Y)／u_c (y)服从t分布。首先计算合成标准不确定度

然后计算自由度

再按p=0.95查t分布表得

t₉₅(7.8)=2.31

最后，计算得扩展不确定度

U₉₅=t₉₅(7.8)u_c=2.31×3.5=8.1

例12：设Y=f（X₁、X₂、X₃）=bX₁X₂X₃，输入量X₁、X₂、X₃服从正态分布，分别独立重复测n_l=10、n₂=5、n₃=15次的平均值x₁、x₂、x₃作为它们的估计值，相对标准不确定度分别为u（ x₁ ）/x₁=0.25%，u（ x₂ ）/x₂=0.57%，u（ x₃ ）/x₃=0.82%，试计算、ν_eff及U。

解：由式（4-22），得

由，代回式（4-19），有

按式(4-26)得

k₉₅=t₉₅(ν_eff)=2.09

因此有相对扩展不确定度

（三）超越系数法

结论：假设记若干个不确定度分量u_i，每个分量对应的分布均为对称，它们的超越系数记为合成分布的标准不确定度记为u_c，则有其合成分布的超越系数

各种常见分布不同包含概率的超越系数可查表4-10得到。

例13：已知影响某测量结果有六个主要的不确定度源，其分布及其大小见表4-11。假设它们之间相互独立，试按包含概率p=0.99估计其扩展不确定度。

解：本题把各已知量和待求量的关系通过列表的方式表示出来，表4-11中黑体数字是经计算或查表后填入的，其中按式（4-16 ）求得，然后按式（4-27 ）计算超越系数

按p=0.99查超越系数表(4-10)后插值计算得k₉₉=2.32。

最后，按式(4-24)得扩展不确定度

U₉₉=k₉₉u_c=2.32×0.699=1.6

（四）简易法

用以上两种方法给出一定包含概率的包含因子是有条件的。自由度法认为每个分量接近正态分布，或者其合成分布接近t分布；超越系数法认为每个分量至少是偶对称的，且相互之间独立。因此在各分量分布不甚清楚的情形，难以给出其合成分布的包含因子是k_p。国际标准《测量不确定度指南》(ISO 1993E)约定，在有的场合简单地给出包含因子k=2或3。在这种情形下，不能确知其包含概率。正因为如此，国际测量不确定度工作组建议，将合成的置信因子改称为“包含因子”。当k=2时，可认为接近正态分布，确定的区间具有约95%的包含概率。当k=3时，可认为接近正态分布，确定的区间具有约99%的包含概率。

例14：将以上三个例子改由简易法估计。

解：例1的情形，U=ku_c=2×3.5=7.0(k=2);

例2的情形，=2×1.03%=2.06%（k=2）；

例3的情形，U=ku_c=2×0.699=1.4(k=2);

以上结果与原结果对照，只在第2位数字上有一点差别，在测量结果表示上说明测量不确定度，其使用价值仍然是有效的。

例15：用卡尺对某工件直径重复测了三次，得数据：15.125mm、15.124mm、15.127mm，试写出其测量的最佳估计值和测量重复性。已知该卡尺的产品合格证书上标明其最大允许误差为 0.025mm，假设测量服从三角分布（包含因子取），试表示其测量结果。

解：(1)算术平均值和测量重复性 计算出算术平均值：15.1253mm；用极差法统计得测量重复性：0.0018mm。

(2)用A类评定方法估计测量不确定度分量之一 计算算术平均值的标准偏差(多次测量的重复性） u₁=0.0018mm/=0.001mm。

（3）用B类评定方法估计测量不确定度分量之二。

（4）求合成标准不确定度。

(5)以下求扩展不确定度

1)用自由度法：假设卡尺允许误差极限分量的自由度为v₂=8(估计其不可靠性为25%)，而重复测量分布分量的自由度为ν_l=3-1=2，故按式(4-26)计算自由度

再按p=0.99查表得

t₉₉(∞)=2.576

最后，按式(4-24)得扩展不确定度 U₉₉=t₉₉(∞)u_c=2.576×0.015mm=0.039mm

2）用超越系数法：假设重复测量分布分量服从正态分布，有，卡尺允许误差极限分量服从三角分布，查表有。按式（4-27 ）计算超越系数

按p=0.99查超越系数表得

k₉₉=2.20

最后，按式(4-24)得扩展不确定度U₉₉=k₉₉u_c=2.20×0.015mm=0.033mm

3)用简易法：取k=2，有 U=ku_c=2×0.015=0.030 (k=2)

(6)表示测量结果 测量结果为15.125(15)mm，不同的方法表示如下。

1）自由度法：15.125mm±0.039mm（k=2.58,ρ=0.99,v=∞)。

2）超越系数法：15.125mm±0.033mm（k=2.20,ρ=0.99,v=∞)。

3）简易法：15.125mm±0.030mm（k=2)。

二、测量结果的表示方式

当要给出完整的测量结果时，一般应报告其测量不确定度。报告应尽可能详细，以便使用者可以正确地利用测量结果。为了便于国际和国内的交流，应尽可能地按国际和国内统一规定的表示方式来表述测量结果。

（一）报告的基本内容

当测量不确定度用合成标准不确定度表示时，应给出合成标准不确定度u_c及其自由度ν；当测量不确定度用扩展不确定度表示时，除应给出扩展不确定度U外，还应说明它计算时所依据的合成标准不确定度u_c、自由度ν、包含因子k和包含概率p。

完整的测量结果应包含被测量的最佳估计值及估计值的测量不确定度。典型表达为Y=y±U（k=2），其中Y是被测量的测量结果，y是被测量的最佳估计值，U是测量结果的扩展不确定度，k是包含因子，k=2说明测量结果在y±U区间内的概率约为95%。

为了提高测量结果的使用价值，在不确定度报告中，应尽可能提供更详细的信息。例如，明确说明被测量Y的定义；原始观测数据；描述被测量估计值及其不确定度评定的方法；列出所有的不确定度分量、自由度及相关系数，并说明它们是如何获得的等，以便能充分发挥其传播性的特点。

（二）用合成标准不确定度报告测量结果

在基础计量学研究、基本物理常量测量、复现国际单位制单位的国际比对中，常用合成标准不确定度报告测量结果。它表示测量结果的分散性大小，便于测量结果间的比较。

当测量不确定度用合成标准不确定度表示时，应给出被测量Y的估计值y、合成标准不确定度u_c（y），必要时还要给出合成标准不确定度的有效自由度ν_eff。

测量结果及其合成标准不确定度的报告有一定的形式。例如，标准砝码的质量为m_s，测量结果为100.02147g，合成标准不确定度u_c（m_s）为0.35mg，则报告形式有以下几种：

1）m_s=100.02147g；u_c（m_s）=0.35mg。

2）m_s=100.02147（35）g；括号内的数字是合成标准不确定度，其末位与前面结果的末位数对齐。主要用于公布常数或常量时使用。

3）m_s=100.02147（0.00035）g；括号内的数字是合成标准不确定度，与前面结果有相同计量单位。

（三）用扩展不确定度报告测量结果

除了使用合成标准不确定度的场合外，通常测量结果的不确定度都用扩展不确定度表示。它可以表明测量结果所在的一个区间，以及用概率表示在此区间内的可信程度，可给人们直观的提示。

当测量不确定度用扩展不确定度表示时，应给出被测量Y的估计值y、扩展不确定度U（y）或U_p（y）。U（y）要给出包含因子k值；U_p（y）要在下标中给出包含概率p。必要时要给出获得扩展不确定度所需要的合成标准不确定度的有效自由度ν_eff，以便由p和ν_eff查表得到t值，即k_p值。

测量结果及其扩展不确定度的报告主要有U（y）和U_p（y）两种。此外还可用相对扩展不确定度表示。

1.采用U=ku_c（y）的报告

例16：标准砝码的质量为m_s，测量结果为100.02147g，合成标准不确定度u_c（m_s）为0.35mg，取包含因子k=2。则计算扩展不确定度为U=ku_c（y）=2×0.35mg=0.70mg。

则报告形式可为

1）m_s=100.02147g；U=0.70mg，k=2。

2）m_s =（100.02147±0.00070）g；k=2。

2.采用U_p=k_pu_c（y）的报告

例17：标准砝码的质量为m_s，测量结果为100.02147g，合成标准不确定度u_c（m_s）为0.35mg，ν_eff=9，按p=95%，查t分布值表得k_p=t₉₅（9）=2.26。则计算扩展不确定度为U₉₅=k_pU_c（y）=2.26×0.35mg=0.79mg。

则报告形式可为：

1）m_s =100.02147g；U₉₅=0.79mg，ν_eff=9。

2）m_s =（100.02147±0.00079）g，ν_eff=9。这是推荐的表达方式。

3）m_s =100.02147（79）g，ν_eff=9。

4）m_s =100.02147（0.00079）g，ν_eff=9。

3.采用相对扩展不确定度U_rel=U／y的报告

具体的报告形式有

1）m_s =100.02147g；U_rel=0.70×10^-6，k=2。

2）m_s =100.02147g；U_95rel=0.79×10^-6。

3）m_s =100.02147（1±0.79×10^-6）g；p=95%，ν_eff=9。括号内第二项为相对扩展不确定度U_rel。

例18：已知一圆柱体，由分度值为0.01mm的量具重复6次测量圆柱体的直径D和高度h，测得值（最后一位为估读值）如下：

D_i／mm 10.075 10.085 10.095 10.060 10.085 10.080

h_i／mm 10.105 10.115 10.115 10.110 10.110 10.115

试给出该圆柱体的体积的测量结果报告。

解：第一步，计算圆柱体体积V的最佳估计值。

分别计算直径估计值=10.080mm，高度估计值=10.110mm，则圆柱体体积最佳估值为=806.8mm³。

第二步，进行不确定度评定。

1）分析不确定度来源：由直径D的测量重复性引起的标准不确定度分量u₁，由高度h的测量重复性引起的标准不确定度分量u₂，量具示值误差引起的u₃，对u₁、u₂用A类评定方法，u₃采用B类评定方法。

2）确定u_i，有

，，则，ν₁=5。

，，则，ν₂=5。

由于分辨力引入的不确定度分量有可能大于重复性测量引入的不确定度分量，最好对分辨力引入的不确定度分量进行计算，取两者中的最大值，严格保证取值的正确。此处量具分度值为0.01mm，分辨力引入的不确定度分量按照均匀分布进行B类评定后的结果为，故u_D、u_h取值都没有问题。

由仪器说明书知，测微仪的示值误差为±0.01mm，通常按均匀分布考虑，则 u_y=，由此引起的 D和 h 的标准不确定度分量为， u_3h =。则合成u₃为

取相对标准偏差，则对应的自由度。

3）分析相关性得ρ_ij = 0，也就是3个不确定度分量u₁、u₂、u₃相互独立。

4）合成标准不确定度u_c及ν。

为提高测量结果的可靠程度，此处自由度往低取整，取ν=7，使之更可靠。

5）求扩展不确定度。取p=0.95，自由度ν=7，查t分布表得t_0.95（7）=2.36，即k=2.36，则

U=ku_c=（2.36×1.3）mm³=3.1mm³

第三步，给出测量结果报告。

1）用合成标准不确定度，则测量结果为：=806.8mm³ ， u_c=1.3mm³ ， ν=7.86。

2）用扩展不确定度评定圆柱体体积的测量不确定度，则测量结果为

V=（806.8±3.1）mm³，p=0.95，ν=7

其中，±符号后的数值是扩展不确定度U=ku_c=3.1mm³，是由合成标准不确定度u_c=1.3mm³及包含因子k=2.36确定的。

4.测量结果的数字位数修约规则

用两个近似值表示一个量的数值时，通常规定近似值修约误差限的绝对值不超过末位的单位量值的一半，则该数值从左边第一个不是零的数字起到最末一位数的全部数字就称为有效数字，有几位数字就有几位有效数字。例如3.1415有效位数是5位，其修约误差限为±0.00005。

根据保留数位的要求，每一个量的数值表达需要将末位以后多余位数的数字按照一定规则取舍，这就是数据修约。为准确表达测量结果及其测量不确定度，就需要进行数据修约。参照国际上科学数据的修约规则，简要地总结以下几条原则。

1)最后报告的不确定度有效位数一般不超过两位，多余部分推荐：当保留两位有效数字时，按“不为零即进位”；当保留一位有效数字时，按“三分之一原则”进行修约。

例如，不确定度部分的数据为0.001101，保留两位有效数字，多余位数数字01不为零，故进位为0.001 2。可见，尽管很保守地修约了不确定度部分的第二位数字，但由于还有前一位未修约的数字，故对结果估计的影响不会超过1／10。又例如，不确定度部分的数据为0.001001，要保留一位有效数字。显然，如果按多余位数“不为零即进位”，则三位多余位数数字001不为零，进位为0.002，对结果估计的影响为999／1000，远超过了1／3；如果改“三分之一原则”进行修约，则有三位多余位数001小于该基本单位999的1／3，按微小误差或微小不确定度原则舍弃，原不确定度数据修约为0.001，对结果估计的影响为1／1000；如果不确定度的数据为0.001334，多余位数334大于该基本单位999的1／3，按微小误差或微小不确定度原则，则可将保留的最末位数字加1，原不确定度数据修约为0.002。

2）测量结果（被测量的最佳估计值）的末位一般应修约到与其测量不确定度的末位对齐。即同样单位情况下，如果有小数点，则小数点后的位数一样；如果是整数，则末位一致。例如，被测量的估计值为20.00054，不确定度的数据已修约为0.0012，则被测量的估计值的多余位为4小于5，则按“四舍”原则舍弃，被测量的估计值修约为20.0005；如果被测量的估计值为20.00056，不确定度的数据已修约为0.0012，则被测量的估计值的多余位大于5，则按“六入”原则进位，被测量的估计值修约为20.0006；又如果被测量的估计值为20.00055，不确定度的数据已修约为0.0012，被测量的估计值的多余位“逢五”，则按“逢五取偶”原则进位，被测量的估计值修约为20.0006。

上例说明了测量结果的数字修约规则，如果该例改为不确定度有效位数保留一位，可以类似地按上述两个原则进行修约。例如，被测量估计值20.00054，已修约不确定度数据0.002，则被测量估计值多余位的数字54超过50，按“六入”原则进位为20.001。

总结测量结果的最终表示方式有以下两种。

区间半宽度表示方式：测量结果=最佳估计值±测不准部分(单位)(包含概率，自由度)

标准偏差表示方式：测量结果=最佳估计值(测不准部分)(单位)(自由度)

例19：用卡尺对某工件直径重复测了三次，得数据：15.125mm、15.124mm、15.127mm，试写出其测量的最佳估计值和测量重复性。已知该卡尺的产品合格证书上标明其最大允许误差为 0.025mm，假设测量服从三角分布（包含因子取），试表示其测量结果。

解：1)计算出算术平均值：15.1253；用极差法统计得测量重复性：0.0018。

2)用A类评定方法估计测量不确定度分量之一：计算出算术平均值的标准偏差(多次测量的重复性）0.0018mm/=0.001mm。

3）用B类评定方法估计测量不确定度分量之二：0.025mm/=0.015mm。

4）求合成测量不确定度：=0.015mm。

5)表示测量结果：15.125(15)mm或(15.1255±0.015)mm。