五、对当关系和对偶关系

（一）直言命题对当关系

【思考2-21】　1.所有产品都合格。

如果上述断定为真，试确定以下各断定的真假：

A.所有产品都不合格。

B.有产品合格。

C.有产品不合格。

【解析】　A和C假；B真。

2.有产品不合格。

如果上述断定为真，试确定以下各断定的真假：

A.所有产品都合格。

B.所有产品都不合格。

C.有产品合格。

【解析】　A假；B和C的真假不能确定。

以上所思考的，就是所谓的对当关系。一个对相关知识并不熟悉的人，通过日常思考，完全可以得到正确答案；但熟悉相关知识，有利于正确、迅速地找到答案。

不难发现，所谓对当关系，就是具有相同主谓项的以下四种形式命题之间的真假关系：

所有S都是P。

所有S都不是P。

有的S是P。

有的S不是P。

其中，“所有”称为全称量词；“有的（有些）”称为特称量词。包含全称量词的命题称为全称命题，包含特称量词的命题称为特称命题。直言命题就是具有这四种形式的命题，依次分别称为全称肯定、全称否定、特称肯定和特称否定。

注意以下两点：

第一，关于特称量词“有的”（“有些”）。在日常表达中，当断定“有的S是P”时，通常包含“有的S不是P”的意思。但作为逻辑上的特称命题，当我们断定“有的S是P”，并不包含“有的S不是P”的意思，而仅仅断定：存在S是P，或者说有S是P，至于量的多少则没有断定，可多可少，至少有一，也可以是全体。因此，特称命题也称为存在命题。例如，事实上所有的中国人都是炎黄子孙，相应于这个事实，全称命题“所有的中国人都是炎黄子孙”是真的，特称命题“有些中国人是炎黄子孙”也是真的。MBA试题中的量词“有的”（“有些”）取的是上述逻辑上的规范含义，而不是日常表达中可能的不规范含义。

第二，关于日常语言中直言命题的规范分析。在日常语言中，直言命题大都不是以标准形式表达的，即有时省略了量项或联项，有时使用了不规范的量项或联项。因此，需要对日常语言中不规范表达的直言命题进行规范化整理和分析。这点对综合能力逻辑应试颇具重要性，因为试题所涉及的直言命题很多是不规范表达的。

【思考2-22】　对以下直言命题进行规范化整理：

（1）没有产品合格。

（2）产品不都合格。

（3）没有产品不合格。

（4）产品不都不合格。

【解析】　上述四个命题的规范化整理依次为：

（1）所有产品都不合格。

（2）有的产品不合格。

（3）所有产品都合格。

（4）有的产品合格。

具有相同主谓项的直言命题称为同一素材的。不同素材的直言命题之间一般来说没有直接的真假关系。例如，已知“所有的肝炎都是传染的”真，不能推知“有些癌症不是传染的”的真假，因为这两个命题的素材不同。但同一素材的命题之间就存在直接的真假关系。例如，如果“所有的癌症都不是传染的”真，则“有的癌症是传染的”就一定假。

同一素材的直言命题之间的真假关系，称为对当关系。可用如图2-1所示的方形图来刻画对当关系。这个方形图称为逻辑方阵。

对当关系刻画存在于同一素材的四个直言命题之间的四种逻辑关系：矛盾关系、反对关系、下反对关系和从属关系。

矛盾关系存在于全称肯定命题和特称否定命题，以及全称否定命题和特称肯定命题之间。具有矛盾关系的两个命题，不能同真，也不能同假。具有矛盾关系的两个命题，由其中一个真，可推出另一个假；由其中一个假，可推出另一个真。

反对关系存在于全称肯定命题和全称否定命题之间。具有反对关系的两个命题，不能同真，但可以同假。具有反对关系的两个命题，由其中一个真，可推出另一个假；由其中一个假，不能推出另一个的真假。

下反对关系存在于特称肯定命题和特称否定命题之间。具有下反对关系的两个命题，可以同真，但不能同假。具有下反对关系的两个命题，由其中一个假，可推出另一个真；由其中一个真，不能推出另一个的真假。

从属关系存在于全称肯定命题（A）和特称肯定命题（I），以及全称否定命题和特称否定命题之间。从属关系就是“则”所表达的条件关系：如果A真，则I真；如果I假，则A假；如果A假，则I不能确定真假；如果I真，则A不能确定真假。类似的关系也存在于全称否定命题和特称否定命题之间。

根据对当关系，由一个直言命题的真假，可推断出同一素材其他命题的真假情况（这种真假情况包括三种：真、假或真假不能确定）。在作此推断时，只需运用矛盾关系和从属关系；反对关系和下反对关系对于进行对当关系推理不是必要的。从应试角度，下反对关系可以就此忽略不计；反对关系在识别“不当两不可”、“非黑即白”谬误时有用，MBA试题涉及对这类谬误的识别，后面要讨论。

依据矛盾关系进行推理非常直观；依据从属关系，可运用下面四句口诀：

上真则下真，下假则上假。

上假则下不定，下真则上不定。

具有从属关系的两个命题，一个是全称，一个是特称。在逻辑方阵中，全称在上，特称在其正下方。口诀中的“上”、“下”就是这个意思。这四句口诀，实际就是“则”的推理规则。

因此，和应试相关，上述逻辑方阵可简化为如图2-2所示：

【思考2-23】　已知“所有的公民都要守法”真，求同一素材其他命题的真假。

【解析】　由条件，已知全称肯定命题真。

依据矛盾关系，由全称肯定真可推知特称否定假，即“有公民不要守法”假。

依据从属关系，由特称否定假可推知全称否定假（下假则上假），即“所有公民都不要守法”假。

依据矛盾关系，由全称否定假可推知特称肯定真，即“有公民要守法”真。

【例2-33】　这幢楼的住户中，发现有外来人口未到街道办事处登记。

如果这一断定是真的，则在下述三个断定中不能确定真假的是：

Ⅰ.这幢楼中有外来人口居住。

Ⅱ.这幢楼中所有的外来人口都已到街道办事处登记。

Ⅲ.这幢楼中有的外来人口已到街道办事处登记。

A.Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ。

B.只有Ⅰ和Ⅱ。

C.只有Ⅲ。

D.只有Ⅱ。

E.Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ都能确定真假。

【解析】　题干断定“有外来人口未到街道办事处登记”，因此，这幢楼中有外来人口居住，即Ⅰ为真。

根据直言命题的对当关系，“有外来人口未到街道办事处登记”和“这幢楼中所有的外来人口都已到街道办事处登记”是矛盾关系，由前者真可推知后者假，即Ⅱ为假。Ⅱ和Ⅲ是从属关系，由Ⅱ假，不能确定Ⅲ的真假（上假则下不定）。答案是C。

有一点要附加说明：对当关系的成立，是以直言命题的主项非空（即主项所断定的对象是存在的）为条件。如果主项是空概念，即它所断定的对象不存在，那么，对当关系就不普遍成立。例如，所有的永动机造价都很高，这是全称肯定命题，有的永动机造价不高，这是特称否定命题，根据矛盾关系，它们必有一真一假。我们很难设想，其中哪个命题是真的，因为永动机是不可能存在的。

【思考2-24】　甲班班长考试及格了。

如果上述断定为真，求以下命题的真假情况；如果上述断定为假，求以下命题的真假情况。

（1）甲班同学考试都及格了。

（2）甲班同学考试都没及格。

（3）有的甲班同学考试及格了。

（4）有的甲班同学考试没及格。

【解析】　由“班长考试及格”真，得“有的甲班同学考试及格了”真。根据对当关系，得“甲班同学考试都没及格”假；“甲班同学考试都及格了”和“有的甲班同学考试没及格”真假不定。

由“班长考试及格”假，得“班长考试没及格”真，得“有的甲班同学考试没及格”真。根据对当关系，得“甲班同学考试都及格”假；“甲班同学考试都没及格”和“有的甲班同学考试及格”真假不定。

【例2-34】　在某次税务检查后，四个工商管理人员有如下结论：

甲：所有个体户都没纳税。

乙：服装个体户陈老板没纳税。

丙：有个体户纳了税。

丁：有个体户没纳税。

如果四人中只有一人断定属实，则以下哪项是真的？

A.甲断定属实，陈老板没有纳税。

B.丙断定属实，陈老板纳了税。

C.丙断定属实，但陈老板没纳税。

D.丁断定属实，但陈老板纳了税。

E.依据题干条件推不出确定结论。

【解析】　甲的断定是全称否定，丙的断定是特称肯定，互相矛盾，必有一真一假。由条件，四人中只有一人的断定属实，因此，乙和丁的断定都不属实。由乙的断定为假，可推知“陈老板纳了税”；丁的断定是特称否定，由特称否定假，根据矛盾关系，可推断全称肯定真，由全称肯定真，根据从属关系，可推断特称肯定真，即丙断定属实。因此，可得结论“丙断定属实，陈老板纳了税”。答案是B。

（二）模态对当关系

“必然”、“可能”称为模态算子。包含模态算子的命题，称为模态命题。例如，“明天可能下雨”和“犯罪必然受到法律制裁”都是模态命题。

在日常语言中，“必然”有时表达为“一定”，“可能”有时表达为“也许”。

类似于逻辑方阵，对于任意命题A，必然A、必然非A、可能A和可能非A这四个命题的真假关系，可用图2-3表示，这一图形称为模态方阵。

考虑到与应试解题的相关性，只要记住矛盾关系和反对关系就可以了。相应的从属关系和下反对关系都是成立的，但与应试解题无关，忽略不计。

必然A和可能非A互相矛盾；必然非A和可能A互相矛盾。记住以下等值式：

不必然A=可能非A

不必然非A=可能A

不可能A=必然非A

不可能非A=必然A

必然A和必然非A互相反对，即不能同真，但可以同假。

（三）算子、量词的对偶和否定

“且”和“或”称为真值算子；“必然”和“可能”称为模态算子；真值算子和模态算子统称算子。量词分为全称量词“所有”和特称（存在）量词“有些（有的）”。

否定“且”，得到肯定“或”；否定“或”，得到肯定“且”。

否定“必然”，得到肯定“可能”；否定“可能”，得到肯定“必然”。

否定“所有”，得到肯定“有的”；否定“有的”，得到肯定“所有”。

“且”与“或”，“必然”与“可能”，“所有”与“有些”，这三对互称为“对偶”，即否定其中一个，得到肯定另一个。记住以下的对应：

如果一个命题中连续出现多个算子或量词，对其否定所得到的结果可简捷地连续运算。这种运算就是对连续出现的量词或算子依次进行否定，得出其“对偶”，同时将否定词后移到恰当位置。

请结合试题细心地理解上面这段话，这将大大减低相关类型试题的主观难度。

【例2-35】　不一定所有的花都结果。

如果上述断定为真，则以下哪项必定为真？

A.可能所有的花都不结果。

B.可能有的花不结果。

C.可能有的花结果。

D.必然有的花结果。

E.必然有的花不结果。

【解析】

注意题干和正确答案的对偶词的对应：

答案是B。

【例2-36】　不可能所有商品既价廉又物美。

以下哪项最准确地表达了上述断定的意思？

A.可能有的商品价廉但物不美。

B.可能所有商品都不能既价廉又物美。

C.必然有的商品价廉但物不美。

D.必然有的商品物美但价不廉。

E.必然有的商品价不廉或物不美。

【解析】　

注意题干和正确答案的对偶词的对应：

答案是E。

【例2-37】　美国前总统林肯说，你可能在某个时刻欺骗所有的人，你也可能在所有的时刻欺骗某个人，但你不可能在所有的时刻欺骗所有的人。

如果林肯的上述断定成立，则以下哪项一定成立？

A.总有某个时刻所有的人你都必然骗不了。

B.林肯可能在任何时候都不受骗。

C.有的人在任何时候你都必然骗不了。

D.总有人在某个时刻必然不受你骗。

E.必然有某个时刻你骗不了所有人。

【解析】　

注意题干和正确答案的对偶词的对应：

答案是D。

【例2-38】　一方面确保法律面前人人平等，同时又允许有人触犯法律而不受制裁，这是不可能的。

以下哪项最符合题干的断定？

A.或者允许有人凌驾于法律之上，或者任何人触犯法律都要受到制裁，这是必然的。

B.任何人触犯法律都要受到制裁，这是必然的。

C.有人凌驾于法律之上，触犯法律而不受制裁，这是可能的。

D.如果不允许有人触犯法律可以不受制裁，那么法律面前人人平等是可能的。

E.一方面允许有人凌驾于法律之上，同时声称任何人触犯法律都要受到制裁，这是可能的。

【解析】　题干断定：

“¬人人平等”即“允许有人凌驾于法律之上”；“¬有人犯法不究”即“任何人触犯法律都要受到制裁”。答案是A。

【例2-39】　所有错误决策都不可能不付出代价，但有的错误决策可能不造成严重后果。

如果上述断定为真，则以下哪项一定为真？

A.有的正确决策也可能付出代价，但所有的正确决策都不可能造成严重后果。

B.有的错误决策必然要付出代价，但所有的错误决策都不一定造成严重后果。

C.所有的正确决策都不可能付出代价，但有的正确决策也可能造成严重后果。

D.有的错误决策必然要付出代价，但所有的错误决策都可能不造成严重后果。

E.所有错误决策都必然要付出代价，但有的错误决策不一定造成严重后果。

【解析】　注意题干和正确答案的对偶词的对应：

答案是E。

注意：

所有错误决策都不可能不付出代价≠不可能所有错误决策都不付出代价

所有错误决策都不可能不付出代价=所有错误决策都必然付出代价

不可能所有错误决策都不付出代价=必然有的错误要付出代价

【例2-40】　*某公司规定，在一个月内，除非每个工作日都出勤，否则任何员工都不可能既获得当月绩效工资，又获得奖励工资。

以下哪项与上述规定的意思最为接近？

A.在一个月内，任何员工如果所有工作日不缺勤，必然既获得当月绩效工资，又获得奖励工资。

B.在一个月内，任何员工如果所有工作日不缺勤，都有可能既获得当月绩效工资，又获得奖励工资。

C.在一个月内，任何员工如果有某个工作日缺勤，仍有可能获得当月绩效工资，或者获得奖励工资。

D.在一个月内，任何员工如果有某个工作日缺勤，必然或者得不了当月绩效工资，或者得不了奖励工资。

E.在一个月内，任何员工如果有工作日缺勤，必然既得不了当月绩效工资，又得不了奖励工资。

【解析】

答案是D。

（四）综合样题

【例2-41】　已知“基本粒子不都可分”真，则据此不能确定真假的命题是：

Ⅰ.所有的基本粒子都可分。

Ⅱ.所有的基本粒子都不可分。

Ⅲ.有的基本粒子可分。

Ⅳ.有的基本粒子不可分。

A.只有Ⅰ和Ⅳ。

B.只有Ⅱ和Ⅲ。

C.只有Ⅲ。

D.Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ。

E.Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ都能确定真假。

【解析】　题干“基本粒子不都可分”的规范形式是“有的基本粒子不可分”，同Ⅳ，是特称否定命题。Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别是全称肯定、全称否定、特称肯定命题。由特称否定命题真，只能推出全称肯定命题假，不能推出全称否定和特称肯定命题的真假。答案是B。

【例2-42】　*小东在玩“勇士大战”游戏，进入第二关时，界面出现四个选项。第一个是“选择任意选项都需要支付游戏币”，第二个选项是“选择本项后可以得到额外游戏奖励”，第三个选项是“选择本项游戏后游戏不会进行下去”，第四个选项是“选择某个选项不需要支付游戏币”。

如果四个选项中的陈述只有一句为真，则以下哪项一定为真？

A.选择任意选项都需要支付游戏币。

B.选择任意选项都不需要支付游戏币。

C.选择任意选项都不能得到额外游戏奖励。

D.选择第二个选项后可以得到额外游戏奖励。

E.选择第三个选项后游戏能继续进行下去。

【解析】　第一个选项和第四个选项互相矛盾，必有一真。因此第二和第三个选项为假。由第三个选项假可得：选择第三个选项后游戏能继续进行下去。答案是E。

【例2-43】　北方人不都爱吃面食，但南方人都不爱吃面食。

如果已知上述第一个断定真，第二个断定假，则以下哪项据此不能确定真假？

Ⅰ.北方人都爱吃面食，有的南方人也爱吃面食。

Ⅱ.有的北方人爱吃面食，有的南方人不爱吃面食。

Ⅲ.北方人都不爱吃面食，南方人都爱吃面食。

A.只有Ⅰ。

B.只有Ⅱ。

C.只有Ⅲ。

D.只有Ⅱ和Ⅲ。

E.Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ。

【解析】　“北方人不都爱吃面食”等同于“有的北方人不爱吃面食”。由“有的北方人不爱吃面食”真，可推出“北方人都爱吃面食”假，不能确定“有的北方人爱吃面食”与“北方人都不爱吃面食”的真或假。

由“南方人都不爱吃面食”假，可推出“有的南方人爱吃面食”真，不能确定“有的南方人不爱吃面食”与“南方人都爱吃面食”的真或假。

因此在复选项中，Ⅰ能确定真假，Ⅱ和Ⅲ不能确定真假。答案是D。

【例2-44】　世界上不可能有某种原则适用于所有不同的国度。

以下哪项与上述断定的含义最为接近？

A.有某种原则可能不适用于世界上所有不同的国度。

B.有某种原则必然不适用于世界上所有不同的国度。

C.任何原则都必然有它适用的国度。

D.任何原则都必然有它不适用的国度。

E.任何原则都可能有它不适用的国度。

【解析】

注意题干和正确答案的对偶词的对应：

答案是D。

【例2-45】　林园小区有住户家中发现了白蚁。除非小区中有住户家中发现白蚁，否则任何小区都不能免费领取高效杀蚁灵。静园小区可以免费领取高效杀蚁灵。

如果上述断定都真，则以下哪项据此不能断定真假？

Ⅰ.林园小区有的住户家中没有发现白蚁。

Ⅱ.林园小区能免费领取高效杀蚁灵。

Ⅲ.静园小区的住户家中都发现了白蚁。

A.只有Ⅰ和Ⅲ。

B.只有Ⅰ和Ⅱ。

C.只有Ⅱ和Ⅲ。

D.Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ。

E.Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ都能断定真假。

【解析】　题干作了如下三个断定：

断定一：林园有住户发现白蚁。

断定二：¬有住户发现白蚁→¬可领取杀蚁灵

=可领取杀蚁灵→有住户发现白蚁

断定三：静园可领取杀蚁灵。

和选项Ⅰ相关的是断定一。由断定一真，不能断定选项Ⅰ的真假，这是根据对当关系。

和选项Ⅱ相关的是断定一和断定二。但由这两个断定的真，不能断定选项Ⅱ的真假。这是根据“→”的推理规则。

和选项Ⅲ相关的是断定二和断定三。由这两个断定的真，可推出“静园小区有住户家中发现白蚁”真，但由“静园小区有住户家中发现白蚁”真，不能确定选项Ⅲ的真假，这是根据对当关系。答案是D。

【例2-46】　甲说：“我班所有同学都已申请了贷款。”

乙说：“如果班长申请了贷款，那么学习委员就没申请。”

丙说：“班长申请了贷款。”

丁说：“我班有人没有申请贷款。”

已知四人中只有一人说假话，则可推出以下哪项结论？

A.甲说假话，班长没申请。

B.乙说假话，学习委员没申请。

C.丙说假话，班长没申请。

D.丁说假话，学习委员申请了。

E.甲说假话，学习委员没申请。

【解析】　甲的断定是全称肯定命题，丁的断定是特称否定命题，互相矛盾，必有一假。因此，乙和丙说的是真话。可得：班长申请了贷款；学习委员没申请。因此，甲说的是假话。答案是E。

【例2-47】　某旅游团去商店购买纪念品。已知：

Ⅰ.有人买了蒙古刀。

Ⅱ.有人没有买蒙古刀。

Ⅲ.该团的张先生和王女士都买了蒙古刀。

如果以上三句话中只有一句为真，则以下哪项肯定为真？

A.张先生和王女士都没有买蒙古刀。

B.张先生买了蒙古刀，但王女士没有买蒙古刀。

C.该旅游团的李先生买了蒙古刀。

D.张先生和王女士都买了蒙古刀。

E.以上断定都不一定为真。

【解析】　Ⅲ不可能真，否则Ⅰ和Ⅲ都真，违反条件。

因此有：¬（张买刀∧王买刀）=¬张买刀∨¬王买刀

可得：Ⅱ真。

因此：Ⅰ假。

可得“所有人都没买刀”。

因此有“张先生和王女士都没有买蒙古刀”。答案是A。