第二节标准不确定度的评定_计量技术与管理工作指南-QQ阅读男生历史网

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第二节标准不确定度的评定

影响测量结果的分量有许多，每个分量对测量结果的分散性都有贡献，按照评定它们分散性大小的方法可以分为两类。标准不确定度的A类评定是指用统计分析一系列观测数据

来评定的方法，并用实验标准偏差来表征。标准不确定度的B类评定是指用不同于统计分析的其他方法来评定，用评估的标准偏差来表征。在基本概念明确的基础上，进一步理解评定方法，并结合几个典型的测量实例进行具体分析计算，才能掌握好测量标准不确定度的评定方法。

一、标准不确定度的A类评定

（一）简单测量的实验标准偏差

这里，简单测量的实验标准偏差是指通过对某分量的若干次直接测量，获得一组实验样本数据，然后根据第三章第二节提到的Bessel公式，即式（3-29）、极差法公式即式（3-36）等统计公式来进行具体计算，获得该分量标准不确定度的A类评定。

此外，在实际工作中还用到其他的实验标准偏差估计公式，如最大残差法、较差法等。这里，简要介绍如下。

最大残差法：

式中系数c_n可查表4-2得到。

表4-2 最大残差法估计系数

较差法(当被测量随时间变化时采用)：

当一组实验样本是在短时间内获得的独立重复测量数据，该实验标准差就是重复性；当一组实验样本是在短时间内不同测量条件下获得的测量数据，该实验标准偏差就是复现性或再现性；当一组实验样本是在规定的长时间内获得的测量数据，该实验标准差就是稳定性等。例如，实验室中公用服务设施的电压、频率、温度、水压等影响量值可能有漂移的情形，就应在规定的长时间内获取测量数据，并通过计算实验标准偏差来表征测量结果的分散性和稳定性。另外，如果当用n次独立观测数据的算术平均值作为测量结果时，则其实验标准偏差是单次测量实验标准偏差的分之一；如果改取其中的m次的平均值时，则该对应的A类标准不确定度为单次测量实验标准偏差的分之一。但是它们的自由度是相同的，都是n-1。

观测次数n原则上取大一些为好，但也要视实际情况而定。当该A类标准不确定度分量对合成标准不确定度的贡献较大时，n不宜太小，一般n应大于5；反之，当该A类标准不确定度分量对合成标准不确定度的贡献较小时，n小一些关系也不大。

（二）测量过程的实验标准偏差

从一个统计控制的测量过程出发，如图4-2所示，按式（4-1）统计其合并标准偏差（曾称联合标准偏差）s_m为

式中 s_j——第j次核查的标准偏差，而且是指单次测量情形的标准偏差；

m——核查次数；

υ_j——第j次核查的自由度。

特别当各次核查的自由度相同时，公式可简化为

图4-2 测量过程的实验标准偏差

在这种情况下，进行n次独立观测，其n次测量算术平均值的标准不确定度则可表示为。

（三）组合测量的实验标准偏差

根据最小二乘法与组合测量的理论，可以知道有以下的组合测量问题的实验标准偏差估计公式。若线性组合测量方程组AX=Y，Y服从正态分布，Y的权为W，则有最小二乘法解

式中 A，A^T——组合测量方程组的系数矩阵及其转置矩阵；

X ——由待求t个参数组成的矩量；

Y ——由 n个已知测得量组成的矢量，n>t；

W ——由矢量Y的n个已知测得量的权系数组成的矢量。

其单位权标准不确定度及其自由度分别为

式中 V,V^T——由线性组合测量方程组的n个残余误差组成的矢量及其转置矢量；

u(X)——由待求t个参数的测量标准不确定度组成的矢量。

（四）拟合测量的实验标准偏差

这里的拟合测量是指从一组实验样本点出发，用回归分析法拟合实验直线，即求取经验公式。由一组实验数据（t_i， V_i），用最小二乘法拟合得到一条直线，该直线参数a、b，及直线上估计值的标准不确定度可以按以下公式计算得到。

例如，标准电池的输出电压值V随时间t线性漂移，由一系列实验数据拟合，得

式中、——时间数据点和电压数据点的算术平均值；

l_tt——时间数据点的方差，；

l_vt——电压和时间数据点的协方差，。

其估计值的标准不确定度

其线性拟合公式的系数估计值b、a的标准不确定度分别为

式中 s——拟合的实验标准偏差，；

n——测量数据点(t_i，V_i)的个数。

（五）阿仑方差

如果被测量是一个动态的随机测量过程，如果仍用Bessel公式、极差法等方法来统计其标准不确定度，可能会造成其计算结果是发散的。因此这里采用一种专门的方差分析方法即较差法来求得其标准不确定度分量。例如，对被测量Y进行m次测量，每间隔τ时间取样一次，每两次测量为一组（Y_i₊₁和Y_i），共m组，求得阿仑（Allan）方差为

即为该被测量Y的标准不确定度分量u(Y)。

（六）在不同时期、不同地点、不同实验室或由不同仪器测量的情形

如果被测量是在不同时期、不同地点、不同实验室或由不同仪器获得，它们的测量条件不能保证相同，则应考虑用以下加权的方法来评定测量结果。根据第三章第三节的内容，可以知道有以下的几个统计公式。

式中 W_i——加权系数，常用；

——各次测量方差的最大值，即。

（七）不同样本的差异不能忽略的情形

当不同样本的差异不能忽略时，还应加上由此引起的方差分量，即

以上总结了一些常见的用统计方法评定标准不确定度的方法，可能还会遇到其他的属于A类评定的方法，有待在实际工作中不断地加以充实和补充。

二、标准不确定度的B类评定

如果因成本、资源和时间等因素的限制，无法或不宜用A类方法来评定测量结果的不确定度，则可设法收集一切对测量有影响的信息，诸如以前的测量数据、手册资料、历史经验和知识等，采用合理的方式同样可以给出被测量估计值x的标准不确定度u(x)。事实上，经对常见的大量实际测量工作的统计调查表明，在实际工作中，采用B类评定方法的情形要比A类评定方法多，而且用B类评定方法的可靠程度并不比A类评定方法差。

（一）B类评定的信息来源

为了获取评定测量不确定度的信息，按照国际标准的规定，除了采用自行测量的数据外，还可合理使用一切非自行统计的其他有用信息源，如：①以前的测量数据；②校准证书、检定证书、测试报告及其他证书文件；③生产厂的说明书；④引用的手册等；⑤测量经验、有关仪器的特性和其他材料的知识。

（二）B类评定的方法

属于B类评定的方法有以下三种情形。

1）根据可利用的信息，分析判断被测量的可能值不会超出的区间（-e，e)及其概率分布，由要求的包含概率估计包含因子k，得标准不确定度为u（x)=e/k。

例1：设校准证书给出名义值10Ω的标准电阻器的电阻R_S=10.00072Ω±13μΩ，包含概率平99%。按正态分布u(R_s)=13μΩ/2.58=5.1μΩ。

例2：机械师测零件尺寸L=10.11mm±0.04mm，经验估计置信水平50%。按正态分布估计u(L)=0.04mm/0.68=0.06mm。

例3：生产制造厂说明书指出，某数字电压表的准确度a=（14×10^-6×读数）+（2×10^-6×量程），其中读数值 0.928571V，量程 1 V。按均匀分布，估计 u（V）=（14×10^-6 ×0.928571V+2×10^-6 ×1V）/=8.7μV。

例4：手册给出纯铜的线胀系数α₆₀=16.52×10^-6℃^-1，最小值e_-=16.40×10^-6℃^-1，最大值e₊=16.92 ×10^-6℃^-1。估计区间e=（ e₊-e_-）/2=0.26 ×10^-6℃^-1 ，按均匀分布，估计u（α₆₀）=0.26×10^-6℃^-1/=0.15 ×10^-6℃^-1。

2）如果根据有用信息得知X的不确定度分量是以标准偏差的几倍表示，则标准不确定度u（X)可简单取为该值与倍数之商。

例5：校准证书指出1000g不锈钢标准砝码的m_s=1000.00325g，该值不确定度按三倍标准偏差为240μg，故估计标准不确定度u(m_s)=80μg。

3）直接凭经验给出标准不确定度u（X)的估计值。

例6：机械师测零件尺寸L=10.11mm，经验估计其标准偏差为0.06mm，故估计其标准不确定度u(L)=0.06mm。

（三）属于B类评定的一些常见情形

1）对某台仪器的测量不确定度信息，经常是简单知道其技术说明书或出厂合格证书等给出的最大允许误差，而该仪器误差具体有多大并不清楚，则该最大允许误差就可作为B类不确定度分量的变化区间的半宽度。剩下的关键问题是如何确定其概率分布。

一个简单的处理办法是，根据比较界限附近与中心值的可能性程度来选择分布，进而确定其包含因子k。这种可能性程度可以是依据专家的经验，也可以按照厂家提供的信息或规定。一般地，认为量值出现在中心附近远多于边界附近，可选为正态分布；而如果量值出现在中心附近与边界附近的机会均等，则可选矩形(均匀)分布；介于两者之间的情形，可选为三角分布。当完全缺乏任何信息，可保守地认为其服从矩形(均匀)分布。例如，光学目视调焦的情形，根据专家经验，一次调焦可视为均匀分布，焦点前与焦点后各调焦一次取平均值则可视为三角分布，二次以上调焦取平均值则可近似视为正态分布。但是这种对光学目视调焦分布情形的分析结论也不完全适合。经实验的统计分析发现，光学目视调焦分布因人和测量仪器的状况不同而差异比较大。在其他测量领域，也可能会出现类似的情形。因此估计统计分布的最好办法，还是尽可能地实现对测量全过程的控制，注意不断地积累有关的信息，包括统计数据和经验分析的结论，在充分掌握有用信息的基础上，可以更可靠地得出对该分布更为符合实际的估计结论。

在明显偏离正态分布和其他常见分布的情况下，当有必要而且有条件采集到反映分布信息时，可以设法用一些统计方法来确定其概率分布。有关概率分布及其包含(置信)因子的估计，可以查阅有关文献。

2）诸如数显器的分辨力、滞后以及有限位数数值计算等引起最小末位数字的不确定度，常记=0.29δx，其中δx为不确定的分布类型（视为均匀分布）。

3）测得的输入量，例如，已校准仪器的单次观测，其不确定度主要来自重复性（其来源于早些时候的测量数据，或根据类似的仪器的已知方差做出估计)；已检定仪器的单次观测，由授权机构的检定给出不确定度的说明；也可能是根据厂家的技术说明书提供的有关不确定度信息的说明。

4）测量方法的不确定度，需凭物理知识来评定，或者靠实验室间交换测量标准和标准物质来提供有用的信息。

5）抽样引起的不确定度，如在自然物质和化学分析中，用方差分析法做仔细的实验设计，或者凭经验、知识和可用的信息来估计。

6）不对称分布的情形，常见的两个例子如下。

例7：用浓度滴定计测定溶液某成分浓度，估计其超额滴定量的不确定度。

解：设超额滴定量服从［0,c₀］的矩形分布，则超额滴定量期望值为c₀/2，标准不确定度为（ c₀/2）；如果设超额滴定量服从（c₀，∞）正态分布，则期望值为，标准不确定度为。

例8：长2m的尺用标准尺检定，瞄准线偏角α=1′，求由此引起的不确定度。

解：因偏角α引起测长L的投影误差δ=L(1-cosα)，δ最大值Δ≈Lα²/2,查相关资料可知投影分布α₂=Δ得δ的标准差σ=3Δ/10=3 Lα²/20，注意到，故u（δ）=σ=1.3×10^-8×2m=26nm。

以上只是总结了B类评定的部分常见情形，依据各自从事的专业工作特点的实际，还可以自行补充与积累适合本专业的B类评定的一些常见情形。

总之，B类评定的可靠性取决于可用信息的质量。在可能情况下，尽量用长期观测值来估计概率分布；A类评定不一定比B类评定可靠，特别是当A类评定时所用的观测数据很有限的情况。

三、两类评定的可靠性

无论是A类评定还是B类评定得到的标准不确定度，本质上都是用实验室标准偏差这个分散性参数来度量的。因此评定标准不确定度的可靠程度都可以通过用估计标准差的相对分散性，即标准差的相对标准差σ(s)/s来衡量。当然，对于用样本统计的A类评定标准不确定度的情形，其样本自由度ν的大小也反映了其评定标准不确定度的可靠程度。事实上，标准差的相对标准差和样本自由度之间有以下的关系式

即

以上公式是从独立正态分布出发，在计算残差平方和的Bessel公式基础上推出的。这里完全可以把它照搬到标准不确定度的两类评定上，用于评定标准不确定度的A类评定和标准不确定度的B类评定的可靠程度。即对于A类评定，可以从被统计的样本数n_A出发，得到自由度ν_A=n_A-1，再折算其估计的标准差的相对标准差σ(u_A)/u_A；对于B类评定，从估计的标准差的相对标准差σ(u_B)/u_B出发，得到自由度ν_B，也可以折算其相当于一个A类评定的样本数n_B=ν_B+1的“统计样本”。