基本知识

一、正弦交流电

1.交流电

一个直流理想电压源E作用于电路时，电路中的电压U和电流是不随时间变化的，如图2-1（a）所示。即电压的大小和极性、电流的大小和方向都是不随时间变化的，这种恒定的电压电流统称为直流电量。

如果一个随时间按正弦规律变化的理想电压源e作用于电路，则电路中的电压U和电流i也将随时间按正弦规律变化，如图2-1（b）所示。电压U正负交替变化，说明电压U不仅大小随时间变化，而且实际极性也不断地随时间变更。同样，电流i的正负交替变化，说明电流的实际方向在不断地随时间变更。这种随时间按正弦规律周期性变化的电压（电流），称为正弦交流电压（电流）。正弦交流电压和电流常统称为正弦电量，简称正弦量。

2.交流电三要素

（1）正弦量的数学表达式和三要素

正弦电量在任一瞬时的值称为瞬时值，用小写字母u、i、e分别表示正弦电压、电流、电动势的瞬时值。现以电压为例说明正弦量的数学表达式和三要素。

图2-2所示为正弦电压u的波形图，图中T为电压u变化一周所需的时间，称为周期，其单位为秒（s）。电压u每秒变化的周数为，称为频率，用f表示，即

频率的单位为赫[兹]（Hz）。我国和大多数国家都采用50Hz作为电力系统的供电频率。

对于图2-2所示的正弦电压u，其瞬时值可用正弦函数表示，即

u=Umsinω（t+t0）=Umsin（ωt+φu）　　（2-2）

由式（2-2）可知，对于一个正弦电压u，如果Um、ω、φu为已知，则电压u与时间t的函数关系就是唯一确定的，因此Um（幅值）、ω（角频率）、φu（初相位）称为正弦电压u的三要素，现分述如下：

①角频率。式（2-2）中的ω在数值上等于单位时间内正弦函数辐角的增长值，称为角频率，它的单位为弧度每秒（rad/s）。由于在一个周期内辐角增长2π弧度，所以

式（2-3）表明了正弦量的角频率ω与周期T、频率f之间的关系。ω、T、f都是表示正弦量变化快慢的物理量，只要知道其中的一个，另外两个量就可求得。

②幅值。由于正弦函数的最大值为1，所以式（2-2）中的Um为电压u的最大值，又称幅值。用带下标m的大写字母表示幅值，正弦电流和电动势的幅值分别用Im、Em表示。

③初相位。式（2-2）中，正弦函数的辐角ωt+φu称为正弦量的相位角，简称相位。t=0时的相位角φu称为初相角或初相位。

初相位的单位为弧度（rad），有时为方便也可用度（°）。习惯上把初相位的取值范围定为（-π～+π）。

由上述可知，角频率（或频率）、幅值、初相位是确定一个正弦量的三个要素。电路中所谓求某一个正弦电量，也就是求出它的三要素。而在正弦交流电路中，由于各正弦量的频率是相同的，往往只要求得幅值和初相位就可以了。

（2）有效值

为方便起见，工程中常用有效值来计量正弦电压、电流的大小。有效值是按照周期电流i与某个直流电流I热效应相等的观点来定义的。

周期电流i流过电阻器R，在一个周期T的时间内产生的热量（以焦[耳]为单位）为

直流电流I流过同一电阻器R，在一个周期T的时间内产生的热量（以焦[耳]为单位）为

Qd=RI2T

如果周期电流i产生的热量Qa与直流电流产生的热量Qd相等，则此直流电流的数值I称为周期电流i的有效值。因此，周期电流i与其有效值I的关系为

由此可得周期电流i的有效值为

故有效值又称均方根值。

如果i为正弦电流，即i=Imsinωt，则其有效值为

在讨论正弦交流电路时，用不带下标的大写字母I、U、E分别表示正弦电流、电压、电动势的有效值。式（2-5）的结论同样适用于正弦电压和电动势，即

在交流电路中，一般所讲电压或电流的大小都是指有效值。例如，交流电压220V，就是说这个正弦交流电压的有效值为220V，其最大值为，即。一般交流电压表和电流表的读数，也是被测电量的有效值。输电、配电导线截面积的大小也应按工作电流的有效值查表选用。

（3）相位差

在正弦交流电路中，有时常比较两个同频率正弦量的相位。例如，正弦电压u和电流i为同频率的正弦量，其波形如图2-3所示，u、i可分别表示为

u=Umsin（ωt+φu）

i=Imsin（ωt+φi）

两个同频率正弦量的相位角之差称为相位差，可用φ表示。

这里u、i的相位差为

φ=（ωt+φu）-（ωt+φi）

=φu-φi　　（2-6）

即两个同频率正弦量的相位差等于它们的初相位之差。两个正弦量的相位差不为零，则说明它们不同时到达零值或最大值。

如图2-3所示，φu>φi，则电压u比电流i先到达正的最大值，就说电压u在相位上比电流i超前φ角，或者说电流i比电压u滞后φ角。

如果两个同频率正弦量的初相位相同，相位差为零，则说这两个正弦量同相，例如在图2-4（a）中，电流i1与i2同相，它们同时到达零值或最大值。如果两个同频率正弦量的相位差为180°，则说这两个正弦量反相。例如在图2-4（b）中，电流i1与i3反相，任一瞬时一个电流为正值，则另一个电流为负值。

二、交流电中的电阻、电感、电容的特性

为方便起见，在讨论正弦交流电路时，可以在几个同频率正弦量中，令其中某一个正弦量的初相位为零，这个正弦量称为参考正弦量，它的相量称为参考相量。选定参考正弦量后，并不改变各正弦量之间的相互联系，因此不会影响电路分析的结果。

在比较同一支路的电压u与电流i的相位时，规定u、i的相位差为

φ=φu-φi　　（2-7）

若φ>0，则说明φi<φu，电流i滞后于电压u；若φ<0，则说明φi>φu，电流i超前电压u；若φ=0，则电流i与电压u同相。

1.电阻元件的正弦交流电路

（1）电压、电流关系

图2-5（a）所示是一个线性电阻元件的交流电路。电阻元件的电压、电流关系由欧姆定律确定，在u、i参考方向一致时，两者的关系为u=Ri。

设电流为参考正弦量，即

i=Imsinωt　　（2-8）

则　　

u=Ri=RImsinωt=Umsinωt　　（2-9）

由式（2-8）、式（2-9）可见，u、i为同频率的正弦量，可画出u、i的波形图和相量图，如图2-5（b）、图2-5（c）所示。

比较式（2-8）和式（2-9）可知电压u和电流i的大小和相位关系如下：

u、i的相位差为

φ=φu-φi=0　　（2-10）

即电阻元件上电流i与电压u同相。

u、i的幅值关系为

Um=RIm　　（2-11）

u、i的有效值关系为

U=RI　　（2-12）

（2）功率

元件上电压u和电流i参考方向一致时，则P=ui为该元件取用的功率。在交流电路中，功率p随时间而变化，称为瞬时功率。

在正弦交流电路中，电阻元件的瞬时功率为

由式（2-13）可知，瞬时功率P的变化频率是电源频率的两倍，其波形如图2-6所示。

在电工技术中，要计算和测量电路的平均功率。平均功率用大写字母P表示，其值等于瞬时功率p在一个周期内的平均值，即

电阻元件的平均功率为

电阻元件的平均功率等于电压、电流有效值的乘积。由于电压有效值U=RI，所以

平均功率是电路中实际消耗的功率，又称有功功率。电路实际消耗的电能等于平均功率乘以通电时间。

2.电感元件的正弦交流电路

（1）电压、电流关系

在u、i参考方向一致时，电感元件的电压、电流关系为

在正弦交流电路中，若设电流i为参考正弦量，即

i=Imsinωt　　（2-16）

则　　

由式（2-16）、式（2-17）可见，u、i为同频率的正弦量，可画出u、i的波形图和相量图，如图2-7（b）、图2-7（c）所示。

比较式（2-16）和式（2-17）可知，电压u和电流i的大小和相位关系如下：

u、i的相位差为

φ=φu-φi=90°　　（2-18）

即电感元件上电流i比电压u滞后90°。

u、i的幅值关系为

Um=ωLIm　　（2-19）

u、i的有效值关系为

U=ωLI=XLI　　（2-20）

式中　XL——感抗，Ω。

XL=ωL=2πfL　　（2-21）

式（2-21）表明，同一个电感线圈（L为定值），对不同频率的正弦电流表现出不同的感抗，频率越高，则感抗越大。因此，电感线圈对高频电流有较大的阻碍作用。

（2）功率

电感元件上u、i参考方向一致时，若

i=Imsinωt

则　　u=Umsin（ωt+90°）

故电感元件上的瞬时功率为

在正弦交流电路中，电感元件与电源之间不停地有能量的往返交换，在一个周期内电感元件从电源取用的能量等于它归还给电源的能量，电感元件并不消耗能量，因此平均功率（即有功功率）为零。瞬时功率的最大值定义为无功功率，用QL表示，即

QL=UI　　（2-23）

无功功率的单位为乏（var）或千乏（kvar）。

3.电容元件的正弦交流电路

（1）电压、电流关系

在u、i参考方向一致时，电容元件的电压、电流关系为

在正弦交流电路中，若设电压u为参考正弦量，即

u=Umsinωt　　（2-24）

则　　

由式（2-24）、式（2-25）可见，u、i为同频率的正弦量，可画出u、i的波形图和相量图，如图2-8（b）、图2-8（c）所示。

比较式（2-24）和式（2-25）可知，电压u和电流i的大小和相位关系如下：

u、i的相位差为

φ=φu-φi=-90°　　（2-26）

即电容元件上电流i比电压u超前90°。

u、i的幅值关系为

u、i的有效值关系为

式中　XC——容抗，Ω。

式（2-29）表明，同一个电容器（C为定值），对不同频率的正弦电流表现出不同的容抗，频率越高，则容抗越小。因此，电容器对高频电流有较大的传导作用。

（2）功率

电容元件上u、i参考方向一致时，若

u=Umsinωt

则　　i=Imsin（ωt+90°）

故电容元件上的瞬时功率为

在正弦交流电路中，电容元件与电源之间不停地有能量的往返交换，在一个周期内电容元件从电源取用的能量等于它归还给电源的能量，电容元件并不消耗能量，因此平均功率为零。

把电容元件瞬时功率的最大值定义为无功功率，用QＣ表示，其单位也是乏（var）或千乏（kvar）。

三、三相交流电动势的产生

三相电源就是频率、幅值相同，而相位上互差120°的三个电压源，这组电压源称为对称三相电源。由三相电源供电的体系称为三相制。由于三相供电系统在经济和技术方面的一系列优点，使得目前世界上绝大多数电力系统都采用三相制。

三相发电机就是一个对称三相电源，其中每一个电压源称为一相，分别用A相、B相、C相表示。

图2-9（a）是三相交流发电机的原理图。发电机的转动部分称为转子，在转子的励磁绕组中通以直流电流，产生恒定的磁场，图2-9（a）中虚线表示磁感线。合理布置励磁绕组，选择合适的极面形状，可以使气隙中的磁感应强度沿着圆周按正弦规律分布，即磁极中心处的气隙磁感应强度最大，往两边则按正弦规律减小。

发电机的固定部分称为定子，定子铁芯的内圆表面有槽，可以放置电枢绕组。三个尺寸和匝数相同的绕组分别用AX、BY、CZ表示，称为三相绕组。A、B、C称为绕组的始端，X、Y、Z称为绕组的末端。三个绕组安放在定子铁芯槽内，且使A边与B边、C边彼此相隔120°，即三相绕组在空间位置上互差120°。

转子由图2-9（a）所示位置转过120°后，eB达到正的幅值；转过240°后，eC达到正的幅值。三个正弦电动势在相位上eB比eA滞后120°，eC比eB滞后120°。

当N极轴线在oa位置时，eA等于零。若选择N极轴线处于oa位置作为计时的起点（t=0），转子开始按顺时针方向旋转，则eA的初相位为零。现用三角函数式表示eA、eB、eC即为

eA=Emsinωt

eB=Emsin（ωt-120°）

eC=Emsin（ωt-240°）=Emsin（ωt+120°）

这三个幅值、频率相同，相位互差120°的正弦电动势称为对称三相电动势。如果电压的参考方向由绕组始端（A、B、C）指向末端（X、Y、Z），如图2-9（c）所示，且忽略发电机绕组的阻抗可能产生的电压降，则有

uA=eA

uB=eB

uC=eC

因此发电机三个绕组的端电压uA、uB、uC是三相对称电压，即幅值、频率相同，相位互差120°。

三相发电机可以用三个理想电压源uA、uB、uC作为它的电路模型，如图2-10所示。若以uA为参考正弦量，且设每相电压的有效值为UP，则三相对称电压可表示为

图2-11所示为三相对称电压的波形图。

三相交流电出现正幅值（或相应零值）的先后次序称为三相电压的相序。上述三相电压的相序是A→B→C。在配电装置的三相母线上，涂以黄、绿、红三种颜色，分别表示A、B、C三相。

四、三相电源的连接

如果把三相电源中的每个电压源分别与负载相连，可以构成三个互不相关的单相供电系统，但需用六根输电线对外供电。为经济合理起见，通常总是把三个电压源接成星形，有时也可以接成三角形。

1.三相电源的星形连接

在工矿企业的低压供电系统中，三相电压源都是作星形连接的。把三个电压源的末端X、Y、Z连在一起，形成一个节点，称为电源的中性点或零点，用N表示。由三个电压源的首端A、B、C和中性点N分别引出四根线对外供电，这种供电方式称为三相四线制，如图2-12所示，这里三相电压源接成了星形。由首端引出的三根输电线称为相线（俗称“火线”），由中性点N引出的输电线称为中性线。

为了正确使用三相电源，必须了解四根输电线（A、B、C、N）之间的电压关系。每两根输电线之间有一个电压，四根输电线之间共有六个电压。把这六个电压分成两类，一类为相线与中性线之间的电压，分别用uAN、uBN、uCN表示，称为相电压；另一类为相线与相线之间的电压，分别用uAB、uBC、uCA表示，称为线电压。

若忽略输电线路的电压降，应用基尔霍夫电压定律有：

相电压为

uAN=uA

uBN=uB

uCN=uC

线电压为

uAB=uA-uB

uBC=uB-uC

uCA=uC-uA

即

UAN=UBN=UCN=UP

线电压有效值Ul与相电压有效值UP关系可由相量图求得，在图2-13中有

因此三相四线制的供电系统，可以供给负载两种不同的电压。通常工矿企业的低压供电系统中，相电压UP=220V，线电压。例如，电灯负载额定电压为220V，应接于三相电源的相线与中性线之间；若有个电焊机，其额定电压为380V，则应接于电源的两根相线之间。

2.三相电源的三角形连接

三相电源的三角形连接如图2-14所示。把三个电压源的始末端依次相连，构成一个闭合回路，然后由连接点引出三根输电线。三相电源作三角形连接时，只能以三相三线制方式对外供电。电源线电压分别为

uAB=uA

uBC=uB

uCA=uC

由于三个电压源的电压uA、uB、uC是对称的，因此三个线电压也是对称的。由此可见，三相电源作三角形连接时，对外只供出三个对称的线电压，而线电压的有效值就等于一相电源的电压有效值，即

Ul=UP

在生产实际中，发电机的绕组很少接成三角形，通常都接成星形，三相变压器的二次[侧]（输出侧）也相当于一个三相电压源。对变压器来说，则两种接法都有。

五、三相负载的连接

三相负载的连接方式有两种，即星形连接和三角形连接。采用何种连接方式取决于三相电源的电压值和每相负载的额定电压，应使一相负载承受的电压等于其额定电压。

1.负载的星形连接

图2-15（a）给出了由三相四线制供电的照明电路。由于一般照明灯的额定电压为220V，在线电压为380V供电系统中，照明灯应接于相线与中性线之间。为使三相电源的负载比较均衡，把大批量的照明灯（例如，整个大楼或整个车间的所有照明灯）分成三组，分别接于电源的相线（A、B、C）和中性线（N）之间，电灯组的这种连接方式称为星形连接。

由于对称负载作星形连接时，中性线的电流为零，因而可以省去中性线，构成所谓三相三线制电路。因生产中所用的三相负载一般都是对称的（例如，三相电动机、三相电炉），使用时可以不接中性线，如图2-16所示。

星形连接的不对称负载是否可以省去中性线呢？可以证明，对于星形连接的不对称负载，如果断开中性线，将会使有的负载端电压升高，有的负载端电压降低，因而负载不能在额定电压下正常工作，甚至可能引起用电设备的损坏。为确保负载能正常工作，对于星形连接的不对称负载（例如，照明负载）必须要接中性线。

2.负载的三角形连接

如果负载的额定电压等于三相电源的线电压，则必须把负载接于两根相线之间。把这类负载分为三组，分别接于相线A与相线B、相线B与相线C、相线C与相线A之间，就构成了负载的三角形连接，如图2-17所示。

由于三相电源的线电压是对称的，而每相负载直接接于相线之间，因而各相负载所受的电压（又称负载相电压）总是对称的。