7.4 多元复合函数的求导法则

7.4.1 多元复合函数求导的链式法则

在上册中我们已经学习了一元复合函数求导的链式法则,具体如下:

设x=φ(t)在点t处可导,y=f(x)在相应的点x处可导,则复合函数y=f(φ(t))在点t处可导,且有  .

我们将链式法则推广到多元复合函数的情形.

多元复合函数的求导法则在不同的函数复合情形下,求导法则不同,下面分成三种情形进行讨论.

1.复合函数的中间变量为一元函数的情形

如果u=u(x)及v=v(x)都在点x处可导,且函数z=f(u,v)在对应点(u,v)处具有连续偏导数,则复合函数z=f(u(x),v(x))在对应点x处可导,且有下列公式

称上式为函数z的全导数.

证明 设自变量x取得增量Δx,相应地u,v,z分别取得增量Δu,Δv,Δz,由于z=f(u,v)可微,所以z的全增量可表示为

其中  

将上式两边同除以Δx,得

由于  

当Δx→0时,取(7.5)式的极限,得

证毕.

我们可结合树形图(见图7-9)加强记忆.

图7-9

【例1】 设z=u2v2+et,而u=sint,v=cost,求全导数.

树形结构如图7-10所示.

图7-10

2.复合函数的中间变量为多元函数的情形

如果u=u(x,y)及v=v(x,y)都在点(x,y)处具有对x和y的偏导数,且函数z=f(u,v)在对应点(u,v)处具有连续偏导数,则复合函数z=f(u(x,y),v(x,y))在对应点(x,y)处的两个偏导数存在,且有下列公式:

证明从略.

事实上,这里求时,将y看作常数,因此中间变量u,v可看作关于x的一元函数,因此可利用公式(7.4).但由于复合函数

z=f(u(x,y),v(x,y))

中u,v是二元函数,将(7.4)式中的符号d改为∂,则由公式(7.4)可得公式(7.6),同理可得公式(7.7).

图7-11

树形结构如图7-11所示.

【例2】 设z=eusinv,而u=xy,v=x2+y2,求.

树形结构如图7-11所示.

【例3】 求 z=(3x2+y24x+2y的偏导数.

解 设u=3x2+y2,v=4x+2y,则z=uv.

树形结构如图7-11所示.

3.复合函数的中间变量既有一元也有多元函数的情形

如果u=u(x,y)在点(x,y)具有对x和y的偏导数,v=v(x)在点x处可导,且函数z=f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数,则复合函数z=f(u(x,y),v(x))在对应点(x,y)的两个偏导数存在,且有下列公式:

证明从略.

树形结构如图7-12所示.

我们常常会遇到某个变量既为中间变量,又为另一中间变量的自变量的情形.

图7-12

设z=f(u,x,y)具有连续偏导数,而u=u(x,y)具有偏导数,则z=f(u(x,y),x,y)具有对x和y的偏导数:

树形结构如图7-13所示.

图7-13

注意 等式两边的的意义不同;是指复合函数z=f(u(x,y),x,y)中把y看作常数对自变量x的偏导数;是指函数z=f(u,x,y)中把u,y看作常数,对自变量x的偏导数.

也有类似的区别.

【例4】 ,z=x2siny,求.

树形结构如图7-14所示.

式(7.4)、式(7.6)、式(7.7)、式(7.8)称为求偏导数的链式法则.上述链式法则可推广到两个以上的中间变量以及多层复合的情形.

图7-14

(1)多个变量.

设  z=f(u,v,w), u=u(x,y), v=v(x,y), w=w(x,y),

则  

树形结构如图7-15所示.

图7-15

(2)多层复合.

设  z=f(u,v), u=u(r,s), v=v(r,s),

r=r(x,y), s=s(x,y),

则  

树形结构如图7-16所示.

下面是抽象的多元复合函数求偏导数的例题.

外函数为抽象函数的复合函数,称为抽象的多元复合函数,如函数z=f(x-y,xy2),利用链式法则求偏导数.

令  u=x-y, v=xy2

则   .

为方便起见,记

这里,下标1表示z对第一个中间变量u求偏导,下标2表示z对第二个中间变量v求偏导,同理有 等.

注意到仍是多元复合函数,即

【例5】 设w=f(x+y+z,xyz),f具有二阶连续偏导数,求.

解 利用上述偏导数的简便记法,

于是  

这里  

所以  

图7-17

最后一步中,是因为f具有二阶连续偏导数,树形结构如图7-17所示.

7.4.2 全微分形式不变性

与一元函数一阶微分形式不变性类似,多元函数也有全微分形式不变性.

现在来求复合函数z=f(u(x,y),v(x,y))的全微分.

当z=f(u,v),u=u(x,y),v=v(x,y)都具有连续偏导数时,z=f(u(x,y),v(x,y))可微分,且

这说明无论z是自变量u,v的函数还是中间变量u,v的函数,它的全微分形式都可用同一个式子

表示,此性质称为一阶全微分形式不变性.类似地,三元及三元以上的多元函数的全微分也具有这一性质.

与一元函数类似,我们可以利用全微分形式不变性求函数的偏导数及全微分.

【例6】 已知e-xy-2z+ez=0,求.

解 方程两边取全微分得

d(e-xy-2z+ez)=0,

即  e-xyd(-xy)-2dz+ezdz=0,

-e-xy(ydx+xdy)-2dz+ezdz=0.

习题7-4

1.设z=u2v-uv2,而u=xcosy,v=xsiny,求.

2.设z=arctan(xy),而y=ex,求.

3.设z=ex-2y,而y=sinx,求.

4.求下列函数的一阶偏导数,其中f具有一阶连续偏导数:

(1)设z=f(x2-y2,exy),求

(2)设u=f(x+xy+xyz),求

(3)设,求.

5.设u=f(x2,xy,xyz),其中f具有一阶连续偏导数,求全微分du.

6.设函数z=xy+xF(u),其中,F为可微函数,求.

7.求下列函数的二阶偏导数,其中f具有二阶连续(偏)导数:

8.设,f,φ都具有二阶连续的导数,求.

9.设z=f(x,y)具有一阶连续的导数,,证明:

10.设,求.