1.3 集合之间的关系
本节重点知识
1.子集.
2.真子集.
3.集合的相等.
观察下面两组集合，并试着找出它们之间可能存在的关系.
（1）A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}.
（2）设A为本校一年级（a）班全体学生组成的集合，B为本校一年级全体学生组成的集合.
（3）C={x|x是三条边相等的三角形}，D={x|x是等边三角形}.
可以看出，在（1）中，集合A的任意一个元素都是集合B的元素，这时我们说集合A与集合B有包含关系，（2）中的集合A与集合B也有这种关系.
一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集，记作
A⊆B（或B⊇A），
读作“A包含于B”（或B包含A）.
在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图.这样，上述集合A和集合B的包含关系，可以用图1-1表示.
当集合B不包含于集合A，或集合A不包含集合B时，则记作
B⊈A（或A⊉B），
图 1-1
根据定义可知，任何一个集合A，都是它本身的子集，即A⊆A.
我们规定空集是任意一个集合的子集，也就是说，对于任意集合A，都有∅⊆A.
注意 符号“⊆”表示的是集合与集合之间的关系，符号两边都是集合.
例1 用“⊆”“⊇”“⊈”填空.
（1）{2，5}______{1，2，3，4，5}；
（2）{x|x是四边形}______{x|x是菱形}；
（3）{x|x2-4=0}______∅；
（4）{x|x>5}______{6，7，8}；
（5）{x|2<x<9，x∈R}______{x|x>0，x∈R}；
（6）N______Z-；
解 （1）⊆（2）⊇（3）⊇（4）⊇（5）⊆（6）⊈
想一想
符号“∈”与“⊆”的应用对象有什么不同？
练一练
用“⊆”“⊇”“⊈”填空.
（1）{8，9}______Z； （2）N______{-2，0，8}；
（3）Q______{0，2，π}； （4）{-5，0}______{-5，-3，0}；
（5） 
______Q； （6）{0，-1}______{-1，2，3}；
（7）{2，3，6}______{x|x是6的正因数}；
（8）{x|x是8的正因数}______{0，1，2，4，8，10}；
（9）{x|2=9}______{-3}； （10）{-1，0，1}______{x|x2-1=0}；
（11）{x|x是等腰三角形}______{x|x是等边三角形}；
（12）{x|x是四边形}______{x|x是梯形}；
（13）{x|x>3，x∈R}______{x|x<5，x∈R}；
（14）{x|-4<x<0，x∈R}______{x|-1<x<0，x∈R}；
（15）{x|x≥-2，x∈R}______{x|x>-2，x∈R}；
（16）{0}______∅.
例2 写出集合A={0，1，2}的所有子集.
分析 集合A中有3个元素，那么任意1个，2个，3个元素组成的集合及空集都是集合A的子集.
解 集合A中所有子集分别是：{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}，{0，1，2}，∅.
练一练
写出下列集合的所有子集：
（1）A={2，3}； （2）A={s，t}；
（3）A={0，2，3}； （4）A={a，b，c}；
（5）A={x|x2=1}； （6）{x|x-3=1}；
（7）A={x|-3<x<1，x∈Z}； （8）A={x|x≤2，x∈N}
在（3）中，由于“三条边相等的三角形”是等边三角形，因此，集合C，D都是由所有等边三角形组成的集合.即集合C中任何一个元素都是集合D中的元素，同时，集合D中任何一个元素也都是集合C中的元素.也就是说，集合D的元素与集合C的元素是一样的.
如果集合A是集合B的子集（A⊆B），且集合B是集合A的子集（B⊆A），此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作
A=B
如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，我们称集合A是集合B的真子集，记作
例3 指出下面各集合之间的关系，并用Venn图表示.
A={三角形}，B={等腰三角形}，C={等边三角形}，D={等腰直角三角形}.
解 （1）
； （2）
.（见图1-2）
图 1-2
例4 指出以下两个集合之间的关系：
（1）A={1，3，5，7}，B={3，5}；
（2）P={x|x2=4}，Q={-2，2}；
（3）C={偶数}，D={整数}；
解 （1）
（2）P=Q； （3）
.
由上述集合之间的关系，可以得到下列结论：
（1）任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A；
（2）对于集合A，B，C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C.