2.6 本章小结

本章采用重心Lagrange插值近似单元未知函数，获得了精确单元插值微分矩阵，通过有限元节点共享特性获得了全局插值微分矩阵。对于任意载荷的振动问题，Chebyshev谱元法均可以获得很高的精度，特别是当仿真时间较长时，更能体现其优越性，并且可以克服配点法对仿真时间长的振动问题得不到可用解的缺点。不仅对于任意载荷的一维振动问题，而且对于任意载荷的连续体振动问题，Chebyshev谱元法同样可以获得满意的解，为进一步求解动力学问题及其优化设计提供了参考。

针对冲击载荷的特点，并结合谱元法精度高的优点，设定载荷中心单元尺寸与两侧单元尺寸的比值来适应载荷的突变性，使单元的离散与冲击载荷的变化相适应。在单元数、尺寸、插值次数相同的前提下，对求解冲击载荷的动态响应问题，聚集单元谱元法比等距单元谱元法精度高。从动态问题的标准形式，到线性单自由度系统，124杆平面桁架；再到连杆小头问题的冲击载荷动态响应分析结果，都说明了谱元法的可行性和有效性，为进一步研究冲击载荷作用下的结构动态响应提供了参考。

通过获得非线性代数方程组，并结合Newton-Raphson法，可以同时获得非线性振动问题的位移和速度，进而通过微分方程中加速度与位移和速度的关系求出加速度；对于非线性单摆振动问题，在求出角位移后，结合二分法可以精确求出不同初始摆角时的角频率，并与其他方法进行比较，进而说明谱元法的精度最高。