第3章 一种高效的弧长参数化路径系统

作者：王清源

摘要

2015年在某跑酷类游戏中想要实现一些创意玩法，需要一个路径系统，人物的移动靠路径引导，并且在路径上有简单的物理运动（走、跑、跳和碰撞反馈）。当时考察了一系列Unity与路径相关的插件，它们均不能满足需求。特别是弧长参数化的特性，即令曲线的参数t与曲线的长度L为线性关系，从而将参数t的线性变化映射到长度的线性变化上，实现曲线上的匀线速度运动，这一点是实现路径上物理运动的基础[1]。个别插件实现了类似的功能，但是其原理为暴力的线性插值，根据设定的精度将曲线拆成折线段组成的查找表，需要序列化和缓存大量的数据，对内存和包量并不友好。

该路径系统的主要流程如下：

（1）使用最小二乘法，用多项式拟合路径曲线的长度函数的反函数，利用拟合的反函数实现弧长参数化，这样只需要保存少数的多项式系数，运行时对多项式求值即可，无须保存一个巨大的查找表和进行查表操作，而可以直接求解。

（2）根据实际需求，没有使用常见的三次多项式曲线，而是构造了一条二次多项式样条曲线，目的是简化各种曲线的求交计算，同时维持C1连续。

（3）在弧长参数化的基础上，把普通的运动计算映射到曲线上，以曲线的局部切空间标架为基准实现了曲线上的简单物理运动，在曲线上也有可信的运动表现。