第1章　函数、极限与连续

一、基本概念与基本公式

1.邻域的概念

设δ是一正数，则称开区间（a-δ，a+δ）为点a的δ邻域，记作U（a，δ），即

U（a，δ）={x|a-δ＜x＜a+δ}={x||x-a|＜δ}.

其中，点a称为邻域的中心，δ称为邻域的半径.

2.函数的概念

设x，y是两个变量，若当x在某个实数范围D内取值时，变量y按照某种对应的规则f，有唯一一个y与之对应，则称变量y是x的函数.表示为y=f（x），x∈D，其中x称为自变量，y称为因变量（或函数）.D称为函数f（x）的定义域，记作Df.函数值的集合称为函数f的值域，记作Rf，即Rf={y|y=f（x），x∈D}.

3.函数的性质

（1）函数的有界性　设函数f（x）在数集D有定义，若对∀x∈D，∃M＞0，使得|f（x）|≤M，则称函数f（x）在D上有界，否则称函数f（x）在D无界.

（2）函数的单调性　设函数f（x）在数集D有定义，若对∀x1，x2∈D，且x1＜x2，有f（x1）＜f（x2）f（x1）＞f（x2）），则称函数f（x）在D上单调增加（单调减少）.

（3）函数的奇偶性　设函数f（x）在数集D有定义，若对∀x∈D，有-x∈D，且f（-x）=-f（x）（f（-x）=f（x）），则称函数f（x）是奇函数（或偶函数）.

（4）函数的周期性　设函数f（x）在数集D有定义，若对∀x∈D，∃l＞0，有x±l∈D，且f（x±l）=f（x），则称函数f（x）是周期函数，l称为函数f（x）的一个周期，通常将最小正周期称为函数f（x）的基本周期，简称为周期.

4.基本初等函数

（1）常数函数　y=C（常数），x∈（-∞，+∞）.

（2）幂函数　y=xα（α为实数）.

（3）指数函数　y=ax　（a＞0，a≠1），x∈（-∞，+∞），y∈（0，+∞）.

（4）对数函数　y=logax　（a＞0，a≠1），x∈（0，+∞），y∈（-∞，+∞）.

（5）三角函数

正弦函数　y=sinx，x∈（-∞，+∞），y∈[-1，1].

余弦函数　y=cosx，x∈（-∞，+∞），y∈[-1，1].

正切函数　y=tanx，，n=0，±1，±2，…，y∈（-∞，+∞）.

余切函数　y=cotx，x≠nπ，n=0，±1，±2，…，y∈（-∞，+∞）.

正割函数　.

余割函数　.

（6）反三角函数

反正弦函数　y=arcsinx，x∈[-1，1]，.

反余弦函数　y=arccosx，x∈[-1，1]，y∈[0，π].

反正切函数　y=arctanx，x∈（-∞，+∞），.

反余切函数　y=arccotx，x∈（-∞，+∞），y∈（0，π）.

5.复合函数

定义　设函数z=f（y）定义在数集M上，函数y=φ（x）定义在数集D上，G是D中使y=φ（x）∈M的x的非空子集，即G={x|x∈D，φ（x）∈M}≠ф，对∀x∈G，对应唯一一个y∈M，再按照对应关系f对应唯一一个z，即∀x∈G都对应唯一一个z，于是在G上定义了一个函数，称为y=φ（x）与z=f（y）的复合函数，表示为z=f（g（x）），x∈G.

6.数列极限

（1）定义　设数列{xn}，a是常数.若数列的项数n无限增大时，数列{xn}的值无限趋近于常数a，则称数列{xn}的极限是a或数列{xn}收敛于a.记作或xn→a（n→∞）.若数列{xn}不存在极限，则称数列{xn}发散.

*数列{xn}的极限是a，又可以精确表述为：设数列{xn}，a是常数，对任意ε＞0，总存在自然数N，对任意正整数n，若n＞N时，有|xn-a|＜ε，则称数列{xn}的极限是a.

（2）收敛数列的性质

ⅰ.极限的唯一性　若数列{xn}的极限存在，则该极限一定唯一.

ⅱ.收敛数列的有界性　如果数列{xn}收敛，则数列{xn}一定有界.

ⅲ.收敛数列的保号性　如果数列{xn}收敛于a，且a＞0（或a＜0），那么存在正整数N，当n＞N时，有xn＞0（或xn＜0）.

ⅳ.收敛数列与其子数列间的关系　如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a.

7.函数极限

（1）x→∞时，函数f（x）的极限

定义1（描述性定义）　对于函数f（x），如果当x的绝对值无限增大时，对应的函数值f（x）无限接近于一个确定的常数A，则称常数A为函数f（x）当x→∞时的极限.

*定义2（ε-X定义）　对于任意给定的正数ε，如果存在一个正数X，使得当|x|＞X时的一切x，都能使不等式|f（x）-A|＜ε恒成立，则称常数A为函数f（x）当x→∞时的极限.记为，或f（x）→A（x→∞）.

（2）x→x0时，函数f（x）的极限

定义1（描述性定义）　对于函数f（x），如果当x无限趋近于常数x0时，对应的函数值f（x）无限接近于一个确定的常数A，则称常数A为函数f（x）当x→x0时的极限.

*定义2（ε-δ定义）　对于任意给定的正数ε，如果存在一个正数δ，使得当0＜|x-x0|＜δ时的一切x，都能使不等式|f（x）-A|＜ε恒成立，则称常数A为函数f（x）当x→x0时的极限.记为，或f（x）→A（x→x0）.

（3）当x→x0时，函数f（x）的左、右极限

定义　如果当时，函数f（x）无限接近于一个确定的常数A，那么A就叫做函数f（x）当x→x0时的左极限，记为或f（x0-0）=A.

如果当时，函数f（x）无限接近于一个确定的常数A，那么A就叫做函数f（x）当x→x0时的右极限，记为或f（x0+0）=A.

显然，函数f（x）当x→x0时极限存在的充分必要条件是：f（x）在x0处的左右极限都存在并且相等，即f（x0-0）=f（x0+0）=A.

（4）函数极限的性质

ⅰ.唯一性　若f（x）当x→x0（或x→∞）时极限存在，则其极限一定唯一.

ⅱ.局部有界性　若f（x）当x→x0时极限存在，则一定存在正数δ，使得当0＜|x-x0|＜δ时，函数f（x）有界.

ⅲ.局部保号性若，且A＞0（或A＜0），那么存在δ＞0，当0＜|x-x0|＜δ时，有f（x）＞0（或f（x）＜0）.

ⅳ.函数极限与数列极限的关系　如果当x→x0时f（x）的极限存在，{xn}为f（x）的定义域内任一收敛于x0的数列，且满足xn≠x0（n∈N+），那么相应的函数值数列{f（xn）}必收敛，且.

8.无穷小量

（1）定义　若，则称函数f（x）是x→x0时的无穷小.

性质1　若函数f（x）与g（x）都是无穷小，则函数f（x）±g（x）也是无穷小.

性质2　若函数f（x）与g（x）都是无穷小，则函数f（x）·g（x）也是无穷小.

性质3　若函数f（x）是无穷小，而函数g（x）有界，则函数f（x）·g（x）也是无穷小.

性质4　若极限，则f（x）=A+α（x），其中α（x）（x→x0）是无穷小.

（2）无穷小的比较

设α和β都是在x→x0（或x→∞）时的无穷小.

ⅰ.如果，则称β是比α高阶的无穷小；

ⅱ.如果，则称β是比α低阶的无穷小；

ⅲ.如果（C为不等于零的常数），则称β是与α同阶的无穷小；特别地，当C=1时，称β与α是等价无穷小，记为α～β；

ⅳ.如果（C为不等于零的常数），则称β是α的k阶无穷小.

（3）常用等价无穷小

ln（1+x）～x；ex-1～x；ax-1～xlna；（1+x）μ-1～μx

9.无穷大量

（1）定义　如果当x→x0（或x→∞）时，函数f（x）的绝对值无限增大，那么函数f（x）叫做当x→x0（或x→∞）时的无穷大量，简称无穷大.

（2）性质　在自变量的同一变化过程中，若f（x）为无穷大，则为无穷小；反之，若f（x）为无穷小，且f（x）≠0，则为无穷大.

10.极限的运算法则

（1）四则运算　如果limf（x）=A，limg（x）=B，那么，

（1）lim[f（x）±g（x）]=limf（x）±limg（x）=A±B；

（2）limf（x）g（x）=limf（x）·limg（x）=A·B；

（3），其中B≠0.

（2）复合函数极限　设有复合函数f（g（x）），若；，有；，则.

11.极限的存在准则

准则Ⅰ　如果数列{xn}、{yn}和{zn}满足下列条件：

（1）从某项起，即∃n0∈N，当n＞n0时，有yn≤xn≤zn；（2），，那么数列{xn}的极限存在，且.

准则Ⅱ　单调有界数列必有极限.

12.两个重要极限

13.函数的连续性

（1）连续

定义1　设函数y=f（x）在点x0及其近旁有定义，如果当自变量x在点x0处的增量Δx趋近于零时，函数y=f（x）相应的增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）也趋近于零，则称函数y=f（x）在点x0连续.或.

定义2　设函数y=f（x）在点x0及其近旁有定义，如果函数f（x）当x→x0时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值f（x0），即若，则称函数在点x0连续.

（2）左、右连续

如果函数y=f（x）在（a，b）内连续，且（此时称y=f（x）在x=a右连续）及（此时称y=f（x）在x=b左连续），则称y=f（x）在闭区间[a，b]上连续.

（3）闭区间上连续函数的性质

ⅰ.最值定理　如果y=f（x）在区间a[，b]上连续，则f（x）在[a，b]上一定取得最大值和最小值.

ⅱ.介值定理　如果y=f（x）在闭区间a[，b]上连续，且f（a）=A，f（b）=B（A≠B），则对于介于A和B之间的任何实数C，至少存在一点ξ∈（a，b）使f（ξ）=C.

ⅲ.零点定理　如果函数y=f（x）在闭区间[a，b]上连续，且f（a）和f（b）异号，那么至少存在一点ξ∈（a，b），使得f（ξ）=0（a＜ξ＜b）.

14.函数的间断点

如果函数f（x）有下列三种情形之一：

（1）函数f（x）在x=x0没有定义；

（2）函数f（x）在x=x0有定义，但不存在；

（3）函数f（x）在x=x0有定义，且存在，但，则函数f（x）在点x0不连续.我们把点x0叫做函数f（x）的不连续点或间断点.

如果x0是函数f（x）的间断点，但左极限及右极限都存在，那么x0称为函数f（x）的第一类间断点.不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点.在第一类间断点中，左、右极限相等者称为可去间断点，不相等者称为跳跃间断点.无穷间断点和振荡间断点显然是第二类间断点.