1.1.2 函数的几种基本性质
1.有界性
定义2 设函数f(x)的定义域为D,数集X⊂D.若存在常数M>0,使得对于任意x∈X,有|f(x)|≤M成立,则称函数f(x)在数集X上有界,否则称无界.
函数的有界性还可以等价地表述为:如果存在常数M1,M2,使得对于任意x∈X有M1≤f(x)≤M2,那么称函数f(x)在X上有界,M1称为函数f(x)在X上的下界,M2称为函数f(x)在X上的上界.
无界函数可能有上界而无下界,也可能有下界而无上界,或既无上界又无下界,函数f(x)的有界性与讨论的数集X有关.
例如,函数y=sinx,因为|sinx|≤1,所以它在(-∞,+∞)内是有界的;函数在(0,1)内是无界的,而在(1,2)及[1,+∞)内是有界的.
2.单调性
定义3 设函数f(x)的定义域为D,区间I⊂D.对于区间I上任意两点x1及x2,当x1<x2时,
若恒有f(x1)≤f(x2),则称函数f(x)在区间I上是单调递增函数;
若恒有f(x1)≥f(x2),则称函数f(x)在区间I上是单调递减函数.
单调递增函数与单调递减函数统称为单调函数,对应的区间I称为函数的单调区间,如图1-1所示.
图1-1
例如,函数y=arcsinx在闭区间[-1,1]上是单调递增函数,函数y=arccosx在闭区间[-1,1]上是单调递减函数.
函数的单调性是针对某个区间而言的.例如,函数y=x2在区间(-∞,0]内是单调递减的,在区间[0,+∞)内是单调递增的,而在区间(-∞,+∞)内不是单调函数.
3.奇偶性
定义4 设函数f(x)的定义域D关于原点对称,
若对于任意x∈D,有f(-x)=f(x),则称函数f(x)为偶函数;
若对于任意x∈D,有f(-x)=-f(x),则称函数f(x)为奇函数.
由定义知,奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于y轴对称.
例如,函数y=sinx在区间(-∞,+∞)内是奇函数;函数y=cosx在区间(-∞,+∞)内是偶函数;函数y=sinx+cosx在区间(-∞,+∞)内是非奇非偶函数.
例8 判断函数在区间(-1,1)内的奇偶性.
解 对于任意x∈(-1,1),有
所以函数f(x)在区间(-1,1)内是奇函数.
4.周期性
定义5 设函数f(x)的定义域为D.若存在一个不为零的正数T,使得对于任意x∈D,都有f(x+T)=f(x)(x±T∈D)恒成立,则称函数f(x)为周期函数,T称为函数f(x)的周期.
周期函数的周期通常是指其最小正周期.例如,y=sinx,y=cosx都是以2π为周期的周期函数;函数y=tanx,y=cotx,y=|sinx|都是以π为周期的周期函数.
注 (1)不是所有的周期函数都有最小正周期.例如,常数函数y=C(C为常数),显然任意正数都是其周期,而无最小正数.
(2)若f(x)的最小正周期为T,则f(ωx+b),(ω≠0)的最小正周期为;
(3)周期函数的和、差、积、商若是周期函数,其最小正周期等于各个函数的最小正周期的最小公倍数.