2.1.3　二进制数的运算

计算机具有强大的运算能力，主要是因为它可以进行两种运算：算术运算和逻辑运算。

1.二进制数的算术运算

二进制数的算术运算包括：加、减、乘、除四则运算，下面分别予以介绍。

（1）二进制数的加法

根据“逢二进一”的规则，二进制数加法的法则为：

0+0=0

0+1=1+0=1

1+1=0（进位为1）

例如，1110和1011相加的过程如下：

（2）二进制数的减法

根据“借一有二”的规则，二进制数减法的法则为：

0-0=0

1-1=0

1-0=1

0-1=1（借位为1）

例如，1101减去1011的过程如下：

（3）二进制数的乘法

二进制数乘法与十进制数乘法很类似。但由于二进制数只有0或1两种可能的乘数位，

导致二进制乘法更为简单。二进制数乘法的法则为：

0×0=0

0×1=1×0=0

1×1=1

例如，1001和1010相乘的过程如下：

由低位到高位，用乘数的每一位去乘被乘数，若乘数的某一位为1，则该次部分积为被乘数；若乘数的某一位为0，则该次部分积为0。某次部分积的最低位必须和本位乘数对齐，所有部分积相加的结果则为相乘得到的乘积。

（4）二进制数的除法

二进制数除法与十进制数除法很类似。可先从被除数的最高位开始，将被除数（或中间余数）与除数相比较，若被除数（或中间余数）大于除数，则用被除数（或中间余数）减去除数，商为1，并得相减之后的中间余数，否则商为0。再将被除数的下一位移下补充到中间余数的末位，重复以上过程，就可得到所要求的各位商数和最终的余数。

例如，100110÷110的过程如下：

所以，100110÷110=110余10。

2.二进制数的逻辑运算

二进制数的基本逻辑运算包括“或”运算、“与”运算和“非”运算，以及常用逻辑运算“异或”“同或”。

（1）逻辑“或”运算

又称为逻辑加，可用符号“+”或“∨”来表示。逻辑“或”运算的规则如下：

0+0=0或0∨0=0

0+1=1或0∨1=1

1+0=1或1∨0=1

1+1=1或1∨1=1

可见，两个相“或”的逻辑变量中，只要有一个为1，“或”运算的结果就为1。仅当两个变量都为0时，“或”运算的结果才为0。计算时，要特别注意和算术运算的加法区别开来。

（2）逻辑“与”运算

又称为逻辑乘，常用符号“×”或“·”或“∧”表示。“与”运算遵循如下运算规则：

0×0=0或0·0=0或0∧0=0

0×1=0或0·1=0或0∧1=0

1×0=0或1·0=0或1∧0=0

1×1=1或1·1=1或1∧1=1

可见，两个相“与”的逻辑变量中，只要有一个为0，“与”运算的结果就为0。仅当两个变量都为1时，“与”运算的结果才为1。

（3）逻辑“非”运算

又称为逻辑否定，实际上就是将原逻辑变量的状态求反，其运算规则如下：

可见，在变量的上方加一横线表示“非”。逻辑变量为0时，“非”运算的结果为1。逻辑变量为1时，“非”运算的结果为0。

（4）逻辑“异或”运算

“异或”运算，常用符号“⊕”或“∀”来表示，其运算规则为，带入0和1得：

0⊕0=0

0⊕1=1

1⊕0=1

1⊕1=0

可见：两个相“异或”的逻辑运算变量取值相同时，“异或”的结果为0。取值相异时，“异或”的结果为1。

（5）逻辑“同或”运算

“同或”运算，常用符号“⊗”来表示，其运算规则为，带入0和1得：

0⊗0=1

0⊗1=0

1⊗0=0

1⊗1=1

可见：两个相“同或”的逻辑运算变量取值相同时，“同或”的结果为1。取值相异时，“同或”的结果为0。

以上仅就逻辑变量只有一位的情况说明了逻辑“与”“或”“非”“异或”“同或”运算的运算规则。当逻辑变量为多位时，可在两个逻辑变量对应位之间按上述规则进行运算。特别注意，所有的逻辑运算都是按位进行的，位与位之间没有任何联系，即不存在算术运算过程中的进位或借位关系。