附录二 剩余价值率的数学表示

一、第一种数学表示

用Xa表示生产过程的实际效率，用N表示就业工人的数量。当每个工人工作的时间为T时，就有等式

该式表示生产过程中实际使用的劳动量。

假定每个工人的消费品为C，工人的劳动都是同质劳动，那么N个工人所需的维持自己和家属生活的消费品为CN。生产CN所需要的劳动量就是马克思所说的必要劳动量，用LX表示，它满足下面的条件：

该式表示：实际产量（BX）大于或等于生产中的投入品（AX）与工人的消费品（CN）之和，并且生产的效率为正值，这是生产过程得以进行的条件。

用X0表示这个最小化问题的解，可以看出必要劳动等于LX0，从而剩余劳动就是TN－LX0，或者LXa－LX0。因此，就有下面的剩余劳动与必要劳动的比率：

这就是马克思的剩余价值率或剥削率的一种定义，对于一切以剥削为基础的生产方式，这种表达方法是一致的。

二、第二种数学表示

就资本主义生产方式而言，工人所得到的只是劳动力的价值，即每个劳动日的工资恰好等于只够工人购买维持他及其家庭一天生活的必需品的价值，因此，在工人的预算方程中，储蓄为零，即

劳动力的价值可以这样确定，若工人自己拥有生产其必需品的全部生产资料，则他必定只工作最少的时间，用λ*c劳动小时表示。但是在资本主义经济中，由于他不占有任何生产资料，他必须以一天劳动T小时交换他用以购买消费品C的工资w，因此，λ*c也是以

为限定条件的LX的最小值。

由此，又可以得到下面的剩余价值率或剥削率的公式：

这是马克思的另一种剩余价值率或剥削率，它表示无偿劳动和有偿劳动的比率。

三、第三种数学表示

最后，从产品的构成和分配上说，剩余价值依赖于剩余产品或净产品。剩余价值从根本上说是总产品中有限的一部分价值，年生产首先必须提供那些资本的物质构成赖以存在的东西，即在一年中消耗的必须重置的生产资料，扣除这些生产资料后就会剩有净产品或剩余产品，在这个净产品或剩余产品中存在着剩余价值。

当--表示生产过程的实际效率向量时，总产品和它们在生产过程中消耗的生产资料数量可以分别用BXa和AXa表示，N个工人生活中所消费的消费品的数量为CN，则剩余产品向量为

在马克思的定义中，有时把净产品作为剩余产品的同义语使用，有时又把净产品看作总产品中由工人消费掉的部分和剩余产品的总和。但是，二者是有区别的。按照后一个意思，净产品y的向量是由下面的公式给出的：

净产品的总价值现在是根据生产y所需要的劳动来确定的，那就是以

为限定条件的LX的最小值。

同样，N个工人所需要的维持他们及其家庭生活的必需品的总价值是以BX≥AX+CN, X≥0即式（附2—1—2）为限定条件的LX的最小值。

把这些最小值分别用λ*y和λ*CN表示，剩余价值或剩余产品E的总价值就确定为由λ*y减去λ*CN。按马克思的概念λ*CN为可变资本，是唯一可以创造剩余价值的资本，因此，剩余价值与它的比值就是剩余价值率，即

该式既表明可变资本是创造剩余价值的源泉，又说明工人受剥削的程度。

以上所确定的三个数量比率（即剩余劳动与必要劳动的比率、无偿劳动与有偿劳动的比率、剩余价值与可变资本的比率）之间，按马克思的证明，存在着相等的关系，即

在式（附2—3—5）中，前一个等式（即el＝ep）很容易证明：把表示必要劳动的λ*CN和表示有偿劳动的λ*c加以比较，根据定义，λ*CN是以式（附2—3—3）为限定条件的LX的最小值，λ*c是以式（附2—3—3）为限定条件的L X的最小值。那么，可以看出，λ*C N＝Nλ*c（令LX是以式（附2—3—3）为限定条件的X＝X0时的最小值λ*c，再令LX是以式（附2—3—3）为限定条件的X＝X0N时的最小值λ*CN。由于式（附2—3—2）是式（附2—3—3）乘以N，所以，λ*c＝LX0, λ*CN＝LX0N，从而λ*CN＝Nλ*c），这样就有

其中，TN表示实际就业量。

所以根据式（附2—3—6）和式（附2—3—2）可得：el＝ep，也就是说，剩余劳动与必要劳动的比率等于无偿劳动与有偿劳动的比率。

下面分析式（附2—3—5）的后一个等式。

若实际就业量TN等于生产净产量（y＝CN+E）所需要的最少劳动量λ*y，那么，显然由剩余劳动/必要劳动的比率和剩余价值率的定义可得ep＝es，因此，第二个等式成立。但是，在资本主义经济中效率向量是由利润最大化原理决定的，而不是由劳动有效利用原理决定的，实际效率向量在一般情况下，可能不等于有效效率向量，比如说Xy（它是以BX≥AX+y, X≥0为限定条件的LX的最小值）。由于TN＝LXa，λ*y＝LXy，因此一般来说，TN不一定等于λ*y。另外，从式（附2—1—1）和式（附2—1—2）可知，Xa是这个最小化问题的一个可行解。因而，这个一般结论就可化为TN≥λ*y，从而就形成了这样一种关系：